2023年高考全国甲卷数学(理)真题含解析.docx

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1、2023年高考数学全国甲卷(理)满分150分 考试时间120分钟注意事项： 1答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。2回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。3考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题1. 设集合，U为整数集，U(AB)=（ ）A. x|x=3k,kZB. C. D. 2. 若复数a+i1ai=2,aR，则a=（ ）A. -1B. 0 C. 1D. 23. 执行下面的程序框遇，输出的B=（ ） A. 21B. 3

2、4C. 55D. 894 向量，且a+b+c=0，则（ ）A. 15B. 25C. 25D. 455. 已知正项等比数列an中，a1=1,Sn为an前n项和，则S4=（ ）A. 7B. 9C. 15D. 306. 有60人报名足球俱乐部，60人报名乒乓球俱乐部，70人报名足球或乒乓球俱乐部，若已知某人报足球俱乐部，则其报乒乓球俱乐部的概率为（ ）A. 0.8B. 0.4C. 0.2D. 0.17. “”是“sin+cos=0”的（ ）A. 充分条件但不是必要条件B. 必要条件但不是充分条件C. 充要条件D. 既不是充分条件也不是必要条件8. 已知双曲线的离心率为5，其中一条渐近线与圆交于A，B

3、两点，则|AB|=（ ）A. 15B. 55C. 255D. 4559. 有五名志愿者参加社区服务，共服务星期六、星期天两天，每天从中任选两人参加服务，则恰有1人连续参加两天服务的选择种数为（ ）A 120B. 60C. 40D. 3010. 已知fx为函数y=cos2x+6向左平移6个单位所得函数，则 y=fx与的交点个数为（ ）A. 1B. 2C. 3D. 411. 在四棱锥PABCD中，底面ABCD为正方形，则PBC的面积为（ ）A. 22B. 32C. D. 5212. 己知椭圆x29+y26=1，F1,F2为两个焦点，O为原点，P为椭圆上一点，cosF1PF2=35，则（ ）A. 2

4、5B. 302C. 35D. 352二、填空题13. 若y=(x1)2+ax+sinx+2为偶函数，则a=_14. 设x，y满足约束条件2x+3y33x2y3x+y1，设z=3x+2y，则z的最大值为_15. 在正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F分别为CD，A1B1的中点，则以EF为直径的球面与正方体每条棱的交点总数为_16. 在ABC中，AB=2，D为BC上一点，AD为BAC的平分线，则AD=_三、解答题17. 已知数列an中，a2=1，设Sn为an前n项和，2Sn=nan（1）求an的通项公式；（2）求数列an+12n的前n项和Tn18. 在三棱柱ABCA1B1C1中，AA1=2，A

5、1C底面ABC，ACB=90，A1到平面BCC1B1的距离为1 （1）求证：AC=A1C；（2）若直线AA1与距离为2，求AB1与平面BCC1B1所成角的正弦值19. 为探究某药物对小鼠的生长抑制作用，将40只小鼠均分为两组，分别为对照组（不加药物）和实验组（加药物）（1）设其中两只小鼠中对照组小鼠数目为X，求X 分布列和数学期望；（2）测得40只小鼠体重如下（单位：g）：（已按从小到大排好）对照组：173 18.4 20.1 20.4 21.5 23.2 24.6 24.8 25.0 25.426.1 26.3 26.4 26.5 26.8 27.0 27.4 27.5 27.6 28.3实

6、验组：5.4 6.6 6.8 6.9 7.8 8.2 9.4 10.0 10.4 11.214.4 17.3 19.2 20.2 23.6 23.8 24.5 25.1 25.2 26.0（i）求40只小鼠体重的中位数m，并完成下面22列联表：0)交于A,B两点，且|AB|=415（1）求；（2）设C的焦点为F，M，N为C上两点，MFNF=0，求MNF面积的最小值21. 已知（1）若a=8，讨论f(x)的单调性；（2）若恒成立，求a的取值范围四、选做题22. 已知P(2,1)，直线l:x=2+tcosy=1+tsin（t为参数），为l 倾斜角，l与x轴，y轴正半轴交于A，B两点，|PA|PB|

