2023年新课标全国Ⅱ卷数学真题（含解析）.docx

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1、2023年新课标全国卷满分150分 考试时间120分钟注意事项： 1答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。2回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。3考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题1. 在复平面内，1+3i3-i对应的点位于（ ）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限2. 设集合A=0,-a，B=1,a-2,2a-2，若AB，则a=（ ）A. 2B. 1C. D. 3. 某学校为了解学生参加体育运动情

2、况，用比例分配的分层随机抽样方法作抽样调查，拟从初中部和高中部两层共抽取60名学生，已知该校初中部和高中部分别有400名和200名学生，则不同的抽样结果共有（ ）A C40045C20015种B. C40020C20040种C. C40030C20030种D. C40040C20020种4. 若fx=x+aln2x-12x+1为偶函数，则a=（ ）A. B. 0C. 12D. 15. 已知椭圆的左、右焦点分别为F1，F2，直线y=x+m与C交于A，B两点，若F1AB面积是F2AB面积的2倍，则m=（ ）A. B. 23C. -23D. -236. 已知函数fx=aex-lnx在区间1,2上单调

3、递增，则a的最小值为（ ）A. e2B. eC. e-1D. e-27. 已知为锐角，cos=1+54，则sin2=（ ）A. 3-58B. -1+58C. 3-54D. -1+548. 记Sn为等比数列an的前n项和，若，S6=21S2，则S8=（ ）A. 120B. 85C. -85D. -120二、选择题9. 已知圆锥的顶点为P，底面圆心为O，AB为底面直径，APB=120，PA=2，点C在底面圆周上，且二面角P-AC-O为45，则（ ）A. 该圆锥体积为B. 该圆锥的侧面积为43C. AC=22D. PAC的面积为10. 设O为坐标原点，直线y=-3x-1过抛物线C:y2=2pxp0的

4、焦点，且与C交于M，N两点，l为C的准线，则（ ）A. p=2B. MN=83C. 以MN为直径的圆与l相切D. OMN为等腰三角形11. 若函数fx=alnx+bx+cx2a0既有极大值也有极小值，则（ ）A bc0B. ab0C. b2+8ac0D. 12. 在信道内传输0，1信号，信号的传输相互独立发送0时，收到1的概率为(01)，收到0的概率为1-；发送1时，收到0的概率为(01)，收到1的概率为1-. 考虑两种传输方案：单次传输和三次传输单次传输是指每个信号只发送1次，三次传输 是指每个信号重复发送3次收到的信号需要译码，译码规则如下：单次传输时，收到的信号即为译码；三次传输时，收到

5、的信号中出现次数多的即为译码（例如，若依次收到1，0，1，则译码为1）.A. 采用单次传输方案，若依次发送1，0，1，则依次收到l，0，1的概率为(1-)(1-)2B. 采用三次传输方案，若发送1，则依次收到1，0，1的概率为(1-)2C. 采用三次传输方案，若发送1，则译码为1的概率为(1-)2+(1-)3D. 当05时，TnSn19. 某研究小组经过研究发现某种疾病的患病者与未患病者的某项医学指标有明显差异，经过大量调查，得到如下的患病者和未患病者该指标的频率分布直方图： 利用该指标制定一个检测标准，需要确定临界值c，将该指标大于c的人判定为阳性，小于或等于c的人判定为阴性此检测标准的漏诊

6、率是将患病者判定为阴性的概率，记为p(c)；误诊率是将未患病者判定为阳性的概率，记为q(c)假设数据在组内均匀分布，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率（1）当漏诊率pc=0.5时，求临界值c和误诊率qc；（2）设函数fc=pc+qc，当c95,105时，求fc的解析式，并求fc在区间95,105的最小值20. 如图，三棱锥A-BCD中，DA=DB=DC，BDCD，ADB=ADC=60，E为BC的中点 （1）证明：BCDA；（2）点F满足EF=DA，求二面角D-AB-F的正弦值21. 已知双曲线C的中心为坐标原点，左焦点为-25,0，离心率为5（1）求C的方程；（2）记C的左、右顶点分别为A

