大题06 圆锥曲线（椭圆、双曲线、抛物线）（精选30题）-【黄金冲刺】2024年考前15天高考数学极限满分冲刺（新高考通用）含答案.pdf

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1、黄金冲刺大题 06 圆锥曲线（椭圆、双曲线、抛物线）（精选 30 题）黄金冲刺大题 06 圆锥曲线（椭圆、双曲线、抛物线）（精选 30 题）1（2024山东山东二模）二模）已知椭圆的焦点分别是123,0,3,0FF-，点M在椭圆上，且124MFMF(1)求椭圆的标准方程；(2)若直线2ykx与椭圆交于,A B两点，且OAOB，求实数k的值2（2024江苏南通江苏南通模拟预测）模拟预测）在平面直角坐标系xOy中，设椭圆2222:10 xyCabab的离心率为32，1F，2F分别是椭圆的左、右焦点，过2F作两条互相垂直的直线1l，2l，直线1l与C交于A，B两点，直线2l与C交于D，E两点，且12

2、AFFV的周长是42 3.(1)求椭圆C的方程；(2)当32ABDE时，求ODEV的面积.3（2024河北邯郸河北邯郸二模）二模）已知椭圆C的中心为坐标原点，对称轴为x轴、y轴，且过32,0,1,2MN-两点(1)求C的方程(2),A B是C上两个动点，D为C的上顶点，是否存在以D为顶点，AB为底边的等腰直角三角形？若存在，求出满足条件的三角形的个数；若不存在，请说明理由4（2024广东广州广东广州模拟预测）模拟预测）已知椭圆222:1(02 2)8xyCbb的焦点为F，过F的直线l与C交于,M N两点，且当l的斜率为 1 时，8MN(1)求C的方程；(2)设l与C的准线交于点P，直线PO与C

3、交于点Q（异于原点），线段MN的中点为R，若3QR，求MNQ面积的取值范围7（2024浙江丽水浙江丽水二模）二模）已知抛物线2:4E yx，点,A B C在抛物线E上，且A在x轴上方，B和C在x轴下方（B在C左侧），,A C关于x轴对称，直线AB交x轴于点M，延长线段CB交x轴于点Q，连接QA.(1)证明：OMOQ为定值（O为坐标原点）；(2)若点Q的横坐标为1-，且89MB MCuuur uuuu r，求AQBV的内切圆的方程.8（2024江苏苏州江苏苏州模拟预测）模拟预测）已知点(1,0)A，(0,1)B，(1,1)C和动点(,)P x y满足2y是PA PBuuu r uuu r，PA

4、PCuuu r uuu r的等差中项(1)求P点的轨迹方程；(2)设P点的轨迹为曲线1C按向量3 1,4 16a-r平移后得到曲线2C，曲线2C上不同的两点 M，N 的连线交y轴于点(0,)Qb，如果MON（O为坐标原点）为锐角，求实数b的取值范围；(3)在（2）的条件下，如果2b 时，曲线2C在点M和N处的切线的交点为R，求证：R在一条定直线上9（2024江苏南通江苏南通二模）二模）已知双曲线E的渐近线为33yx，左顶点为3,0A-.(1)求双曲线E的方程；(2)直线:l xt交x轴于点D，过D点的直线交双曲线E于B，C，直线AB，AC分别交l于G，H，若O，A，G，H均在圆P上，求D的横坐

5、标；求圆P面积的取值范围.10（2024江苏南京江苏南京二模）二模）已知抛物线2:2(0)C ypx p与双曲线2222:1xyEab-（0a，0b）有公共的焦点 F，且4pb过 F 的直线 1 与抛物线 C 交于 A，B 两点，与 E 的两条近线交于 P，Q 两点(均位于 y轴右侧).(1)求 E 的渐近线方程；(2)若实数l满足1111|OPOQAFBFl-，求l的取值范围11（2024重庆重庆三模）三模）已知2,0F，曲线C上任意一点到点F的距离是到直线12x 的距离的两倍.(1)求曲线C的方程；(2)已知曲线C的左顶点为A，直线l过点F且与曲线C在第一、四象限分别交于M，N两点，直线A

