大题04 概率统计（精选30题）-【黄金冲刺】2024年考前15天高考数学极限满分冲刺（新高考通用）含答案.pdf

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1、黄金冲刺大题 04 概率统计（精选 30 题）黄金冲刺大题 04 概率统计（精选 30 题）1（2024浙江绍兴浙江绍兴二模）二模）盒中有标记数字 1，2 的小球各 2 个.(1)若有放回地随机取出 2 个小球，求取出的 2 个小球上的数字不同的概率；(2)若不放回地依次随机取出 4 个小球，记相邻小球上的数字相同的对数为X（如 1122，则2X=），求X的分布列及数学期望E X.2（2024江苏扬州江苏扬州模拟预测）模拟预测）甲乙两人进行某棋类比赛，每局比赛时，若决出输赢则获胜方得 2 分，负方得 0 分；若平局则各得 1 分.已知甲在每局中获胜平局负的概率均为13，且各局比赛结果相互独立.

2、(1)若比赛共进行了三局，求甲共得 3 分的概率；(2)规定比赛最多进行五局，若一方比另一方多得 4 分，则停止比赛，求比赛局数X的分布列与数学期望.3（2024江苏南通江苏南通二模）二模）某班组建了一支 8 人的篮球队，其中甲、乙、丙、丁四位同学入选，该班体育老师担任教练.(1)从甲、乙、丙、丁中任选两人担任队长和副队长，甲不担任队长，共有多少种选法？(2)某次传球基本功训练，体育老师与甲、乙、丙、丁进行传球训练，老师传给每位学生的概率都相等，每位学生传球给同学的概率也相等，学生传给老师的概率为17.传球从老师开始，记为第一次传球，前三次传球中，甲同学恰好有一次接到球且第三次传球后球回到老师

3、手中的概率是多少？4（2024重庆重庆模拟预测）模拟预测）中国在第 75 届联合国大会上承诺，努力争取 2060 年之前实现碳中和(简称“双碳目标”)新能源电动汽车作为战略新兴产业，对于实现“双碳目标”具有重要的作用赛力斯汽车有限公司为了调查客户对旗下 AITO 问界 M7 的满意程度，对所有的意向客户发起了满意度问卷调查，将打分在 80 分以上的客户称为“问界粉”现将参与调查的客户打分(满分 100 分)进行了统计，得到如下的频率分布直方图：(1)估计本次调查客户打分的中位数(结果保留一位小数)；(2)按是否为“问界粉”比例采用分层抽样的方法抽取 10 名客户前往重庆赛力斯两江智慧工厂参观，

4、在 10 名参观的客户中随机抽取 2 名客户赠送价值 2 万元的购车抵用券记获赠购车券的“问界粉”人数为x，求x的大题04 概率统计（精选30题）-【黄金冲刺】2024年考前15天高考数学极限满分冲刺（新高考通用）分布列和数学期望 Ex5（2024福建三明福建三明三模）三模）某校开设劳动教育课程，为了有效推动课程实施，学校开展劳动课程知识问答竞赛，现有家政、园艺、民族工艺三类问题海量题库，其中家政类占14，园艺类占14，民族工艺类占12.根据以往答题经验，选手甲答对家政类、园艺类、民族工艺类题目的概率分别为2 2 45 5 5，选手乙答对这三类题目的概率均为1.2(1)求随机任选 1 题，甲答

5、对的概率；(2)现进行甲、乙双人对抗赛，规则如下：两位选手进行三轮答题比赛，每轮只出 1 道题目，比赛时两位选手同时回答这道题，若一人答对且另一人答错，则答对者得 1 分，答错者得1-分，若两人都答对或都答错，则两人均得 0 分，累计得分为正者将获得奖品，且两位选手答对与否互不影响，每次答题的结果也互不影响，求甲获得奖品的概率.6（2024江苏南京江苏南京二模）二模）某地 5 家超市春节期间的广告支出 x（万元）与销售额 y（万元）的数据如下：超市ABCDE广告支出 x24568销售额 y3040606070(1)从 A，B，C，D，E 这 5 家超市中随机抽取 3 家，记销售额不少于 60

6、万元的超市个数为 X，求随机变量 X的分布列及期望()E X；(2)利用最小二乘法求 y 关于 x 的线性回归方程，并预测广告支出为 10 万元时的销售额附：线性回归方程ybxa=+中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：1221niiiniix ynx ybxnx=-=-，aybx=-7（2024重庆重庆三模）三模）甲、乙、丙三人进行羽毛球练习赛，其中两人比赛，另一人当裁判，每局比赛结束时，负的一方在下一局当裁判，设各局中双方获胜的概率均为12，各局比赛的结果都相互独立，第 1 局甲当裁判.记随机变量1,1,2,0,iiXini=第 局乙当裁判第 局甲或丙当裁判，1iipP X=，X表示前n局

