2024届新高考数学大题精选30题--解三角形含答案.pdf

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1、1大题 解三角形(精选30题)大题 解三角形(精选30题)1(2024江苏一模)(2024江苏一模)记ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c，已知2cosB+1=ca.(1)证明：B=2A；(2)若sinA=24,b=14，求ABC的周长.2(2024湖南常德三模)(2024湖南常德三模)在ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且sin2A+sin2B+sinAsinB=sin2C(1)求角C；(2)若a，b，c成等差数列，且ABC的面积为15 34，求ABC的周长3(2024江苏一模)(2024江苏一模)在ABC中，sin B-A+2sinA=sinC(1)求B的大小；(2)

2、延长BC至点M，使得2BC=CM 若CAM=4，求BAC的大小2024届新高考数学大题精选30题-解三角形24(2024(2024浙江温州浙江温州二模二模)记ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c，已知2csinB=2b(1)求C；(2)若tanA=tanB+tanC，a=2，求ABC的面积5(2024(2024浙江嘉兴浙江嘉兴二模二模)在ABC中，内角A,B,C所对的边分别是a,b,c，已知2cosA-3cos2A=3.(1)求cosA的值；(2)若ABC为锐角三角形，2b=3c，求sinC的值.6(2023(2023福建福州福建福州模拟预测模拟预测)在ABC中，角A,B,C的对边分

3、别是a,b,c，且asinC=csinB,C=23(1)求B；(2)若ABC面积为3 34，求BC边上中线的长37(2024(2024山东淄博山东淄博一模一模)如图，在ABC中，BAC=23,BAC的角平分线交 BC于P点，AP=2.(1)若BC=8，求ABC的面积;(2)若CP=4，求BP的长.8(2024(2024安徽安徽模拟预测模拟预测)如图，在平面四边形ABCD中，AB=AD=4，BC=6(1)若A=23，C=3，求sinBDC的值；(2)若CD=2，cosA=3cosC，求四边形ABCD的面积49(2024(2024浙江浙江一模一模)在ABC中，内角A,B,C所对的边分别是a,b,c

4、，已知c2b2+c2-a2=sinCsinB(1)求角A；(2)设边BC的中点为D，若a=7，且ABC的面积为3 34，求AD的长10(2024(2024湖北湖北一模一模)在ABC中，已知AB=2 2,AC=2 3,C=4(1)求B的大小；(2)若BCAC，求函数 f x=sin 2x-B-sin 2x+A+C在-,上的单调递增区间11(2024(2024福建厦门福建厦门二模二模)定义：如果三角形的一个内角恰好是另一个内角的两倍，那么这个三角形叫做倍角三角形.如图，ABC的面积为S，三个内角A、B、C所对的边分别为a,b,c，且sinC=2Sc2-b2.(1)证明：ABC是倍角三角形；(2)若

5、c=9，当S取最大值时，求tanB.512(2024(2024福建漳州福建漳州模拟预测模拟预测)如图，在四边形ABCD中，DAB=2，B=6，且ABC的外接圆半径为4.(1)若BC=4 2，AD=2 2，求ACD的面积；(2)若D=23，求BC-AD的最大值.13(2024(2024山东济南山东济南二模二模)如图，在平面四边形ABCD中，BCCD，AB=BC=2，ABC=，120180.(1)若=120，AD=3，求ADC的大小；(2)若CD=6，求四边形ABCD面积的最大值.614(2024(2024湖北武汉湖北武汉模拟预测模拟预测)已知锐角ABC的三内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且

6、b2+c2-(bcosC+ccosB)2=bc，(1)求角A的大小；(2)如果该三角形外接圆的半径为3，求bc的取值范围15(2024(2024湖南邵阳湖南邵阳模拟预测模拟预测)在ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c，且ABC的周长为asinBsinA+sinB-sinC(1)求C；(2)若a=2，b=4，D为边AB上一点，BCD=6，求BCD的面积716(2024(2024广东梅州广东梅州二模二模)在ABC中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，3acosB-bsinA=3c，c=2，(1)求A的大小：(2)点D在BC上，()当ADAB，且AD=1时，求AC的长；()当BD=2D