6、M、AN分别与直线12x 交于P，H两点，Q为PH的中点.（i）证明：QFMN；（ii）记PMQV，HNQV，MNQV的面积分别为1S，2S，3S，则123SSS是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由.12（2024河北河北二模）二模）已知椭圆2222:10 xyEabab的离心率22e(1)若椭圆E过点2,2，求椭圆E的标准方程(2)若直线1l，2l均过点*,00,nnP ppa n相交于不同于原点的 A，B 两点，当OABV的垂心恰是 C 的焦点时，4 5AB.(1)求 p；(2)若124k k -，弦AB中点为 P，点2,0M-关于直线AB的对称点 N 在抛物线 C 上，求P

7、MNV的面积.15（2024广东深圳广东深圳二模）二模）设抛物线 C：22xpy（0p），直线 l：2ykx交 C 于 A，B 两点过原点O 作 l 的垂线，交直线=2y-于点 M对任意Rk，直线 AM，AB，BM 的斜率成等差数列(1)求 C 的方程；(2)若直线/ll，且l与 C 相切于点 N，证明：AMNV的面积不小于2 216（2024湖南湖南一模）一模）已知双曲线2222:1(1)xyCbaab-的渐近线方程为2yx，C的半焦距为c，且44244abc(1)求C的标准方程(2)若P为C上的一点，且P为圆224xy外一点，过P作圆224xy的两条切线12,l l（斜率都存在），1l与C

8、交于另一点2,M l与C交于另一点N，证明：（）12,l l的斜率之积为定值；（）存在定点A，使得,M N关于点A对称17（2024湖南岳阳湖南岳阳三模）三模）已知动圆P过定点(0,1)F且与直线3y 相切，记圆心P的轨迹为曲线E(1)已知A、B两点的坐标分别为(2,1)-、(2,1)，直线AP、BP的斜率分别为1k、2k，证明：121kk-；(2)若点11,M x y、22,N xy是轨迹E上的两个动点且124x x -，设线段MN的中点为Q，圆P与动点Q的轨迹G交于不同于F的三点C、D、G，求证：CDGV的重心的横坐标为定值18（2024湖北湖北二模）二模）已知双曲线P的方程为221,0,

9、04xyBaC a-，其中00002,0aD xyxa y是双曲线上一点，直线DB与双曲线P的另一个交点为E，直线DC与双曲线P的另一个交点为F，双曲线P在点,E F处的两条切线记为121,l l l与2l交于点P，线段DP的中点为G，设直线,DB DC的斜率分别为12,k k(1)证明：21211444akka的离心率相同，设1C的右顶点为1A，2C的左顶点为2A，0,1B，(1)证明：12BABA；(2)设直线1BA与2C的另一个交点为 P，直线2BA与1C的另一个交点为 Q，连PQ，求PQ的最大值参考公式：3322mnmnmmnn-20（2024山东山东二模）二模）已知椭圆2222:1(

10、0)xyCabab的离心率为12，设C的右焦点为F，左顶点为A，过F的直线与C于,D E两点，当直线DE垂直于x轴时，ADEV的面积为92(1)求椭圆C的标准方程；(2)连接AD和AE分别交圆22(1)1xy于,M N两点（）当直线DE斜率存在时，设直线DE的斜率为1k，直线MN的斜率为2k，求12kk；（）设ADEV的面积为1,SAMN的面积为2S，求12SS的最大值21（2024山东潍坊山东潍坊二模）二模）已知双曲线C：222210,0 xyabab-的实轴长为2 3，右焦点2F到一条渐近线的距离为 1(1)求C的方程；(2)过C上一点13,2P作C的切线1l，1l与C的两条渐近线分别交于

11、 R，S 两点，2P为点1P关于坐标原点的对称点，过2P作C的切线2l，2l与C的两条渐近线分别交于 M，N 两点，求四边形RSMN的面积(3)过C上一点 Q 向C的两条渐近线作垂线，垂足分别为1H，2H，是否存在点 Q，满足122QHQH，若存在，求出点 Q 坐标；若不存在，请说明理由22（23-24 高三下高三下湖北武汉湖北武汉阶段练习）阶段练习）已知抛物线2:E yx，过点1,2T的直线与抛物线E交于,A B两点，设抛物线E在点,A B处的切线分别为1l和2l，已知1l与x轴交于点2,M l与x轴交于点N，设1l与2l的交点为P.(1)证明：点P在定直线上；(2)若PMNV面积为2，求点