7、中乙当裁判的次数.(1)求事件“3n=且1X=”的概率；(2)求ip；(3)求E X，并根据你的理解，说明当n充分大时E X的实际含义.附：设X，Y都是离散型随机变量，则 E XYE XE Y+=+.8（2024安徽池州安徽池州二模）二模）学校组织某项劳动技能测试，每位学生最多有 3 次测试机会.一旦某次测试通过，便可获得证书，不再参加以后的测试，否则就继续参加测试，直到用完 3 次机会.如果每位学生在 3 次测试中通过的概率依次为0.5,0.6,0.8，且每次测试是否通过相互独立.现某小组有 3 位学生参加测试，回答下列问题：(1)求该小组学生甲参加考试次数X的分布列及数学期望E X；(2)

8、规定：在 2 次以内测试通过（包含 2 次）获得优秀证书，超过 2 次测试通过获得合格证书，记该小组 3位学生中获得优秀证书的人数为Y，求使得P Yk=取最大值时的整数k.9（2024辽宁辽宁二模）二模）一枚棋子在数轴上可以左右移动，移动的方式以投掷一个均匀的骰子来决定，规则如下：当所掷点数为 1 点时，棋子不动；当所掷点数为 3 或 5 时，棋子在数轴上向左(数轴的负方向)移动“该点数减 1”个单位；当所掷的点数为偶数时，棋子在数轴上向右(数轴的正方向)移动“该点数的一半”个单位；第一次投骰子时，棋子以坐标原点为起点，第二次开始，棋子以前一次棋子所在位置为该次的起点(1)投掷骰子一次，求棋子

9、的坐标的分布列和数学期望；(2)投掷骰子两次，求棋子的坐标为2-的概率；(3)投掷股子两次，在所掷两次点数和为奇数的条件下，求棋子的坐标为正的概率 10（2024广东湛江广东湛江一模）一模）甲进行摸球跳格游戏图上标有第 1 格，第 2 格，第 25 格，棋子开始在第1 格盒中有 5 个大小相同的小球，其中 3 个红球，2 个白球（5 个球除颜色外其他都相同）每次甲在盒中随机摸出两球，记下颜色后放回盒中，若两球颜色相同，棋子向前跳 1 格；若两球颜色不同，棋子向前跳 2格，直到棋子跳到第 24 格或第 25 格时，游戏结束记棋子跳到第 n 格的概率为1,2,3,25nP n=(1)甲在一次摸球中

10、摸出红球的个数记为 X，求 X 的分布列和期望；(2)证明：数列12,3,24nnPPn-=为等比数列11（2024广东韶关广东韶关二模）二模）小明参加社区组织的射击比赛活动，已知小明射击一次、击中区域甲的概率是13，击中区域乙的概率是14，击中区域丙的概率是18，区域甲，乙、丙均没有重复的部分这次射击比赛获奖规则是：若击中区域甲则获一等奖；若击中区域乙则有一半的机会获得二等奖，有一半的机会获得三等奖；若击中区域丙则获得三等奖；若击中上述三个区域以外的区域则不获奖获得一等奖和二等奖的选手被评为“优秀射击手”称号(1)求小明射击 1 次获得“优秀射击手”称号的概率；(2)小明在比赛中射击 4 次

11、，每次射击的结果相互独立，设获三等奖的次数为 X，求 X 分布列和数学期望12（2024河北邢台河北邢台一模）一模）小张参加某知识竞赛，题目按照难度不同分为 A 类题和 B 类题，小张回答 A 类题正确的概率为 0.9，小张回答 B 类题正确的概率为 0.45已知题库中 B 类题的数量是 A 类题的两倍(1)求小张在题库中任选一题，回答正确的概率；(2)已知题库中的题目数量足够多，该知识竞赛需要小张从题库中连续回答 10 个题目，若小张在这 10 个题目中恰好回答正确 k 个（0k=，1，2，L，10）的概率为kP，则当 k 为何值时，kP最大？13（2024湖南衡阳湖南衡阳模拟预测）模拟预测

12、）某电竞平台开发了A B两款训练手脑协同能力的游戏，A款游戏规则是：五关竞击有奖闯关，每位玩家上一关通过才能进入下一关，上一关没有通过则不能进入下一关，且每关第一次没有通过都有再挑战一次的机会，两次均未通过，则闯关失败，各关和同一关的两次挑战能否通过相互独立，竞击的五关分别依据其难度赋分.B款游戏规则是：共设计了n（*nN且2)n关，每位玩家都有n次闯关机会，每关闯关成功的概率为13，不成功的概率为23，每关闯关成功与否相互独立；第 1 次闯关时，若闯关成功则得 10 分，否则得 5 分.从第 2 次闯关开始，若闯关成功则获得上一次闯关得分的两倍，否则得5 分.电竞游戏玩家甲先后玩A B两款游