7、C，且AD=1时，求ABC的面积SABC17(2024(2024广东广州广东广州一模一模)记ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，ABC的面积为S.已知S=-34(a2+c2-b2).(1)求B；(2)若点D在边AC上，且ABD=2，AD=2DC=2，求ABC的周长.818(2024(2024广东佛山广东佛山模拟预测模拟预测)在ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c，其中a=1，cosA=2c-12b(1)求角B的大小；(2)如图，D为ABC外一点，AB=BD，ABC=ABD，求sinCABsinCDB的最大值19(2024(2024河北石家庄河北石家庄二模二模)在ABC中，角

8、A，B，C所对的边分别为a，b，c，设向量m=(2sinA,3sinA+3cosA)，n=(cosA,cosA-sinA),f(A)=mn,A6,23.(1)求函数 f A的最大值;(2)若 f(A)=0,a=3,sinB+sinC=62，求ABC的面积.920(2024(2024广东广东一模一模)设锐角三角形ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c，已知b-ccosA=2acosBcosC(1)求cosB；(2)若点D在AC上(与A,C不重合)，且C=4,ADB=2CBD，求CDAD的值21(2024(2024辽宁辽宁二模二模)在ABC中，D为BC边上一点，DC=CA=1，且ACD面积是

9、ABD面积的2倍(1)若AB=2AD，求AB的长；(2)求sinADBsinB的取值范围22(2024(2024黑龙江齐齐哈尔黑龙江齐齐哈尔一模一模)记ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c，已知B=4,4bcosC=2c+2a.(1)求tanC；(2)若ABC的面积为32，求BC边上的中线长.1023(2024(2024重庆重庆模拟预测模拟预测)如图，某班级学生用皮尺和测角仪(测角仪的高度为1.7m)测量重庆瞰胜楼的高度，测角仪底部A和瞰胜楼楼底O在同一水平线上，从测角仪顶点C处测得楼顶M的仰角，MCE=16.5(点E在线段MO上)他沿线段AO向楼前进100m到达B点，此时从测角仪顶点

10、D处测得楼顶M的仰角MDE=48.5，楼尖MN的视角MDN=3.5(N是楼尖底部，在线段MO上)(1)求楼高MO和楼尖MN；(2)若测角仪底在线段AO上的F处时，测角仪顶G测得楼尖MN的视角最大，求此时测角仪底到楼底的距离FO参考数据：sin16.5sin48.5sin3225，tan16.5827，tan48.587，4035 37.4,24(2024(2024重庆重庆模拟预测模拟预测)在ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c已知b=2 bcos212-A2-asinB2cosB2(1)求角A的大小；(2)若BP=PC，且b+c=2，求AP的最小值1125(2024(2024山西朔

11、州山西朔州一模一模)已知ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c，向量m=a+b,c,n=sinA-sinC,sinA-sinB，且mn(1)求B；(2)求b2a2+c2的最小值26(2024(2024河南开封河南开封二模二模)记ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知bcosA=2asinB(1)求sinA；(2)若a=3，再从条件，条件，条件中选择一个条件作为已知，使其能够确定唯一的三角形，并求ABC的面积条件：b=6c；条件：b=6；条件：sinC=13注：如果选择的条件不符合要求，第(2)问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分27(2024(202

12、4河南河南一模一模)ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足b2-a2=ac.(1)求证：B=2A；(2)若ABC为锐角三角形，求sin(C-A)-sinBsinA的取值范围.1228(2023(2023河南河南三模三模)在锐角ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知ac=a2+b2-c2b2，且ac(1)求证：B=2C；(2)若ABC的平分线交AC于D，且a=12，求线段BD的长度的取值范围29(2024(2024湖北湖北二模二模)已知ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c ab，c=2acosAcosB-bcos2A(1)求A；(2)者BD=13BC，AD=2

13、，求b+c的取值范围30(2024(2024河北河北二模二模)若ABC内一点P满足PAB=PBC=PCA=，则称点P为ABC的布洛卡点，为ABC的布洛卡角如图，已知ABC中，BC=a，AC=b，AB=c，点P为的布洛卡点，为ABC的布洛卡角(1)若b=c，且满足PBPA=3，求ABC的大小(2)若ABC为锐角三角形()证明：1tan=1tanBAC+1tanABC+1tanACB()若PB平分ABC，证明：b2=ac1大题 解三角形大题 解三角形(精选精选3030题题)1(2024(2024江苏江苏一模一模)记ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c，已知2cosB+1=ca.(1)证明：