7、=4（1）求的值；（2）以原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求l的极坐标方程23. 已知（1）求不等式fx0,所以q=2.所以S4=1+2+4+8=15.故选:C.6. 有60人报名足球俱乐部，60人报名乒乓球俱乐部，70人报名足球或乒乓球俱乐部，若已知某人报足球俱乐部，则其报乒乓球俱乐部的概率为（ ）A. 0.8B. 0.4C. 0.2D. 0.1【答案】A【解析】报名两个俱乐部的人数为，记“某人报足球俱乐部”为事件A,记“某人报兵乓球俱乐部”为事件B，则，所以.故选:A.7. “”是“sin+cos=0”的（ ）A. 充分条件但不是必要条件B. 必要条件但不是充分条件C. 充要条件

8、D. 既不是充分条件也不是必要条件【答案】B【解析】当时，例如=2,=0但sin+cos0，即推不出sin+cos=0；当sin+cos=0时，sin2+sin2=(-cos)2+sin2=1，即sin+cos=0能推出.综上可知，是sin+cos=0成立的必要不充分条件.故选：B8. 已知双曲线的离心率为5，其中一条渐近线与圆交于A，B两点，则|AB|=（ ）A. 15B. 55C. 255D. 455【答案】D【解析】由e=5，则c2a2=a2+b2a2=1+b2a2=5，解得ba=2，所以双曲线的一条渐近线不妨取y=2x，则圆心(2,3)到渐近线的距离d=|22-3|22+1=55，所以

9、弦长|AB|=2r2-d2=21-15=455.故选：D9. 有五名志愿者参加社区服务，共服务星期六、星期天两天，每天从中任选两人参加服务，则恰有1人连续参加两天服务的选择种数为（ ）A. 120B. 60C. 40D. 30【答案】B【解析】不妨记五名志愿者为a,b,c,d,e，假设a连续参加了两天社区服务，再从剩余的4人抽取2人各参加星期六与星期天的社区服务，共有A42=12种方法，同理：b,c,d,e连续参加了两天社区服务，也各有12种方法，所以恰有1人连续参加了两天社区服务的选择种数有512=60种.故选：B.10. 已知fx为函数y=cos2x+6向左平移6个单位所得函数，则 y=f

10、x与的交点个数为（ ）A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】C【解析】因为y=cos2x+6向左平移6个单位所得函数为y=cos2x+6+6=cos2x+2=-sin2x，所以fx=-sin2x，而显然过0,-12与1,0两点，作出fx与的部分大致图像如下， 考虑2x=-32,2x=32,2x=72，即x=-34,x=34,x=74处fx与的大小关系，当x=-34时，f-34=-sin-32=-1，y=12-34-12=-3+48-1；当x=34时，f34=-sin32=1，y=1234-12=3-481；所以由图可知，fx与的交点个数为3.故选：C.11. 在四棱锥P-ABCD中，底面AB

11、CD为正方形，则PBC的面积为（ ）A. 22B. 32C. D. 52【答案】C【解析】法一：连结AC,BD交于O，连结PO，则O为AC,BD的中点，如图，因为底面ABCD为正方形，AB=4，所以AC=BD=42，则DO=CO=22，又PC=PD=3，PO=OP，所以PDOPCO，则PDO=PCO，又PC=PD=3，AC=BD=42，所以PDBPCA，则PA=PB，在PAC中，PC=3,AC=42,PCA=45，则由余弦定理可得PA2=AC2+PC2-2ACPCcosPCA=32+9-242322=17，故PA=17，则，故在PBC中，PC=3,PB=17,BC=4，所以cosPCB=PC2

12、+BC2-PB22PCBC=9+16-17234=13，又0PCB，所以sinPCB=1-cos2PCB=223，所以PBC的面积为S=12PCBCsinPCB=1234223=42.法二：连结AC,BD交于O，连结PO，则O为AC,BD的中点，如图，因为底面ABCD为正方形，AB=4，所以AC=BD=42，在PAC中，PC=3,PCA=45，则由余弦定理可得PA2=AC2+PC2-2ACPCcosPCA=32+9-242322=17，故PA=17，所以cosAPC=PA2+PC2-AC22PAPC=17+9-322173=-1717，则PAPC=PAPCcosAPC=173-1717=-3，

13、不妨记PB=m,BPD=，因为PO=12PA+PC=12PB+PD，所以PA+PC2=PB+PD2，即PA2+PC2+2PAPC=PB2+PD2+2PBPD，则17+9+2-3=m2+9+23mcos，整理得m2+6mcos-11=0，又在PBD中，BD2=PB2+PD2-2PBPDcosBPD，即32=m2+9-6mcos，则m2-6mcos-23=0，两式相加得2m2-34=0，故PB=m=17，故在PBC中，PC=3,PB=17,BC=4，所以cosPCB=PC2+BC2-PB22PCBC=9+16-17234=13，又0PCB，所以sinPCB=1-cos2PCB=223，所以PBC的