13、戏.(1)电竞游戏玩家甲玩A款游戏，若第一关通过的概率为34，第二关通过的概率为23，求甲可以进入第三关的概率；(2)电竞游戏玩家甲玩B款游戏，记玩家甲第i次闯关获得的分数为1,2,iXin=L，求iE X关于i的解析式，并求8E X的值.（精确到 0.1，参考数据：720.0593.）14（2024湖南邵阳湖南邵阳模拟预测）模拟预测）2023 年 8 月 3 日，公安部召开的新闻发布会公布了“提高道路资源利用率”和“便利交通物流货运车辆通行”优化措施，其中第二条提出推动缓解停车难问题在持续推进缓解城镇老旧小区居民停车难改革措施的基础上，因地制宜在学校、医院门口设置限时停车位，支持鼓励住宅小区

14、和机构停车位错时共享某医院门口设置了限时停车场（停车时间不超过 60 分钟），制定收费标准如下：停车时间不超过 15 分钟的免费，超过 15 分钟但不超过 30 分钟收费 3 元，超过 30 分钟但不超过 45 分钟收费9 元，超过 45 分钟但不超过 60 分钟收费 18 元，超过 60 分钟必须立刻离开停车场甲、乙两人相互独立地来该停车场停车，且甲、乙的停车时间的概率如下表所示：停车时间/分钟0,1515,3030,4545,60甲143a14a乙162b13b设此次停车中，甲所付停车费用为X，乙所付停车费用为Y(1)在18XY+=的条件下，求XY的概率；(2)若XYx=-，求随机变量x的

15、分布列与数学期望15（2024湖北湖北一模）一模）2023 年 12 月 30 号，长征二号丙/远征一号 S 运载火箭在酒泉卫星发射中心点火起飞，随后成功将卫星互联网技术实验卫星送入预定轨道，发射任务获得圆满完成，此次任务是长征系列运载火箭的第 505 次飞行，也代表着中国航天 2023 年完美收官某市一调研机构为了了解当地学生对我国航天事业发展的关注度，随机的从本市大学生和高中生中抽取一个容量为 n 的样本进行调查，调查结果如下表：关注度学生群体关注不关注合计大学生12n710n高中生合计35n附：a0.10.050.00250.010.001ac2.7063.8415.0246.63510

16、.82822()()()()()n adbcab cd ac bdc-=+，其中nabcd=+(1)完成上述列联表，依据小概率值0.05a=的独立性检验，认为关注航天事业发展与学生群体有关，求样本容量 n 的最小值；(2)该市为了提高本市学生对航天事业的关注，举办了一次航天知识闯关比赛，包含三个问题，有两种答题方案选择：方案一：回答三个问题，至少答出两个可以晋级；方案二：在三个问题中，随机选择两个问题，都答对可以晋级已知小华同学答出三个问题的概率分别是34，23，12，小华回答三个问题正确与否相互独立，则小华应该选择哪种方案晋级的可能性更大？（说明理由）16（2024湖北湖北二模）二模）吸烟有

17、害健康，现统计 4 名吸烟者的吸烟量 x 与损伤度 y，数据如下表：吸烟量 x1456损伤度 y3867(1)从这 4 名吸烟者中任取 2 名，其中有 1 名吸烟者的损伤度为 8，求另 1 吸烟者的吸烟量为 6 的概率；(2)在实际应用中，通常用各散点(,)r y到直线ybxa=+的距离的平方和21()niiiSbxay=+-来刻画“整体接近程度”.S 越小，表示拟合效果越好.试根据统计数据，求出经验回归直线方程ybxa=+.并根据所求经验回归直线估计损伤度为 10 时的吸烟量附：121()()()niiiniixxyybxx=-=-，aybx=-.17（2024山东枣庄山东枣庄一模）一模）有

18、甲、乙两个不透明的罐子，甲罐有 3 个红球，2 个黑球，球除颜色外大小完全相同某人做摸球答题游戏规则如下：每次答题前先从甲罐内随机摸出一球，然后答题若答题正确，则将该球放入乙罐；若答题错误，则将该球放回甲罐此人答对每一道题目的概率均为12当甲罐内无球时，游戏停止假设开始时乙罐无球(1)求此人三次答题后，乙罐内恰有红球、黑球各 1 个的概率；(2)设第*,5n nnN次答题后游戏停止的概率为na求na；na是否存在最大值？若存在，求出最大值；若不存在，试说明理由18（2024安徽合肥安徽合肥二模）二模）树人中学高三（1）班某次数学质量检测（满分 150 分）的统计数据如下表：性别参加考试人数平均