14、B=2A；(2)若sinA=24,b=14，求ABC的周长.【答案】(1)证明见解析(2)7+14【分析】(1)利用正弦定理边化角结合角范围可证；(2)利用倍角公式求得sinC，然后利用正弦定理可得【详解】(1)2cosB+1sinA=sinC=sin A+B=sinAcosB+cosAsinBsinA=sinBcosA-cosBsinA=sin B-A因为A,B 0,B-A-,A=B-A或A+B-A=(舍)，B=2A.(2)由sinA=24，结合(1)知A+B=3A 0,，则A 0,3，得cosA=1-sin2A=1-242=144sinB=sin2A=2sinAcosA=224144=74

15、，cosB=cos2A=1-2sin2A=1-218=34，sinC=sin A+B=sinAcosB+cosAsinB=2434+14474=10 216=5 28，由正弦定理得asinA=bsinB=csinCa24=1474=c5 28a=2c=5 ABC的周长为a+b+c=7+14.2(2024(2024湖南常德湖南常德三模三模)在ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且sin2A+sin2B+sinAsinB=sin2C(1)求角C；(2)若a，b，c成等差数列，且ABC的面积为15 34，求ABC的周长【答案】(1)23(2)15【分析】(1)先利用正弦定理角化边得出a2

16、+b2+ab=c2；再结合余弦定理得出cosC=-12即可求解.(2先根据a，b，c成等差数列得出a+c=2b；再利用三角形的面积公式得出ab=15；最后结合(1)中的a2+b2+ab=c2，求出a，b，c即可解答.【详解】(1)因为sin2A+sin2B+sinAsinB=sin2C，由正弦定理asinA=bsinB=csinC可得：a2+b2+ab=c2.由余弦定理可得：cosC=a2+b2-c22ab=a2+b2-(a2+b2+ab)2ab=-12.又因为C(0,)，2所以C=23.(2)由a,b,c成等差数列可得：a+c=2b.因为三角形ABC的面积为15 34，C=23，12absi

17、nC=15 34，即ab=15.由(1)知：a2+b2+ab=c2由解得：a=3,b=5,c=7.a+b+c=15，故三角形ABC的周长为15.3(2024(2024江苏江苏一模一模)在ABC中，sin B-A+2sinA=sinC(1)求B的大小；(2)延长BC至点M，使得2BC=CM 若CAM=4，求BAC的大小【答案】(1)B=4；(2)BAC=12或512【分析】(1)由sinC=sin A+B，代入已知等式中，利用两角和与差的正弦公式化简得cosB=22，可得B的大小；(2)设BC=x，BAC=，在ABC和ACM中，由正弦定理表示边角关系，化简求BAC的大小.【详解】(1)在ABC中

18、，A+B+C=，所以sinC=sin A+B因为sin B-A+2sinA=sinC，所以sin B-A+2sinA=sin A+B，即sinBcosA-cosBsinA+2sinA=sinBcosA+cosBsinA化简得2sinA=2cosBsinA因为A 0,，所以sinA0，cosB=22因为0B0,得sinC=22，而C为三角形内角，C=4或34(2)由tanA=-tan B+C=tanB+tanC得-tanB+tanC1-tanBtanC=tanB+tanC，又tanB+tanC0，tanBtanC=2，故B,C 0,2，由(1)得tanC=1，故tanB=2，tanA=tanB+

19、tanC=3，而A为三角形内角，sinA=3 1010.又asinA=csinC即231010=c22c=203，又tanB=2，而B为三角形内角，故sinB=255，S=12acsinB=1222032 55=43.5(2024(2024浙江嘉兴浙江嘉兴二模二模)在ABC中，内角A,B,C所对的边分别是a,b,c，已知2cosA-3cos2A=3.(1)求cosA的值；(2)若ABC为锐角三角形，2b=3c，求sinC的值.【答案】(1)cosA=13或cosA=0；4(2)4 29.【分析】(1)根据题意，利用二倍角余弦公式化简求解；(2)解法一，由2b=3c，利用正弦定理边化角得2sin