12、P的坐标；(3)若,P M N T四点共圆，求点P的坐标.23（2024福建漳州福建漳州一模）一模）已知过点11,0F-的直线l与圆2F：22116xy-相交于G，H两点，GH的中点为E，过1GF的中点F且平行于2EF的直线交2G F于点P，记点P的轨迹为C(1)求轨迹C的方程(2)若,A B为轨迹C上的两个动点且均不在y轴上，点M满足OMOAOBlmuuuu ruuu ruuu r（l，mR），其中O为坐标原点，从下面中选取两个作为条件，证明另外一个成立点M在轨迹C上；直线OA与OB的斜率之积为34-；221lm注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分24（2024福建福州福建福州模

13、拟预测）模拟预测）点P是椭圆E：22221xyab（0ab）上（左、右端点除外）的一个动点，1,0Fc-，2,0Fc分别是E的左、右焦点.(1)设点P到直线l：2axc的距离为d，证明2PFd为定值，并求出这个定值；(2)12PFF的重心与内心（内切圆的圆心）分别为G，I，已知直线IG垂直于x轴.（）求椭圆E的离心率；（）若椭圆E的长轴长为 6，求12PFF被直线IG分成两个部分的图形面积之比的取值范围.25（2024福建三明福建三明三模）三模）已知平面直角坐标系xOy中，有真命题：函数(0,0)nymxmnx的图象是双曲线，其渐近线分别为直线ymx和 y 轴例如双曲线4yx的渐近线分别为 x

14、 轴和 y 轴，可将其图象绕原点O顺时针旋转4得到双曲线228xy-的图象(1)求双曲线1yx的离心率；(2)已知曲线22:2E xy-，过E上一点P作切线分别交两条渐近线于,A B两点，试探究AOBV面积是否为定值，若是，则求出该定值；若不是，则说明理由；(3)已知函数3332yxx的图象为，直线:330l xy-，过(1,3)F的直线与 在第一象限交于,M N两点，过,M N作l的垂线，垂足分别为,C D，直线,MD NC交于点H，求MNH面积的最小值26（2024浙江绍兴浙江绍兴二模）二模）已知抛物线C：220ypx p的焦点到准线的距离为 2，过点2,2A作直线交C于 M，N 两点，点

15、1,1B-，记直线BM，BN的斜率分别为1k，2k.(1)求C的方程；(2)求121232k kkk-的值；(3)设直线BM交 C 于另一点 Q，求点 B 到直线QN距离的最大值.27（2024浙江绍兴浙江绍兴模拟预测）模拟预测）已知抛物线C:22ypx的焦点F，直线l过F且交 C 于两点MN、，已知当3MFNF时，MN中点纵坐标的值为2 33.(1)求C的标准方程.(2)令,02pF-，P 为 C 上的一点，直线F P，FP分别交 C 于另两点 A，B.证明：1AFPFPFBF.(3)过,A B P分别作C的切线123,l l l，3l与1l相交于D，同时与2l相交于E，求四边形ABED面积

16、取值范围.28（2024河北保定河北保定二模）二模）平面几何中有一定理如下：三角形任意一个顶点到其垂心（三角形三条高所在直线的交点）的距离等于外心（外接圆圆心）到该顶点对边距离的 2 倍.已知ABCV的垂心为 D，外心为 E，D 和 E 关于原点 O 对称，13,0A.(1)若3,0E，点 B 在第二象限，直线BCx轴，求点 B 的坐标；(2)若 A，D，E 三点共线，椭圆 T：222210 xyabab与ABCV内切，证明：D，E 为椭圆 T 的两个焦点.29（2024浙江杭州浙江杭州模拟预测）模拟预测）设双曲线22:12xCy-，直线:l yxm与C交于,A B两点.(1)求m的取值范围；

17、(2)已知C上存在异于,A B的,P Q两点，使得PA PBQA QBtuuu r uuu ruuu r uuu r.（i）当4t 时，求,P Q到点2,mm-的距离（用含m的代数式表示）；（ii）当2t 时，记原点到直线PQ的距离为d，若直线PQ经过点,m m-，求d的取值范围.30（2024湖北湖北一模）一模）已知椭圆2222:1(0)xyMabab的离心率为12，A，B分别为椭圆的左顶点和上顶点，1F为左焦点，且1ABFV的面积为32(1)求椭圆M的标准方程：(2)设椭圆M的右顶点为C、P是椭圆M上不与顶点重合的动点（i）若点31,2P，点D在椭圆M上且位于x轴下方，直线PD交x轴于点F