14、面积为S=12PCBCsinPCB=1234223=42.故选：C.12. 己知椭圆x29+y26=1，F1,F2为两个焦点，O为原点，P为椭圆上一点，cosF1PF2=35，则（ ）A 25B. 302C. 35D. 352【答案】B【解析】方法一：设F1PF2=2,00，解得：b=1+3，由SABC=SABD+SACD可得，122bsin60=122ADsin30+12ADbsin30，解得：AD=3b1+b2=231+33+3=2故答案为：2方法二：由余弦定理可得，22+b2-22bcos60=6，因为b0，解得：b=1+3，由正弦定理可得，6sin60=bsinB=2sinC，解得：s

15、inB=6+24，sinC=22，因为1+362，所以，B=180-60-45=75，又BAD=30，所以，即AD=AB=2故答案为：2三、解答题17. 已知数列an中，a2=1，设Sn为an前n项和，2Sn=nan（1）求an的通项公式；（2）求数列an+12n前n项和Tn【答案】（1）an=n-1 （2）Tn=2-2+n12n【解析】【1】因为2Sn=nan，当n=1时，2a1=a1，即a1=0；当n=3时，21+a3=3a3，即a3=2，当n2时，2Sn-1=n-1an-1，所以2Sn-Sn-1=nan-n-1an-1=2an，化简得：n-2an=n-1an-1，当n3时，ann-1=a

16、n-1n-2=a32=1，即an=n-1，当n=1,2,3时都满足上式，所以an=n-1nN*【2】因为an+12n=n2n，所以Tn=1121+2122+3123+n12n，12Tn=1122+2123+(n-1)12n+n12n+1，两式相减得，12Tn=121+122+123+12n-n12n+1=121-12n1-12-n12n+1，=1-1+n212n，即Tn=2-2+n12n，nN*18. 在三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1=2，A1C底面ABC，ACB=90，A1到平面BCC1B1的距离为1 （1）求证：AC=A1C；（2）若直线AA1与距离为2，求AB1与平面BCC1B1所

17、成角的正弦值【答案】（1）证明见解析 （2）1313【解析】【1】如图， A1C底面ABC，BC面ABC，A1CBC，又BCAC，A1C,AC平面ACC1A1，A1CAC=C,BC平面ACC1A1，又BC平面BCC1B1，平面ACC1A1平面BCC1B1， 过A1作A1OCC1交于O，又平面ACC1A1平面BCC1B1=CC1，A1O平面ACC1A1，A1O平面BCC1B1到平面BCC1B1的距离为1，A1O=1，在RtA1CC1中，A1CA1C1,CC1=AA1=2，设CO=x，则C1O=2-x，A1OC,A1OC1,A1CC1为直角三角形，且CC1=2，CO2+A1O2=A1C2，A1O2

18、+OC12=C1A12，A1C2+A1C12=C1C2，1+x2+1+(2-x)2=4，解得x=1，AC=A1C【2】AC=A1C1,BCA1C,BCAC，RtACBRtA1CBBA=BA1，过B作，交AA1于D，则D为AA1中点，由直线AA1与距离为2，所以A1D=1，A1B=AB=5，在RtABC，BC=AB2-AC2=3，延长AC，使AC=CM，连接C1M，由CMA1C1,CM=A1C1知四边形A1CMC1为平行四边形，C1MA1C，C1M平面ABC，又AM平面ABC，C1MAM，则在RtAC1M中，AM=2AC,C1M=A1C，AC1=(2AC)2+A1C2，在RtAB1C1中，AC1

19、=(2AC)2+A1C2，B1C1=BC=3，AB1=(22)2+(2)2+(3)2=13,又A到平面BCC1B1距离也为1，所以AB1与平面BCC1B1所成角的正弦值为113=1313.19. 为探究某药物对小鼠的生长抑制作用，将40只小鼠均分为两组，分别为对照组（不加药物）和实验组（加药物）（1）设其中两只小鼠中对照组小鼠数目为X，求X的分布列和数学期望；（2）测得40只小鼠体重如下（单位：g）：（已按从小到大排好）对照组：17.3 18.4 20.1 20.4 21.5 23.2 24.6 24.8 25.0 25.426.1 26.3 26.4 26.5 26.8 27.0 27.4