19、成绩标准差男3010016女209019在按比例分配分层随机抽样中，已知总体划分为 2 层，把第一层样本记为123,nx x xxL，其平均数记为x，方差记为21s；把第二层样本记为123,my yyyL，其平均数记为y，方差记为22s；把总样本数据的平均数记为z，方差记为2s(1)证明：22222121xsn szmymnzs=+-+-+；(2)求该班参加考试学生成绩的平均数和标准差（精确到 1）；(3)假设全年级学生的考试成绩服从正态分布2,Nm s，以该班参加考试学生成绩的平均数和标准差分别作为m和s的估计值如果按照16%,34%,34%,16%的比例将考试成绩从高分到低分依次划分为,A

20、 B C D四个等级，试确定各等级的分数线（精确到 1）附：0.68,30217,32218,35219PXmsms-+19（2024福建福州福建福州模拟预测）模拟预测）甲企业生产线上生产的零件尺寸的误差X服从正态分布20,0.2N，规定0.2,0.2X -的零件为优等品，0.6,0.6X -的零件为合格品(1)从该生产线上随机抽取 100 个零件，估计抽到合格品但非优等品的个数（精确到整数）；(2)乙企业拟向甲企业购买这批零件，先对该批零件进行质量抽检，检测的方案是：从这批零件中任取 2 个作检测，若这 2 个零件都是优等品，则通过检测；若这 2 个零件中恰有 1 个为优等品，1 个为合格品

21、但非优等品，则再从这批零件中任取 1 个作检测，若为优等品，则通过检测；其余情况都不通过检测求这批零件通过检测时，检测了 2 个零件的概率（精确到 0.01）（附：若随机变量2,Nxm s:，则0.6827Pmsxms-+=，220.9545Pmsxms-+=，330.9973Pmsxms-=，求（1）中其得分的标准差.（四舍五入到百位）(3)现在新提出了一种赛制：参赛者从平均值为 10 开始进行第一轮挑战，之后每一轮对手的”雀力值”和”能力值”均会提升至原来的43.我们设进行了 i 轮之后，在前 i 轮内该参赛者的总得分为iE X；若园城寺怜参加了此比赛，求12niiiE X=参考数据和公式

22、：711029000iiix y=；7214209320000iiy=.相关系数12211niiinniiiixxyyrxxyy=-=-；经验回归方程ybxa=+$，121niiiniixxyybxx=-=-$，$ayb x=-$；2112brbn-D=-，其中n为回归数据组数.对于随机变量2,XNm s，0.6827PXmsms-+，220.9545PXmsms-+，330.9973PXmsms-+.1x 时，11xxaa+，Ra；对间接计算得出的值fxy=有标准差fD满足22fxyfxyDDD=+.413.2 103136-；6.82.6；4294652417151 9 10-+22（20

23、24江苏南通江苏南通模拟预测）模拟预测）“踩高跷，猜灯谜”是我国元宵节传统的文化活动.某地为了弘扬文化传统，发展“地摊经济”，在元宵节举办形式多样的猜灯谜活动.(1)某商户借“灯谜”活动促销，将灯谜按难易度分为BC、两类，抽到较易的B类并答对购物打八折优惠，抽到稍难的C类并答对购物打七折优惠，抽取灯谜规则如下：在一不透明的纸箱中有 8 张完全相同的卡片，其中 3 张写有A字母，3 张写有B字母，2 张写有C字母，顾客每次不放回从箱中随机取出 1 张卡片，若抽到写有A的卡片，则再抽 1 次，直至取到写有B或C卡片为止，求该顾客取到写有B卡片的概率.(2)小明尝试去找全街最适合他的灯谜，规定只能取

24、一次，并且只可以向前走，不能回头，他在街道上一共会遇到n条灯谜（不妨设每条灯谜的适合度各不相同），最适合的灯谜出现在各个位置上的概率相等，小明准备采用如下策略：不摘前1kkn，求 n 的最小值24（2024辽宁辽宁模拟预测）模拟预测）某自然保护区经过几十年的发展，某种濒临灭绝动物数量有大幅度的增加.已知这种动物P拥有两个亚种（分别记为A种和B种）.为了调查该区域中这两个亚种的数目，某动物研究小组计划在该区域中捕捉 100 个动物P，统计其中A种的数目后，将捕获的动物全部放回，作为一次试验结果.重复进行这个试验共 20 次，记第i次试验中A种的数目为随机变量1,2,20iXi=L.设该区域中A种