18、，设APFV和CDFV的面积分别为1S，2S若1232SS-，求点D的坐标：（ii）若直线AB与直线CP交于点Q，直线BP交x轴于点N，求证：2QNQCkk-为定值，并求出此定值（其中QNk、QCk分别为直线QN和直线QC的斜率）黄金冲刺大题 06 圆锥曲线黄金冲刺大题 06 圆锥曲线（椭圆、双曲线、抛物线）（精选 30 题）（椭圆、双曲线、抛物线）（精选 30 题）1（2024山东山东二模）二模）已知椭圆的焦点分别是123,0,3,0FF-，点M在椭圆上，且124MFMF(1)求椭圆的标准方程；(2)若直线2ykx与椭圆交于,A B两点，且OAOB，求实数k的值【答案】(1)2214xy；(

19、2)62或62-【分析】（1）根据所给条件求出,a b，即可得出椭圆标准方程；（2）联立直线与椭圆方程，根据根与系数的关系及OAOB，列出方程求k即可.【详解】（1）设椭圆的标准方程为22221(0)xyabab由题意可知222324caabc，解得2,1,3,abc所以椭圆的标准方程为2214xy（2）设1122,A x yB xy，如图，联立方程22214ykxxy，消去y，得22148 240kxkx，则1212228 24,1414kxxx xkk-，从而121222y ykxkx2121222k x xk xx222414kk-，因为,0OAOB OA OBuuu r uuu r，即

20、12120 x xy y，所以22222424640141414kkkkk-，解得62k 或62-，经验证知0，所以k的值为62或62-2（2024江苏南通江苏南通模拟预测）模拟预测）在平面直角坐标系xOy中，设椭圆2222:10 xyCabab的离心率为32，1F，2F分别是椭圆的左、右焦点，过2F作两条互相垂直的直线1l，2l，直线1l与C交于A，B两点，直线2l与C交于D，E两点，且12AFFV的周长是42 3.(1)求椭圆C的方程；(2)当32ABDE时，求ODEV的面积.【答案】(1)2214xy(2)2 23【分析】（1）由椭圆离心率和焦点三角形的周长，列方程组求出,a b，得椭圆

21、C的方程；（2）设直线1l，2l的方程，与椭圆联立，利用韦达定理和32ABDE求出DE和2l的方程，再求出 O 到直线2l的距离，可求ODEV的面积.【详解】（1）由题意知，2222242 332accabac-，解得2,1,3abc，所以椭圆C的方程为2214xy；（2）若直线1l的斜率不存在，则直线2l的斜率为 0，不满足32ABDE，直线1l的的斜率为 0，则12,A F F三点共线，不合题意，所以直线1l的斜率存在且不为 0，设直线1l的方程为3xmy，由22314xmyxy，消去x得223110424mmyy-，设1122,A x yB xy，则1223214myym-，122141

22、4y ym-，222221212224141141.44mmABmyyy ymmm-同理可得222214141.1144mmDEmm，由32ABDE，得2222414134214mmmm，解得22m，则43DE，直线2l的方程为23yx-，坐标原点 O 到直线2l的距离为623d，142 22.233ODESV即ODEV的面积的面积为2 23.【点睛】方法点睛：解答直线与圆锥曲线的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去 x(或 y)建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系，涉及到直线方程的设法时，务必考虑全面，不要忽略直线斜率为 0 或不存在等特殊情形，

23、强化有关直线与圆锥曲线联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题3（2024河北邯郸河北邯郸二模）二模）已知椭圆C的中心为坐标原点，对称轴为x轴、y轴，且过32,0,1,2MN-两点(1)求C的方程(2),A B是C上两个动点，D为C的上顶点，是否存在以D为顶点，AB为底边的等腰直角三角形？若存在，求出满足条件的三角形的个数；若不存在，请说明理由【答案】(1)2214xy(2)存在，3个【分析】（1）设椭圆C的方程为221(0,0,)mxnymnmn，根据条件得到41314mmn，即可求出结果；（2）设直线DA为1ykx，直线DB为11yxk-，当

24、1k 时，由椭圆的对称性知满足题意；当21k 时，联立直线与椭圆方程，求出,A B的坐标，进而求出AB中垂线方程，根据条件中垂线直经过点(0,1)D，从而将问题转化成方程42710kk-解的个数，即可解决问题.【详解】（1）由题设椭圆C的方程为221(0,0,)mxnymnmn，因为椭圆过32,0,1,2MN-两点，所以41314mmn，得到1,14mn，所以椭圆C的方程为2214xy.（2）由（1）知(0,1)D，易知直线,DA DB的斜率均存在且不为 0，不妨设(0)DAkk k，1DBkk-，直线DA为1ykx，直线DB为11yxk-，由椭圆的对称性知，当1k 时，显然有DADB，满足题