20、B=3sinC，结合sin A+C=sinB和cosA=13，化简运算并结合平方关系求得答案；解法二，根据条件利用余弦定理可得c=23a，再利用正弦定理边化角并结合条件求得答案.【详解】(1)由题可得2cosA-3 2cos2A-1=3，即3cos2A-cosA=0，解得cosA=13或cosA=0.(2)解法一：因为2b=3c，由正弦定理得2sinB=3sinC，即2sin A+C=3sinC，即2sinAcosC+2sinCcosA=3sinC，因为cosA=13，所以sinA=2 23；所以4 23cosC+23sinC=3sinC，又sin2C+cos2C=1，且ABC为锐角三角形，解

21、得sinC=4 29.解法二：由余弦定理得cosA=b2+c2-a22bc=13，因为2b=3c，所以9c24+c2-a23c2=13，即c2=49a2，所以c=23a，所以sinC=23sinA，又cosA=13，所以sinA=2 23，所以sinC=23sinA=4 29.6(2023(2023福建福州福建福州模拟预测模拟预测)在ABC中，角A,B,C的对边分别是a,b,c，且asinC=csinB,C=23(1)求B；(2)若ABC面积为3 34，求BC边上中线的长【答案】(1)B=6(2)212【分析】(1)由正弦定理边化角即可得到角B；(2)根据A=B，得a=b，结合三角形面积公式即

22、可得到a=b=3，再由正弦定理得边c，以及2AD=AB+AC，即可得到答案【详解】(1)asinC=csinB，由正弦定理边化角得sinAsinC=sinCsinB，sinC0，sinA=sinB，A=B或A+B=(舍)，又C=23，B=6；(2)B=6，C=23，A=6，a=b，SABC=12absinC，即3 34=12a232，解得a=b=3，由正弦定理asinA=csinC，5得c=asinCsinA=3，设BC边的中点为D，连接AD，如下图：2AD=AB+AC，即(2AD)2=(AB+AC)2，即4AD2=c2+b2+2bccosA=9+3+23 332，解得AD=2127(2024

23、(2024山东淄博山东淄博一模一模)如图，在ABC中，BAC=23,BAC的角平分线交 BC于P点，AP=2.(1)若BC=8，求ABC的面积;(2)若CP=4，求BP的长.【答案】(1)3+1952(2)2+2 133【分析】(1)利用余弦定理和三角形面积公式即可求出答案；(2)首先利用余弦定理求出AC=1+13，再利用正弦定理求出sinC，再根据三角恒变换求出sinB，最后再根据正弦定理即可.【详解】(1)ABC中，设角A、B、C的对边分别为a、b、c，在ABC中由余弦定理得BC2=AB2+AC2-2ABACcosCAB，即64=c2+b2+bc因SABC=SMBP+SMCP，即bc232

24、=2c232+2b232，整理得bc=2b+2c解得bc=2+2 65，所以SABC=12bcsinBAC=3+1952.(2)因为AP=2,CP=4,PAC=3，所以在APC中由余弦定理可得CP2=AP2+AC2-2APACcosCAP，所以16=4+AC2-2AC解得AC=1+13，由正弦定理得APsinC=PCsinCAP，6即2sinC=432，解得sinC=34，所以cosC=1-sin2C=134，sinB=sin(BAC+C)=sinBACcosC+cosBACsinC=39-38,ABC中由正弦定理得ACsinB=BCsinBAC，则1+1339-38=BC32，解得BC=14

25、+2 133，所以PB=BC-PC=14+2 133-4=2+2 133.8(2024(2024安徽安徽模拟预测模拟预测)如图，在平面四边形ABCD中，AB=AD=4，BC=6(1)若A=23，C=3，求sinBDC的值；(2)若CD=2，cosA=3cosC，求四边形ABCD的面积【答案】(1)34(2)16 2+8 53【分析】(1)ABD中求出BD，在BCD中，由正弦定理求出sinBDC的值；(2)ABD和BCD中，由余弦定理求出cosA和cosC，得sinA和sinC，进而可求四边形ABCD的面积【详解】(1)在ABD中，AB=AD=4，A=23，则ADB=6，BD=2ADcosADB