7、1，过点-4,0的直线与C的左支交于M，N两点，M在第二象限，直线MA1与NA2交于点P证明:点P在定直线上.22. （1）证明：当0x1时，x-x2sinx0，解得x12或x-12，则其定义域为xx12或x0，解得-2m0，所以xex1a，设gx=xex,x1,2，所以gx=x+1ex0，所以gx在1,2上单调递增，gxg1=e，故e1a，即a1e=e-1，即a的最小值为e-1故选：C7. 已知为锐角，cos=1+54，则sin2=（ ）A. 3-58B. -1+58C. 3-54D. -1+54【答案】D【解析】因为cos=1-2sin22=1+54，而为锐角，解得：3-58=5-1216

8、=5-14故选：D8. 记Sn为等比数列an的前n项和，若，S6=21S2，则S8=（ ）A. 120B. 85C. -85D. -120【答案】C【解析】方法一：设等比数列an的公比为q，首项为a1，若q=1，则S6=6a1=32a1=3S2，与题意不符，所以q1；由，S6=21S2可得，a11-q61-q=21a11-q21-q，由可得，1+q2+q4=21，解得：q2=4，所以a11-q81-q=a11-q41-q1+q4=-51+16=-85故选：C方法二：设等比数列an的公比为q，因为，S6=21S2，所以q-1，否则S4=0，从而，S2,S4-S2,S6-S4,S8-S6成等比数列

9、，所以有，-5-S22=S221S2+5，解得：S2=-1或S2=54，当S2=-1时，S2,S4-S2,S6-S4,S8-S6，即为-1,-4,-16,S8+21，易知，S8+21=-64，即S8=-85；当S2=54时，S4=a1+a2+a3+a4=a1+a21+q2=1+q2S20，与矛盾，舍去故选：C二、选择题9. 已知圆锥的顶点为P，底面圆心为O，AB为底面直径，APB=120，PA=2，点C在底面圆周上，且二面角P-AC-O为45，则（ ）A. 该圆锥的体积为B. 该圆锥的侧面积为43C. AC=22D. PAC的面积为【答案】AC【解析】依题意，APB=120，PA=2，所以OP

10、=1,OA=OB=3，A选项，圆锥的体积为13321=，A选项正确；B选项，圆锥的侧面积为32=23，B选项错误；C选项，设D是AC的中点，连接OD,PD，则ACOD,ACPD，所以是二面角P-AC-O的平面角，则PDO=45，所以OP=OD=1，故AD=CD=3-1=2，则AC=22，C选项正确；D选项，PD=12+12=2，所以SPAC=12222=2，D选项错误.故选：AC.10. 设O为坐标原点，直线y=-3x-1过抛物线C:y2=2pxp0的焦点，且与C交于M，N两点，l为C的准线，则（ ）A. p=2B. MN=83C. 以MN为直径的圆与l相切D. OMN为等腰三角形【答案】AC

11、【解析】A选项：直线y=-3x-1过点1,0，所以抛物线C:y2=2pxp0的焦点F1,0，所以p2=1,p=2,2p=4，则A选项正确，且抛物线C的方程为y2=4x.B选项：设Mx1,y1,Nx2,y2，由y=-3x-1y2=4x消去y并化简得3x2-10x+3=x-33x-1=0，解得x1=3,x2=13，所以MN=x1+x2+p=3+13+2=163，B选项错误.C选项：设MN的中点为A，M,N,A到直线l的距离分别为d1,d2,d，因为d=12d1+d2=12MF+NF=12MN，即A到直线l的距离等于MN的一半，所以以MN为直径的圆与直线l相切，C选项正确.D选项：直线y=-3x-1

12、，即3x+y-3=0，O到直线3x+y-3=0的距离为d=32，所以三角形OMN的面积为1216332=433，由上述分析可知y1=-33-1=-23,y2=-313-1=233，所以OM=32+-232=21,ON=132+2332=133，所以三角形OMN不是等腰三角形，D选项错误.故选：AC. 11. 若函数fx=alnx+bx+cx2a0既有极大值也有极小值，则（ ）A. bc0B. ab0C. b2+8ac0D. 【答案】BCD【解析】函数f(x)=alnx+bx+cx2的定义域为(0,+)，求导得f(x)=ax-bx2-2cx3=ax2-bx-2cx3，因为函数f(x)既有极大值也