25、的数目为M，B种的数目为N（M，N均大于 100），每一次试验均相互独立.(1)求1X的分布列；(2)记随机变量201120iiXX=.已知ijijE XXE XE X+=+，ijijD XXD XD X+=+（i）证明：1E XE X=，1120D XD X=；（ii）该小组完成所有试验后，得到iX的实际取值分别为1,2,20ix i=L.数据1,2,20ix i=L的平均值30 x=，方差21s=.采用x和2s分别代替 E X和 D X，给出M，N的估计值.（已知随机变量x服从超几何分布记为：,xH P n Q（其中P为总数，Q为某类元素的个数，n为抽取的个数），则 11QQPnD xnP

26、PP-=-）25（2024广东广州广东广州一模）一模）某校开展科普知识团队接力闯关活动，该活动共有两关，每个团队由*(3,N)n nn位成员组成，成员按预先安排的顺序依次上场，具体规则如下：若某成员第一关闯关成功，则该成员继续闯第二关，否则该成员结束闯关并由下一位成员接力去闯第一关；若某成员第二关闯关成功，则该团队接力闯关活动结束，否则该成员结束闯关并由下一位成员接力去闯第二关；当第二关闯关成功或所有成员全部上场参加了闯关，该团队接力闯关活动结束.已知A团队每位成员闯过第一关和第二关的概率分别为34和12，且每位成员闯关是否成功互不影响，每关结果也互不影响.(1)若3n=，用X表示A团队闯关活

27、动结束时上场闯关的成员人数，求X的均值；(2)记A团队第*(11,N)kknk-位成员上场且闯过第二关的概率为kp，集合*3N128kkp中元素的最小值为0k，规定团队人数01nk=+，求n.26（2024广东深圳广东深圳二模）二模）某大型企业准备把某一型号的零件交给甲工厂或乙工厂生产经过调研和试生产，质检人员抽样发现：甲工厂试生产的一批零件的合格品率为 94%；乙工厂试生产的另一批零件的合格品率为 98%；若将这两批零件混合放在一起，则合格品率为 97%(1)从混合放在一起的零件中随机抽取 3 个，用频率估计概率，记这 3 个零件中来自甲工厂的个数为 X，求 X的分布列和数学期望；(2)为了

28、争取获得该零件的生产订单，甲工厂提高了生产该零件的质量指标已知在甲工厂提高质量指标的条件下，该大型企业把零件交给甲工厂生产的概率，大于在甲工厂不提高质量指标的条件下，该大型企业把零件交给甲工厂生产的概率 设事件A=“甲工厂提高了生产该零件的质量指标”，事件B=“该大型企业把零件交给甲工厂生产”、已知 01P B27（2024湖南湖南二模）二模）某大学有甲乙两个运动场.假设同学们可以任意选择其中一个运动场锻炼，也可选择不锻炼，一天最多锻炼一次，一次只能选择一个运动场.若同学们每次锻炼选择去甲或乙运动场的概率均为12，每次选择相互独立.设王同学在某个假期的三天内去运动场锻炼的次数为X，已知X的分布

29、列如下：（其中0,01ap）X0123P2(1)ap-apa1ap-(1)记事件iA表示王同学假期三天内去运动场锻炼i次012 3i=,，事件B表示王同学在这三天内去甲运动场锻炼的次数大于去乙运动场锻炼的次数.当12p=时，试根据全概率公式求 P B的值；(2)是否存在实数p，使得53E X=？若存在，求p的值：若不存在，请说明理由；(3)记M表示事件“甲运动场举办锻炼有奖的抽奖活动”，N表示事件“王同学去甲运动场锻炼”，01P M.28（2024山东济南山东济南二模）二模）随机游走在空气中的烟雾扩散、股票市场的价格波动等动态随机现象中有重要应用.在平面直角坐标系中，粒子从原点出发，每秒向左、

30、向右、向上或向下移动一个单位，且向四个方向移动的概率均为 1.4例如在 1 秒末，粒子会等可能地出现在 1,0,1,0,0,1,0,1-四点处.(1)设粒子在第 2 秒末移动到点,x y，记xy+的取值为随机变量X，求X 的分布列和数学期望E X；(2)记第n秒末粒子回到原点的概率为np.（i）已知 220(C)Cnknnnk=求 34,pp以及2np；（ii）令2nnbp=，记nS为数列 nb的前n项和，若对任意实数0M，存在*nN，使得nSM，则称粒子是常返的.已知 1462!2eennnnnnn，证明：该粒子是常返的.29（2024山东潍坊山东潍坊二模）二模）数列 na中，从第二项起，每