25、意，当21k 时，由22114ykxxy，消y得到221()204kxkx，所以2814Akxk-，222281 411414Akkykk-，即22281 4(,)1414kkAkk-，同理可得22284(,)44kkBkk-，所以222222222222241 4(4)14(4)(1 4)1414888(144)5414ABkkkkkkkkkkkkkkkkkk-，设AB中点坐标为00(,)xy，则2220228812(1)1442(4)(14)kkk kkkxkk-，222220221 44151442(4)(14)kkkkkykk-，所以AB中垂线方程为222222215512(1)()(

26、4)(14)1(4)(14)kkk kyxkkkkk-，要使ADBV为AB为底边的等腰直角三角形，则直AB中垂线方程过点(0,1)，所以222222215512(1)1(0)(4)(14)1(4)(14)kkk kkkkkk-，整理得到42710kk-，令2tk，则2710tt-，4940D-，所以t有两根12,t t，且121 270,10ttt t，即2710tt-有两个正根，故有 2 个不同的2k值，满足42710kk-，所以由椭圆的对称性知，当21k 时，还存在 2 个符合题意的三角形，综上所述，存在以D为顶点，AB为底边的等腰直角三角形，满足条件的三角形的个数有 3 个.【点睛】关键

27、点点晴：本题的关键在于第（2）问，通过设出直线DA为1ykx，直线DB为11yxk-，联立椭圆方程求出,A B坐标，进而求出直线AB的中垂线方程，将问题转化成直线AB的中垂线经过点(0,1)D，再转化成关于k的方程的解的问题.4（2024广东广州广东广州模拟预测）模拟预测）已知椭圆222:1(02 2)8xyCbb，得2111,422kk-.设,MMNNM xyN xy，则222232648,1414MNMNkkxxx xkk-，依题意可知直线,MA NA的斜率存在，直线MA的方程为1122MMyyxx，令4x -，得2442422MMMMPMMk xxyxyxx-21842124242212

28、22MMMMMkxkkxkkkxxx-，同理可求得42212QNkykx-，N4242114242422222PQMNMkkyykkkxxxx-4424224MNMNMNxxkkx xxx-22222232414424242(42)064832241414kkkkkkkkkk-，线段PQ的中点为定点4,0-.【点睛】方法点睛：对于直线和圆锥曲线相交的问题，我们一般将直线和圆锥曲线联立，利用韦达定理带入计算求解.5（2024辽宁辽宁二模）二模）平面直角坐标系 xOy 中，面积为 9 的正方形ABCD的顶点,A B分别在 x 轴和 y 轴上滑动，且2333OPOAOBuuu ruuu ruuu r

29、，记动点 P 的轨迹为曲线G(1)求G的方程；(2)过点4,1E的动直线 l 与曲线G交于不同的两点,M N时，在线段MN上取点 Q，满足|EMQNQMENuuuu ruuuruuuu ruuur试探究点 Q 是否在某条定直线上？若是，求出定直线方程；若不是，说明理由【答案】(1)22143xy(2)点 Q 在定直线上，定直线方程为330 xy-【分析】（1）设点,P A B的坐标，利用平面向量的坐标表示消参得00323xxyy，结合正方形面积得G的方程；（2）设:1 4l ykxk-，,Q M N的坐标，与椭圆联立并根据韦达定理得,M N横坐标关系，再根据线段乘积关系化为比值关系得01120

30、244xxxxxx-，化简得0243kxk，代入直线方程即可0y，从而求出定直线方程.【详解】（1）设00,0,0,P x yA xBy，由0000232323(,0)(0,)(,)333333OPOAOBxyxyuuu ruuu ruuu r，得002333xxyy，所以00323xxyy，因为正方形 ABCD 的面积为29AB，即22009xy，所以223()(3)92xy，整理可得22143xy，因此 C 的轨迹方程为22143xy（2）依题意，直线 l 存在斜率，设 l：1(4)yk x-，即1 4ykxk-，设点00,Q xy，11,M x y，22,N xy102xxx，可以得到2