13、有极小值，则函数在(0,+)上有两个变号零点，而a0，因此方程ax2-bx-2c=0有两个不等的正根x1,x2，于是=b2+8ac0x1+x2=ba0x1x2=-2ca0，即有b2+8ac0，ab0，显然a2bc0，即bc0，A错误，BCD正确.故选：BCD12. 在信道内传输0，1信号，信号的传输相互独立发送0时，收到1的概率为(01)，收到0的概率为1-；发送1时，收到0的概率为(01)，收到1的概率为1-. 考虑两种传输方案：单次传输和三次传输单次传输是指每个信号只发送1次，三次传输 是指每个信号重复发送3次收到的信号需要译码，译码规则如下：单次传输时，收到的信号即为译码；三次传输时，收

14、到的信号中出现次数多的即为译码（例如，若依次收到1，0，1，则译码为1）.A. 采用单次传输方案，若依次发送1，0，1，则依次收到l，0，1的概率为(1-)(1-)2B. 采用三次传输方案，若发送1，则依次收到1，0，1的概率为(1-)2C. 采用三次传输方案，若发送1，则译码为1的概率为(1-)2+(1-)3D. 当00.5时，若发送0，则采用三次传输方案译码为0的概率大于采用单次传输方案译码为0的概率【答案】ABD【解析】对于A，依次发送1，0，1，则依次收到l，0，1的事件是发送1接收1、发送0接收0、发送1接收1的3个事件的积，它们相互独立，所以所求概率为(1-)(1-)(1-)=(1

15、-)(1-)2，A正确；对于B，三次传输，发送1，相当于依次发送1，1，1，则依次收到l，0，1的事件，是发送1接收1、发送1接收0、发送1接收1的3个事件的积，它们相互独立，所以所求概率为(1-)(1-)=(1-)2，B正确；对于C，三次传输，发送1，则译码为1的事件是依次收到1，1，0、1，0，1、0，1，1和1，1，1的事件和，它们互斥，由选项B知，所以所求的概率为C32(1-)2+(1-)3=(1-)2(1+2)，C错误；对于D，由选项C知，三次传输，发送0，则译码为0的概率P=(1-)2(1+2)，单次传输发送0，则译码为0的概率P=1-，而00，即PP，D正确.故选：ABD三、填空

16、题13. 已知向量a，b满足a-b=3，a+b=2a-b，则b=_【答案】【解析】法一：因为a+b=2a-b，即a+b2=2a-b2，则a2+2ab+b2=4a2-4ab+b2，整理得a2-2ab=0，又因为a-b=3，即a-b2=3，则a2-2ab+b2=b2=3，所以b=3.法二：设c=a-b，则c=3,a+b=c+2b,2a-b=2c+b，由题意可得：c+2b2=2c+b2，则c2+4cb+4b2=4c2+4cb+b2，整理得：c2=b2，即b=c=3.故答案为：.14. 底面边长为4的正四棱锥被平行于其底面的平面所截，截去一个底面边长为2，高为3的正四棱锥，所得棱台的体积为_【答案】2

17、8【解析】方法一：由于24=12，而截去的正四棱锥的高为3，所以原正四棱锥的高为6，所以正四棱锥的体积为13446=32，截去的正四棱锥的体积为13223=4，所以棱台的体积为32-4=28.方法二：棱台的体积为13316+4+164=28.故答案为：28.15. 已知直线与C:x-12+y2=4交于A，B两点，写出满足“ABC面积为85”的m的一个值_【答案】2（2,-2,12,-12中任意一个皆可以）【解析】设点C到直线AB的距离为d，由弦长公式得AB=24-d2，所以SABC=12d24-d2=85，解得：d=455或d=255，由d=1+11+m2=21+m2，所以21+m2=455或

18、21+m2=255，解得：m=2或m=12故答案为：2（2,-2,12,-12中任意一个皆可以）16. 已知函数fx=sinx+，如图A，B是直线y=12与曲线的两个交点，若AB=6，则f=_ 【答案】-32【解析】设，由AB=6可得x2-x1=6，由sinx=12可知，或x=56+2k，kZ，由图可知，x2+-x1+=56-6=23，即x2-x1=23，=4因为f23=sin83+=0，所以83+=k，即=-83+k，kZ所以f(x)=sin4x-83+k=sin4x-23+k，所以fx=sin4x-23或fx=-sin4x-23，又因为f00，所以f(x)=sin4x-23，f=sin4-