31、一项与其前一项的差组成的数列1nnaa+-称为 na的一阶差数列，记为 1na，依此类推，1na的一阶差数列称为 na的二阶差数列，记为 2na，如果一个数列 na的 p 阶差数列 pna是等比数列，则称数列 na为 p 阶等比数列*pN(1)已知数列 na满足11a=，121nnaa+=+（）求 11a，12a，13a；（）证明：na是一阶等比数列；(2)已知数列 nb为二阶等比数列，其前 5 项分别为20 37 78 2151,9999，求nb及满足nb为整数的所有 n 值30（2024浙江杭州浙江杭州模拟预测）模拟预测）在概率较难计算但数据量相当大误差允许的情况下，可以使用 UnionB

32、ound（布尔不等式）进行估计概率.已知 UnionBound 不等式为：记随机事件1,nAAL，则121nniiP AAAP A=L.其误差允许下可将左右两边视为近似相等.据此解决以下问题：(1)有n个不同的球，其中k个有数字标号.每次等概率随机抽取n个球中的一个球.抽完后放回.记抽取t次球后k个有数字标号的球每个都至少抽了一次的概率为 P t，现在给定常数p，则满足 P tp的t的最小值为多少？请用 UnionBound 估计其近似的最小值，结果不用取整.这里n相当大且远大于k；(2)然而实际情况中，UnionBound 精度往往不够，因此需要用容斥原理求出精确值.已知概率容斥原理：记随机

33、事件1,nAAL，则1212112111.kknknaaakaaanP AAAP A AA-=-得出结论【详解】（1）由题意知，X所有可能取的值为1,2,3，10.5,21 0.50.60.3,31 0.51 0.60.2P XP XP X=-=-=Q，X的分布列如下：X123P0.50.30.21 0.52 0.33 0.21.7E X=+=；（2）由题意知，每位学生获得优秀证书的概率4120.50.30.85PP XP X=+=+=，方法一：YQ所有可能取的值为0,1,2,3，且43,5YB:，03034410C155125P Y=-=，121344121C155125P Y=-=，212

34、344482C155125P Y=-=，303344643C155125P Y=-=，0123P YP YP YP Y=-，所以3211P YP YP YP Y=，所以使得P Yk=取得最大值时，整数k的值为 39（2024辽宁辽宁二模）二模）一枚棋子在数轴上可以左右移动，移动的方式以投掷一个均匀的骰子来决定，规则如下：当所掷点数为 1 点时，棋子不动；当所掷点数为 3 或 5 时，棋子在数轴上向左(数轴的负方向)移动“该点数减 1”个单位；当所掷的点数为偶数时，棋子在数轴上向右(数轴的正方向)移动“该点数的一半”个单位；第一次投骰子时，棋子以坐标原点为起点，第二次开始，棋子以前一次棋子所在位

35、置为该次的起点(1)投掷骰子一次，求棋子的坐标的分布列和数学期望；(2)投掷骰子两次，求棋子的坐标为2-的概率；(3)投掷股子两次，在所掷两次点数和为奇数的条件下，求棋子的坐标为正的概率【答案】(1)分布列见解析，()0E X=(2)19(3)49【分析】（1）由题目分析即可得出分布列，再用数学期望公式计算即可；（2）分析出所有满足投掷骰子两次，棋子的坐标为2-的所有情况，即可求出概率；（3）先求出投掷股子两次，所掷两次点数和为奇数且棋子的坐标为正的概率及掷两次点数和为奇数的概率，根据条件概率公式计算即可【详解】（1）设X为投掷骰子一次棋子的坐标，由题可知4,2,0,1,2,3X=-，且概率都

36、相同为16，分布列如下：X4-2-0123P1616161616161()(42 123)06E X=-+=（2）投掷骰子两次，棋子的坐标为2-的情况有：第一次坐标为4-（点数为 5），第二次向右 2 个单位（点数为 4）；第一次坐标为2-（点数为 3），第二次不动（点数为 1）；第一次坐标为 0（点数为 1），第二次向左 2 个单位（点数为 3）；第一次坐标为 2（点数为 4），第二次向左 4 个单位（点数为 5）；故投掷骰子两次，棋子的坐标为2-的概率为114369P=（3）设事件A=“掷两次点数和为奇数”，B=“投掷股子两次棋子的坐标为正”，由题可知，11332C C1362P A=，投

37、掷股子两次，所掷两次点数和为奇数，且棋子的坐标为正的点数情况有：6 和 1,6 和 3,4 和 1，1 和 2，共 8 种情况，故12()8369P AB=，则在所掷两次点数和为奇数的条件下，棋子的坐标为正的概率2()49(|)1()92P ABP B AP A=10（2024广东湛江广东湛江一模）一模）甲进行摸球跳格游戏图上标有第 1 格，第 2 格，第 25 格，棋子开始在第1 格盒中有 5 个大小相同的小球，其中 3 个红球，2 个白球（5 个球除颜色外其他都相同）每次甲在盒中随机摸出两球，记下颜色后放回盒中，若两球颜色相同，棋子向前跳 1 格；若两球颜色不同，棋子向前跳 2格，直到棋子