26、=24cos6=4 3，在BCD中，由正弦定理得BCsinBDC=BDsinC，sinBDC=BCsinCBD=6sin34 3=34.(2)在ABD和BCD中，由余弦定理得BD2=AB2+AD2-2ABADcosA=42+42-244cosA=32-32cosA，BD2=CB2+CD2-2CBCDcosC=62+22-262cosC=40-24cosC，得4cosA-3cosC=-1，又cosA=3cosC，得cosA=-13,cosC=-19，则sinA=2 23，sinC=4 59，四边形ABCD的面积S=SABD+SBCD=12ABADsinA+12CBCDsinC=12442 23+

27、12624 59=16 2+8 53.79(2024(2024浙江浙江一模一模)在ABC中，内角A,B,C所对的边分别是a,b,c，已知c2b2+c2-a2=sinCsinB(1)求角A；(2)设边BC的中点为D，若a=7，且ABC的面积为3 34，求AD的长【答案】(1)A=3(2)132【分析】(1)根据正弦定理和题中所给式子化简计算得到b2+c2-a2=bc，再结合余弦定理即可求出角A；(2)根据三角形面积公式得到bc=3和b2+c2=10，再结合中线向量公式计算即可.【详解】(1)在ABC中，由正弦定理得，sinCsinB=cb，因为c2b2+c2-a2=sinCsinB，所以c2b2

28、+c2-a2=cb，化简得，b2+c2-a2=bc，在ABC中，由余弦定理得，cosA=b2+c2-a22bc=12，又因为0AAC，求函数 f x=sin 2x-B-sin 2x+A+C在-,上的单调递增区间【答案】(1)B=3或B=23(2)-,-712,-12,512,1112,【分析】(1)利用正弦定理及三角函数的特殊值对应特殊角即可求解；(2)利用大边对大角及三角形的内角和定理，再利用诱导公式及三角函数的性质即可求解.【详解】(1)在ABC中，由正弦定理可得：ABsinC=ACsinB，即2 222=2 3sinB，解得sinB=32，又0BAC，可得AB，故B=3,A+C=23.f

29、 x=sin 2x-3-sin 2x+23=sin 2x-3-sin 2x+-3=2sin 2x-3,令-2+2k2x-32+2k,kZ,解得-12+kx512+k，kZ.8由于x-,，取k=-1，得-x-712；取k=0，得-12x512；取k=1，得1112x，故 f x在-,上的单调递增区间为-,-712,-12,512,1112,11(2024(2024福建厦门福建厦门二模二模)定义：如果三角形的一个内角恰好是另一个内角的两倍，那么这个三角形叫做倍角三角形.如图，ABC的面积为S，三个内角A、B、C所对的边分别为a,b,c，且sinC=2Sc2-b2.(1)证明：ABC是倍角三角形；(

30、2)若c=9，当S取最大值时，求tanB.【答案】(1)证明见解析(2)2 3-3【分析】(1)由三角形面积公式化简条件，结合余弦定理及正弦定理进一步化简即可证明；(2)由正弦定理结合题中条件得到a=9sin3Bsin2B，结合三角形面积公式S=12acsinB化为关于tanB的表达式，构造函数，利用导数求得最大值即可.【详解】(1)因为sinC=2Sc2-b2=212absinCc2-b2=absinCc2-b2，又sinC0,所以abc2-b2=1，则b2=c2-ab，又由余弦定理知，b2=a2+c2-2accosB，故可得2ccosB=a+b，由正弦定理，2sinCcosB=sinA+s

31、inB,又sinA=sin B+C=sinBcosC+cosBsinC,代入上式可得sinCcosB=sinBcosC+sinB,即sinCcosB-sinBcosC=sinB，sin C-B=sinB，则有C-B=B,C=2B,故ABC是倍角三角形.(2)因为C=2B，所以A=-B-C=-3B0,故0B3，则tanB 0,3，又c=9，又asinA=csinC，则a=9sinAsinC=9sin-3Bsin2B=9sin3Bsin2B,则S=12acsinB=92asinB=929sin3Bsin2BsinB=814sin3BcosB,=814sin2BcosB+cos2BsinBcosB=