19、23=-32故答案为：-32四、解答题17. 记ABC的内角的对边分别为a,b,c，已知ABC的面积为，D为BC中点，且AD=1（1）若ADC=3，求；（2）若b2+c2=8，求b,c【答案】（1）35； （2）b=c=2.【解析】【1】方法1：在ABC中，因为D为BC中点，ADC=3，AD=1， 则SADC=12ADDCsinADC=12112a32=38a=12SABC=32，解得a=4，在ABD中，ADB=23，由余弦定理得c2=BD2+AD2-2BDADcosADB，即c2=4+1-221(-12)=7，解得c=7，则cosB=7+4-1272=5714，sinB=1-cos2B=1-

20、(5714)2=2114，所以tanB=sinBcosB=35.方法2：在ABC中，因为D为BC中点，ADC=3，AD=1，则SADC=12ADDCsinADC=12112a32=38a=12SABC=32，解得a=4，在ACD中，由余弦定理得b2=CD2+AD2-2CDADcosADB，即b2=4+1-22112=3，解得b=3，有AC2+AD2=4=CD2，则CAD=2，C=6，过A作AEBC于E，于是CE=ACcosC=32,AE=ACsinC=32，BE=52，所以tanB=AEBE=35【2】方法1：在ABD与ACD中，由余弦定理得c2=14a2+1-212a1cos(-ADC)b2

21、=14a2+1-212a1cosADC，整理得12a2+2=b2+c2，而b2+c2=8，则a=23，又SADC=1231sinADC=32，解得sinADC=1，而0ADC，于是ADC=2，所以b=c=AD2+CD2=2.方法2：在ABC中，因为D为BC中点，则2AD=AB+AC，又CB=AB-AC，于是4AD2+CB2=(AB+AC)2+(AB-AC)2=2(b2+c2)=16，即4+a2=16，解得a=23，又SADC=1231sinADC=32，解得sinADC=1，而0ADC5时，TnSn【答案】（1）an=2n+3； （2）证明见解析.【解析】【1】设等差数列an的公差为d，而bn

22、=an-6,n=2k-12an,n=2k,kN*，则b1=a1-6,b2=2a2=2a1+2d,b3=a3-6=a1+2d-6，于S4=4a1+6d=32T3=4a1+4d-12=16，解得a1=5,d=2，an=a1+(n-1)d=2n+3，所以数列an的通项公式是an=2n+3.【2】方法1：由（1）知，Sn=n(5+2n+3)2=n2+4n，bn=2n-3,n=2k-14n+6,n=2k,kN*，当n为偶数时，bn-1+bn=2(n-1)-3+4n+6=6n+1，Tn=13+(6n+1)2n2=32n2+72n，当n5时，Tn-Sn=(32n2+72n)-(n2+4n)=12n(n-1)

23、0，因此TnSn，当n为奇数时，Tn=Tn+1-bn+1=32(n+1)2+72(n+1)-4(n+1)+6=32n2+52n-5，当n5时，Tn-Sn=(32n2+52n-5)-(n2+4n)=12(n+2)(n-5)0，因此TnSn，所以当n5时，TnSn.方法2：由（1）知，Sn=n(5+2n+3)2=n2+4n，bn=2n-3,n=2k-14n+6,n=2k,kN*，当n为偶数时，Tn=(b1+b3+bn-1)+(b2+b4+bn)=-1+2(n-1)-32n2+14+4n+62n2=32n2+72n，当n5时，Tn-Sn=(32n2+72n)-(n2+4n)=12n(n-1)0，因此

24、TnSn，当n为奇数时，若n3，则Tn=(b1+b3+bn)+(b2+b4+bn-1)=-1+2n-32n+12+14+4(n-1)+62n-12=32n2+52n-5，显然T1=b1=-1满足上式，因此当n为奇数时，Tn=32n2+52n-5，当n5时，Tn-Sn=(32n2+52n-5)-(n2+4n)=12(n+2)(n-5)0，因此TnSn，所以当n5时，TnSn.19. 某研究小组经过研究发现某种疾病的患病者与未患病者的某项医学指标有明显差异，经过大量调查，得到如下的患病者和未患病者该指标的频率分布直方图： 利用该指标制定一个检测标准，需要确定临界值c，将该指标大于c的人判定为阳性，