38、跳到第 24 格或第 25 格时，游戏结束记棋子跳到第 n 格的概率为1,2,3,25nP n=(1)甲在一次摸球中摸出红球的个数记为 X，求 X 的分布列和期望；(2)证明：数列12,3,24nnPPn-=为等比数列【答案】(1)分布列见解析；期望65E X=；(2)证明见解析；【分析】（1）写出 X 的所有可能取值并求出对应的概率，即可列出分布列，计算求出期望值；（2）依题意根据跳格规则可得213255nnnPPP-=+，即可得出证明；【详解】（1）根据题意可知，X 的所有可能取值为 0，1，2；则2225C10C10P X=，112325C C631C105P X=，2325C32C10

39、P X=；可得 X 的分布列如下：X012P11035310期望值为1336012105105E X=+=.（2）依题意，当323n时，棋子跳到第n格有两种可能：第一种，棋子先跳到第2n-格，再摸出两球颜色不同；第二种，棋子先跳到第n1-格，再摸出两球颜色相同；又可知摸出两球颜色不同，即跳两格的概率为113225C C3C5=，摸出两球颜色相同，即跳一格的概率为223225C+C2C5=；因此可得213255nnnPPP-=+；所以121112323555nnnnnnnPPPPPPP-=+-=-，因此可得11235nnnnPPPP-=-，即数列12,3,24nnPPn-=是公比为35-的等比数

40、列.11（2024广东韶关广东韶关二模）二模）小明参加社区组织的射击比赛活动，已知小明射击一次、击中区域甲的概率是13，击中区域乙的概率是14，击中区域丙的概率是18，区域甲，乙、丙均没有重复的部分这次射击比赛获奖规则是：若击中区域甲则获一等奖；若击中区域乙则有一半的机会获得二等奖，有一半的机会获得三等奖；若击中区域丙则获得三等奖；若击中上述三个区域以外的区域则不获奖获得一等奖和二等奖的选手被评为“优秀射击手”称号(1)求小明射击 1 次获得“优秀射击手”称号的概率；(2)小明在比赛中射击 4 次，每次射击的结果相互独立，设获三等奖的次数为 X，求 X 分布列和数学期望【答案】(1)1124(

41、2)分布列见解析；1E X=【分析】（1）根据概率已知条件记“射击一次获得优秀射击手称号”为事件A；射击一次获得一等奖为事件B；射击一次获得一等奖为事件C，分析可知ABC=U，利用互斥事件的概率加法计算公式所以求P BC即可.（2）根据题意判断144XB，根据二项分布求概率、期望公式计算即可.【详解】（1）记“射击一次获得优秀射击手称号”为事件A；射击一次获得一等奖为事件B；射击一次获得一等奖为事件C，所以有ABC=U，所以 13P B=，111428P C=，所以 11113824P AP BCP BP C=+=+=.（2）获得三等奖的次数为X，X的可能取值为0，1，2，3，4；记“获得三等

42、奖”为事件D，所以11118424P D=+=，所以040413810C44256P X=，131413271C4464P X=，22241354272C44256128P X=，334131233C4425664P X=，40041314C44256P X=，所以X01234P812562764271283641256显然144XB，1414E X=.12（2024河北邢台河北邢台一模）一模）小张参加某知识竞赛，题目按照难度不同分为 A 类题和 B 类题，小张回答 A 类题正确的概率为 0.9，小张回答 B 类题正确的概率为 0.45已知题库中 B 类题的数量是 A 类题的两倍(1)求小张在

43、题库中任选一题，回答正确的概率；(2)已知题库中的题目数量足够多，该知识竞赛需要小张从题库中连续回答 10 个题目，若小张在这 10 个题目中恰好回答正确 k 个（0k=，1，2，L，10）的概率为kP，则当 k 为何值时，kP最大？【答案】(1)0.6(2)6【分析】（1）由独立事件的乘法概率求出即可；（2）由二项分布中最大值的计算求出即可，可设11kkkkPPPP+-，利用组合数的性质求出k即可.【详解】（1）设小张回答 A 类题正确的概率为 P A，小张回答 B 类题正确的概率为 P B，小张在题库中任选一题，回答正确的概率为P，由题意可得()()0.9,0.45P AP B=，所以()