32、814 sin2B+cos2BtanB9=8142tanB1+tan2B+1-tan2B1+tan2BtanB=8143tanB-tan3B1+tan2B设x=tanB 0,3，f x=3x-x31+x2，则 fx=3-3x21+x2-3x-x32x1+x22=-x4-6x2+31+x22令 fx=0得x2=2 3-3或者x2=-2 3-3(舍)，且当0 x20，当2 3-3x23时，fx0，则 f x在 0,2 3-3上单调递增，在2 3-3,3上单调递减，故当x=2 3-3 时，f x取最大值，此时S也取最大值，故tanB=2 3-3 为所求.12(2024(2024福建漳州福建漳州模拟预

33、测模拟预测)如图，在四边形ABCD中，DAB=2，B=6，且ABC的外接圆半径为4.(1)若BC=4 2，AD=2 2，求ACD的面积；(2)若D=23，求BC-AD的最大值.【答案】(1)4；(2)8 33.【分析】(1)在三角形ABC中，根据正弦定理求得AC,CAB，再在三角形ADC中，利用三角形面积公式即可求得结果；(2)设DAC=，在三角形ADC,ABC中分别用正弦定理表示BC,AD，从而建立BC-AD关于的三角函数，进而求三角函数的最大值，即可求得结果.【详解】(1)因为B=6，ABC的外接圆半径为4，所以ACsinB=8，解得AC=4.在ABC中，BC=4 2，则BCsinCAB=

34、4 2sinCAB=8，解得sinCAB=22.又CAB 0,2，所以CAB=4；在ACD中，AC=4，DAC=2-CAB=4，AD=2 2，所以SACD=1242 2 22=4.(2)设DAC=，0,3.10又D=23，所以ACD=3-.因为DAB=2，所以CAB=2-.在DAC中，AC=4，由正弦定理得ACsinD=ADsinACD，即432=ADsin3-，解得AD=8 33sin3-=8 3332cos-12sin=4cos-4 33sin.在ABC中，AC=4，由正弦定理得ACsinB=BCsinCAB，即412=BCsin2-，解得BC=8sin2-=8cos，所以BC-AD=4

35、cos+33sin=8 33sin+3.又 0,3，所以+33,23，当且仅当+3=2，即=6时，sin+3取得最大值1，所以BC-AD的最大值为8 33.13(2024(2024山东济南山东济南二模二模)如图，在平面四边形ABCD中，BCCD，AB=BC=2，ABC=，120180.(1)若=120，AD=3，求ADC的大小；(2)若CD=6，求四边形ABCD面积的最大值.【答案】(1)ADC=45(2)3+2【分析】(1)在ABC中，利用余弦定理可得AC=6，由等腰三角形可得BCA=30，然后在ADC中利用正弦定理即可求解；(2)利用勾股定理求得BD=2 2，然后四边形面积分成SBCD+S

36、ABD即可求解.【详解】(1)在ABC中，AB=BC=2，=120，所以BCA=30，由余弦定理可得，AC2=22+22-22 2 -12=6，即AC=6，又BCCD，所以ACD=60，公众号：慧博高中数学最新试题在ADC中，由正弦定理可得3sin60=6sinADC，得sinADC=22，因为ACAD，所以0ADC60，所以ADC=45.(2)在RtBCD中，BC=2,CD=6，所以BD=2 2，所以，四边形ABCD的面积S=SBCD+SABD=122 6+122 2 2sinABD=3+2sinABD，11当ABD=90时，Smax=3+2，即四边形ABCD面积的最大值为3+2.14(20

37、24(2024湖北武汉湖北武汉模拟预测模拟预测)已知锐角ABC的三内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且b2+c2-(bcosC+ccosB)2=bc，(1)求角A的大小；(2)如果该三角形外接圆的半径为3，求bc的取值范围【答案】(1)3(2)6,9【分析】(1)由余弦定理将cosB,cosC化成边，化简再结合余弦定理可求得答案；(2)利用正弦定理，将边化角，再利用角的范围即可得出结果.【详解】(1)b2+c2-bcosC+ccosB2=bc，由余弦定理可得b2+c2-ba2+b2-c22ab+ca2+c2-b22ac2=bc，化简整理得b2+c2-a2=bc，又b2+c2-a2=2bcc