25、小于或等于c的人判定为阴性此检测标准的漏诊率是将患病者判定为阴性的概率，记为p(c)；误诊率是将未患病者判定为阳性的概率，记为q(c)假设数据在组内均匀分布，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率（1）当漏诊率pc=0.5时，求临界值c和误诊率qc；（2）设函数fc=pc+qc，当c95,105时，求fc的解析式，并求fc在区间95,105的最小值【答案】（1）c=97.5，q(c)=3.5%； （2）f(c)=-0.008c+0.82,95c1000.01c-0.98,1000.5%，所以95c100，所以c-950.002=0.5%，解得：c=97.5，q(c)=0.0197.5-95+5

26、0.002=0.035=3.5%【2】当时，f(c)=p(c)+q(c)=(c-95)0.002+(100-c)0.01+50.002 ；当时， f(c)=p(c)+q(c)=50.002+(c-100)0.012+(105-c)0.002 , 故f(c)=-0.008c+0.82,95c1000.01c-0.98,1000,b0，由焦点坐标可知c=25，则由e=ca=5可得a=2，b=c2-a2=4，双曲线方程为x24-y216=1.【2】由(1)可得A1-2,0,A22,0，设Mx1,y1,Nx2,y2，显然直线的斜率不为0，所以设直线MN的方程为x=my-4，且-12m0，则y1+y2=

27、32m4m2-1,y1y2=484m2-1， 直线MA1的方程为y=y1x1+2x+2，直线NA2的方程为y=y2x2-2x-2，联立直线MA1与直线NA2的方程可得：x+2x-2=y2x1+2y1x2-2=y2my1-2y1my2-6=my1y2-2y1+y2+2y1my1y2-6y1=m484m2-1-232m4m2-1+2y1m484m2-1-6y1=-16m4m2-1+2y148m4m2-1-6y1=-13，由x+2x-2=-13可得x=-1，即xP=-1，据此可得点P在定直线x=-1上运动.22. （1）证明：当0x1时，x-x2sinx0对x0,1恒成立，则Fx在上单调递增，可得F

28、xF0=0，所以xsinx,x0,1；构建Gx=sinx-x-x2=x2-x+sinx,x0,1，则Gx=2x-1+cosx,x0,1，构建gx=Gx,x0,1，则gx=2-sinx0对x0,1恒成立，则gx在上单调递增，可得gxg0=0，即Gx0对x0,1恒成立，则Gx在上单调递增，可得GxG0=0，所以sinxx-x2,x0,1；综上所述：x-x2sinx0，解得-1x0因为fx=cosax-ln1-x2=cosax-ln1-x2=cosbx-ln1-x2，且f-x=cos-bx-ln1-x2=cosbx-ln1-x2=fx，所以函数fx在定义域内为偶函数，由题意可得：fx=-bsinbx

29、-2xx2-1,x-1,1，（i）当时，取m=min1b,1，x0,m，则bx0,1，由（1）可得fx=-bsinbx-2xx2-1-b2x-2xx2-1=xb2x2+2-b21-x2，且b2x20,2-b20,1-x20，所以fxxb2x2+2-b21-x20，即当x0,m0,1时，fx0，则fx在0,m上单调递增，结合偶函数的对称性可知：fx在-m,0上单调递减，所以x=0是fx的极小值点，不合题意；（）当b22时，取x0,1b0,1，则bx0,1，由（1）可得fx=-bsinbx-2xx2-10,h1b=b3-b0，则hx0对x0,1b恒成立，可知hx在0,1b上单调递增，且h0=2-b20，所以hx在0,1b内存在唯一的零点n0,1b，当x0,n时，则hx0,1-x20，则fxx1-x2-b3x3+b2x2+b3x+2-b20，即当x0,n0,1时，fx2，即a22，解得a2或，故a的取值范围为-,-22,+.