44、()12120.90.450.63333PP AP B=+=+=，所以小张在题库中任选一题，回答正确的概率为 0.6.（2）由（1）可得()()1010C0.60.4kkkkP-=，设11kkkkPPPP+-，即1019110101011111010C0.60.4C0.60.4C0.60.4C0.60.4kkkkkkkkkkkk-+-+-，所以 10!10!23!10!1!9!10!10!32!10!1!11!kkkkkkkk-+-，即213 103 112kkkk+-，解得283355k，又Zk，所以6k=时，kP最大.13（2024湖南衡阳湖南衡阳模拟预测）模拟预测）某电竞平台开发了A B

45、两款训练手脑协同能力的游戏，A款游戏规则是：五关竞击有奖闯关，每位玩家上一关通过才能进入下一关，上一关没有通过则不能进入下一关，且每关第一次没有通过都有再挑战一次的机会，两次均未通过，则闯关失败，各关和同一关的两次挑战能否通过相互独立，竞击的五关分别依据其难度赋分.B款游戏规则是：共设计了n（*nN且2)n关，每位玩家都有n次闯关机会，每关闯关成功的概率为13，不成功的概率为23，每关闯关成功与否相互独立；第 1 次闯关时，若闯关成功则得 10 分，否则得 5 分.从第 2 次闯关开始，若闯关成功则获得上一次闯关得分的两倍，否则得5 分.电竞游戏玩家甲先后玩A B两款游戏.(1)电竞游戏玩家甲

46、玩A款游戏，若第一关通过的概率为34，第二关通过的概率为23，求甲可以进入第三关的概率；(2)电竞游戏玩家甲玩B款游戏，记玩家甲第i次闯关获得的分数为1,2,iXin=L，求iE X关于i的解析式，并求8E X的值.（精确到 0.1，参考数据：720.0593.）【答案】(1)56；(2)11021033iiE X-=-+，9.80【分析】（1）利用独立事件的乘法公式，结合甲闯关的可能情况求解即可；（2）由期望关系可得12102103333iiiE XEXE X+=+=+，列出分布列，构造等比数列10iE X-，求出8E X即可.【详解】（1）记事件iA表示第i次通过第一关，事件iB表示第i次

47、通过第二关，设甲可以进入第三关的概率为P，由题意知111211121212PP ABP A A BP A B BP A A B B=+111211121212P A P BP A P AP BP A P B P BP A P AP B P B=+323323223322511114344343344336=+-+-+-=.（2）依题意得112210253333iiiXXX+=+=+，所以12102103333iiiE XEXE X+=+=+，1210103iiE XE X+-=-，又随机变量1X的可能取值为 10，5，其分布列为1X105P1323所以1203E X=，得110103E X-=

48、-，所以10iE X-为等比数列.其中首项为103-，公比为23.所以1*10210,33iiE Xi-=-N，即11021033iiE X-=-+.所以78102109.833E X=-+.14（2024湖南邵阳湖南邵阳模拟预测）模拟预测）2023 年 8 月 3 日，公安部召开的新闻发布会公布了“提高道路资源利用率”和“便利交通物流货运车辆通行”优化措施，其中第二条提出推动缓解停车难问题在持续推进缓解城镇老旧小区居民停车难改革措施的基础上，因地制宜在学校、医院门口设置限时停车位，支持鼓励住宅小区和机构停车位错时共享某医院门口设置了限时停车场（停车时间不超过 60 分钟），制定收费标准如下：

49、停车时间不超过 15 分钟的免费，超过 15 分钟但不超过 30 分钟收费 3 元，超过 30 分钟但不超过 45 分钟收费9 元，超过 45 分钟但不超过 60 分钟收费 18 元，超过 60 分钟必须立刻离开停车场甲、乙两人相互独立地来该停车场停车，且甲、乙的停车时间的概率如下表所示：停车时间/分钟0,1515,3030,4545,60甲143a14a乙162b13b设此次停车中，甲所付停车费用为X，乙所付停车费用为Y(1)在18XY+=的条件下，求XY的概率；(2)若XYx=-，求随机变量x的分布列与数学期望【答案】(1)57(2)分布列见解析，598Ex=【分析】（1）根据概率的性质求

50、出,a b，求出18XY+=的概率及XY的概率可得答案；（2）根据XY、的值可得x的取值，再求取值对应的概率可得分布列、期望.【详解】（1）根据题意可得113144+=aa，解得18a=，112163+=bb，解得16b=，甲所付停车费用为 18 元，乙所付停车费用为 0 元可得18XY+=，其概率为11118648=P；甲所付停车费用为 0 元，乙所付停车费用为 18 元可得18XY+=，其概率为21114624=P；甲所付停车费用为 9 元，乙所付停车费用为 9 元可得18XY+=，其概率为31114312=P；所以18XY+=的概率123111748241248=+=+=PPPP，可得在