38、osA，cosA=12，又0A2，所以A=3.(2)因为三角形外接圆半径为R=3，所以b=2 3sinB，c=2 3sinC，bc=12sinBsinC，由(1)得B+C=23，所以bc=12sinBsinC=12sinBsin23-B=12sinB32cosB+12sinB=6 3sinBcosB+6sin2B=3 3sin2B+3 1-cos2B=632sin2B-12cos2B+3=6sin 2B-6+3，因为ABC是锐角三角形，且B+C=23，所以6B2，62B-656，12sin 2B-61，66sin 2B-6+39，即6bc9.所以bc的取值范围为 6,9.15(2024(202

39、4湖南邵阳湖南邵阳模拟预测模拟预测)在ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c，且ABC的周长为asinBsinA+sinB-sinC(1)求C；(2)若a=2，b=4，D为边AB上一点，BCD=6，求BCD的面积【答案】(1)C=23；(2)2 35.【分析】(1)根据给定条件，利用正弦定理角化边，再利用余弦定理求解即得.(2)由(1)的结论，利用三角形面积公式，结合割补法列式求出CD，再求出BCD的面积.【详解】(1)在ABC中，a+b+c=asinBsinA+sinB-sinC，由正弦定理得a+b+c=aba+b-c，12整理得a2+b2-c2=-ab，由余弦定理得cosC=a2+b

40、2-c22ab=-12，而0C0，所以-sinA=3cosA，可得tanA=-3，因为A(0,)，所以A=23；(2)()此时AB=2=2AD，ADAB，所以DB=AB2+AD2=5，所以cosABC=ABBD=25,sinABC=ADBD=15,sinC=sin B+23=15-12+2532=-510+155，13在ABC中，由正弦定理可得ACsinABC=ABsinCAC=ABsinABCsinC=215-510+155=8 3+411；()设CAD=，由SABC=SBAD+SCAD，可得3b=2sin23-+bsin，化简可得3b-bsin=2sin23-有bsinADC=CDsin,

41、2sinADB=BDsin23-，由于BD=2DC，所以bsinsinADCsinADB2sin23-=12，所以b=sin23-sin=123b-bsinsinsin=33,b=6+12，则SABC=12bcsinA=3 2+3417(2024(2024广东广州广东广州一模一模)记ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，ABC的面积为S.已知S=-34(a2+c2-b2).(1)求B；(2)若点D在边AC上，且ABD=2，AD=2DC=2，求ABC的周长.【答案】(1)23；(2)3+2 3【分析】(1)根据三角形面积公式和余弦定理，化简已知条件，结合B的范围，即可求得结果；(2)利用

42、平面向量的线性运算及数量积运算，求得AB,BC，即可求得三角形周长.【详解】(1)由S=-34(a2+c2-b2)，则12acsinB=-342accosB，tanB=-3又B 0,，故B=23.(2)由(1)可知，B=23，又ABD=2，则CBD=6；由题可知，AD=2DC=2，故BD=BC+CD=BC+13CA=BC+13BA-BC=23BC+13BA，所以BA BD=BA 23BC+13BA=13c2-13ac=0，因为c0，所以a=c，A=C=6，在RtABD中，c=ADcos6=3，故ABC的周长为AB+BC+AC=3+3+3=3+2 3.18(2024(2024广东佛山广东佛山模拟

43、预测模拟预测)在ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c，其中a=1，cosA=2c-12b14(1)求角B的大小；(2)如图，D为ABC外一点，AB=BD，ABC=ABD，求sinCABsinCDB的最大值【答案】(1)B=3(2)3【分析】(1)根据题意，由正弦定理将边化为角，可得角的方程，化简计算，即可得到结果；(2)根据题意，由正弦定理可得sinCABsinCDB=CDAC，再由余弦定理分别得到 AC2,CD2，再由基本不等式代入计算，即可得到结果.【详解】(1)因为a=1，所以cosA=2c-a2b，由正弦定理asinA=bsinB=csinC，可得cosA=2sinC-sin

44、A2sinB，整理可得2sinBcosA=2sinC-sinA，又因为sinC=sin A+B=sinAcosB+sinBcosA，化简可得sinA=2sinAcosB，而sinA0，则cosB=12，又B 0,，则B=3(2)在BCD中，由BCsinCDB=CDsinCBD可得sinCDB=sin23CD，在ABC中，由BCsinCAB=ACsinABC可得sinCAB=sin3AC，所以sinCABsinCDB=CDAC，设AB=BD=t t0，由余弦定理CD2=BA2+BC2-2BABCcosCBD，AC2=BA2+BC2-2BABCcosCBA，可得CD2=t2+1+t，AC2=t2+