20、27.5 27.6 28.3实验组：5.4 6.6 6.8 6.9 7.8 8.2 9.4 10.0 10.4 11.214.4 17.3 19.2 20.2 23.6 23.8 24.5 25.1 25.2 26.0（i）求40只小鼠体重的中位数m，并完成下面22列联表：mm对照组实验组（ii）根据22列联表，能否有95%的把握认为药物对小鼠生长有抑制作用参考数据：k00.100.050.010Pk2k02.7063.8416.635【答案】（1）分布列见解析，E(X)=1 （2）（i）m=23.4；列联表见解析，（ii）能【解析】【1】依题意，X的可能取值为0,1,2，则P(X=0)=C2

21、00C202C402=1978，P(X=1)=C201C201C402=2039，P(X=2)=C202C200C402=1978，所以X的分布列为：X012P197820391978故E(X)=01978+12039+21978=1.【2】（i）依题意，可知这40只小鼠体重的中位数是将两组数据合在一起，从小到大排后第20位与第21位数据的平均数，由于原数据已经排好，所以我们只需要观察对照组第一排数据与实验组第二排数据即可，可得第11位数据为14.4，后续依次为17.3,17.3,18.4,19.2,20.1,20.2,20.4,21.5,23.2,23.6,，故第20位为23.2，第21位数

22、据为23.6，所以m=23.2+23.62=23.4，故列联表为：3.841，所以能有95%的把握认为药物对小鼠生长有抑制作用.20. 已知直线x-2y+1=0与抛物线C:y2=2px(p0)交于A,B两点，且|AB|=415（1）求；（2）设C的焦点为F，M，N为C上两点，MFNF=0，求MNF面积的最小值【答案】（1）p=2 （2）12-82【解析】【1】设AxA,yA,BxB,yB，由x-2y+1=0y2=2px可得，y2-4py+2p=0，所以yA+yB=4p,yAyB=2p，所以AB=xA-xB2+yA-yB2=5yA-yB=5yA+yB2-4yAyB=415，即2p2-p-6=0，

23、因为p0，解得：p=2【2】因为F1,0，显然直线MN的斜率不可能为零，设直线MN：x=my+n，Mx1,y1,Nx2,y2，由y2=4xx=my+n可得，y2-4my-4n=0，所以，=16m2+16n0m2+n0，因为MFNF=0，所以，即my1+n-1my2+n-1+y1y2=0，亦即m2+1y1y2+mn-1y1+y2+n-12=0，将y1+y2=4m,y1y2=-4n代入得，4m2=n2-6n+1，4m2+n=n-120，所以n1，且n2-6n+10，解得n3+22或n3-22设点F到直线MN的距离为d，所以d=n-11+m2，MN=x1-x22+y1-y22=1+m2y1-y2=1

24、+m216m2+16n=21+m24n2-6n+1+16n=21+m2n-1，所以MNF的面积S=12MNd=12n-11+m221+m2n-1=n-12，而n3+22或n3-22，所以，当n=3-22时，MNF的面积S2-2222min21. 已知（1）若a=8，讨论f(x)的单调性；（2）若恒成立，求a的取值范围【答案】（1）答案见解析. （2）(-,3【解析】【1】令,则，则当当,即x4,2,f(x)0所以.若,g(x)=(t)a-30即g(x)在上单调递减,所以g(x)g(0)=0.所以当,符合题意.若a(3,+)当,所以(t)-.所以t0(0,1),使得t0=0,即x00,2,使得g

25、x0=0.当,即当单调递增.所以当,不合题意.综上,a的取值范围为(-,3.四、选做题22. 已知P(2,1)，直线l:x=2+tcosy=1+tsin（t为参数），为l的倾斜角，l与x轴，y轴正半轴交于A，B两点，|PA|PB|=4（1）求的值；（2）以原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求l的极坐标方程【答案】（1）34 （2）cos+sin-3=0【解析】【1】因为l与x轴，y轴正半轴交于A,B两点，所以2，令x=0，t1=-2cos，令y=0，t2=-1sin，所以PAPB=t2t1=2sincos=4sin2=4，所以，即2=2+k，解得=4+12k,kZ，因为2，所以=34【2】由（1）可知，直线l的斜率为tan=-1，且过点2,1，所以直线l的普通方程为：y-1=-x-2，即x+y-3=0，由x=cos,y=sin可得直线l的极坐标方程为cos+sin-3=023. 已知（1）求不等式fxa3,即a3a,则,解得x3a,即axa.画出f(x)的草图,则f(x)与坐标轴围成ADO与ABCABC的高为,所以|AB|=a所以SOAD+SABC=12OAa+12ABa=34a2=2,解得a=263