45、1-t，因此CD2AC2=t2+1+tt2+1-t=1+2tt2+1-t1+22t1t-1=3，当且仅当t=1t时，即t=1等号成立，所以sinCABsinCDB的最大值为3，此时AB=BD=1.19(2024(2024河北石家庄河北石家庄二模二模)在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，设向量m=(2sinA,3sinA+3cosA)，n=(cosA,cosA-sinA),f(A)=mn,A6,23.15(1)求函数 f A的最大值;(2)若 f(A)=0,a=3,sinB+sinC=62，求ABC的面积.【答案】(1)3(2)SABC=34【分析】(1)由平面向量的数量积与三角恒

46、等变换知识计算可得 f(x)=2sin 2A+3，再结合三角函数的值域计算即可求得；(2)由题中条件计算可得A=3，再由正弦定理得b+c=6，由余弦定理可得bc=1，再由三角形的面积公式计算即可求得【详解】(1)f(x)=mn=2sinAcosA+(3sinA+3cosA)(cosA-sinA)=sin2A+3(cos2A-sin2A)=sin2A+3cos2A=2sin 2A+3因为A6,23，所以2A+323,53，所以当2A+3=23，即A=6时，f(x)有最大值232=3；(2)因为 f A=0，所以2sin 2A+3=0，所以2A+3=k,kZ，因为A6,23A，所以A=3，由正弦定

47、理得：2R=asinA=332=2，所以sinB=b2R=b2，sinC=c2R=c2，又因为sinB+sinC=62，所以b2+c2=62，所以b+c=6，由余弦定理有：a2=b2+c2-2bccosA，即3=(b+c)2-3bc，所以bc=1，所以SABC=12bcsinA=12132=3420(2024(2024广东广东一模一模)设锐角三角形ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c，已知b-ccosA=2acosBcosC(1)求cosB；(2)若点D在AC上(与A,C不重合)，且C=4,ADB=2CBD，求CDAD的值【答案】(1)12(2)2+3【分析】(1)根据条件，边转角得到

48、sinB-sinCcosA=2sinAcosBcosC，再利用sinB=sinAcosC+cosAsinC即可求出结果；(2)根据题设得到DBC=C=4，进而可求得A=512，ABD=12，再利用CDAD=SBCDSABD，即可求出结果.【详解】(1)由b-ccosA=2acosBcosC，得到sinB-sinCcosA=2sinAcosBcosC，又sinB=sin(-A-C)=sin(A+C)=sinAcosC+cosAsinC，16所以cosCsinA=2sinAcosBcosC，又三角形ABC为锐角三角形，所以sinA0,cosC0，得到1=2cosB，即cosB=12.(2)因为AD

49、B=2CBD，又ADB=ACB+CBD，所以ACB=CBD，则BD=CD，所以DBC=C=4，由(1)知，B=3，则A=-3-4=512，ABD=-2-512=12，则CDAD=SBCDSABD=12BCBDsin412ABBDsin12=sinAsin4sinCsin12=sin512sin4sin4sin12=cos12sin12=1tan12，又tan12=tan4-3=1-331+33=3-33+3，所以CDAD=3+33-3=2+3.21(2024(2024辽宁辽宁二模二模)在ABC中，D为BC边上一点，DC=CA=1，且ACD面积是ABD面积的2倍(1)若AB=2AD，求AB的长；

50、(2)求sinADBsinB的取值范围【答案】(1)1(2)54,+【分析】(1)根据三角形面积公式，结合余弦定理进行求解即可；(2)根据余弦定理、二倍角的余弦公式求出AB,AD的表达式，最后根据正弦定理求出sinADBsinB的表达式，利用余弦函数的最值性质进行求解即可.公众号：慧博高中数学最新试题【详解】(1)设BC边上的高为AE，垂足为E，因为ACD面积是ABD面积的2倍，所以有SACDSABD=12CDAE12BDAE=2BD=12BC=32，设AB=2AD=xAD=22x，由余弦定理可知：cosC=AC2+BC2-AB22ACBC=AC2+DC2-AD22ACDC1+94-x2213