31、1021066k-的焦点为F，过F的直线l与C交于,M N两点，且当l的斜率为 1 时，8MN(1)求C的方程；(2)设l与C的准线交于点P，直线PO与C交于点Q（异于原点），线段MN的中点为R，若3QR，求MNQ面积的取值范围【答案】(1)24yx；(2)2,6 3.【分析】（1）先设l的方程为2pxmy，11,M x y，22,N xy，联立直线与抛物线方程，结合韦达定理及抛物线定义即可求解；（2）先设出221,2Rmm，进而可求,P Q的坐标，可得直线/QRx轴，求出QR的范围，再由三角形面积公式即可求解.【详解】（1）不妨先设l的方程为2pxmy，11,M x y，22,N xy，代入

32、22ypx，可得2220ympyp-，所以122yymp，212y yp-，则21212222MNxxpm yypm pp，由题意可知当斜率为 1 时，1m，又8MN，即228pp，解得2p，所以C的方程为24yx；（2）由（1）知2p，直线l的方程为1xmy，抛物线方程24yx，124yym，124y y -所以R的纵坐标1222Ryyym，将R的纵坐标2m代入1xmy，得221xm，所以R的坐标221,2mm，易知抛物线的准线为=1x-,又因为l与C的准线交于点P，所以P的坐标21,m-，则直线OP的方程为2mxy，把2mxy代入24yx，得22ymy，即2ym或0y，因为点Q异于原点，从

33、而Q的纵坐标为2m，把2ym代入2mxy，得22mxym，所以2,2Q mm，因为R的坐标221,2mm，所以R，Q的纵坐标相同，所以直线/QRx轴，且222211QRmmm-，所以MNQ面积1212MNQMRQNRQSSSQR yy-VVV，因为22212121241616yyyyy ym-，所以2212161641yymm-，所以332222211412122MNQSmmmQR V，因为点Q异于原点，所以0m，所以210m，因为3QR，所以13QR，所以32226 3QR，则11,0C xyM t-，由24xmytyx，消去x，得2440ymyt-，221600mtmt，所以12124,4

34、yym y yt-，直线BC的方程为211121yyyyxxxx-，化简得1221214y yxyyyyy-，令0y，得124Qy yxt-，所以,0Qt-因此1OMtOQt-.（2）因为点Q的横坐标为1-，由（1）可知，1,0,1,0QM-，设QA交抛物线于D，11221144,A x yB xyC xyD xy-，如图所示又由（1）知，124y y -，同理可得144y y，得42yy-，又212121211242xxmymym yym ，22212121214416y yyyx x，又22111,1,MBxyMCxy-uuuruuuu r，则221121212111444MB MCxxy

35、 yx xxxm-uuur uuuu r，故2844,9m-结合0m，得73m.所以直线AB的方程为3730,xy-又2212121216416163yyyyy ym-，则141414221214141412443444ADyyyyyykyyxxxxyyyy-，所以直线AD的方程为3430 xy-，设圆心(,0)(11)T ss-,因为QM为AQB的平分线，故点T到直线AB和直线AD的距离相等，所以333354ss-，因为11s-，解得19s，故圆T的半径33253sr，因此圆T的方程为221499xy-.8（2024江苏苏州江苏苏州模拟预测）模拟预测）已知点(1,0)A，(0,1)B，(1,

36、1)C和动点(,)P x y满足2y是PA PBuuu r uuu r，PA PCuuu r uuu r的等差中项(1)求P点的轨迹方程；(2)设P点的轨迹为曲线1C按向量3 1,4 16a-r平移后得到曲线2C，曲线2C上不同的两点 M，N 的连线交y轴于点(0,)Qb，如果MON（O为坐标原点）为锐角，求实数b的取值范围；(3)在（2）的条件下，如果2b 时，曲线2C在点M和N处的切线的交点为R，求证：R在一条定直线上【答案】(1)23122yxx-；(2)0b；(3)证明见解析.【分析】（1）根据题意，由平面向量的坐标运算，结合等差中项的定义代入计算，即可得到结果；（2）根据题意，由平移

37、公式可得曲线2C的方程，然后与直线MN的方程联立，由平面向量的夹角公式，代入计算，即可得到结果；（3）根据题意，求导可得在点,M N处的切线方程，联立两条切线方程，代入计算，即可得到结果.【详解】（1）由题意可得(1,)PAxy-uuu r，(,1)PBxy-uuu r，(1,1)PCxy-uuu r，则22(1)()()(1)PA PBxxyyxyxy-uuu r uuu r，22(1)(1)()(1)21PA PCxxyyxyxy-uuu r uuu r，又2yQ是PA PBuuu r uuu r，PA PCuuu r uuu r的等差中项，22222212xyxyxyxyy-，整理得点(

38、,)P x y的轨迹方程为23122yxx-（2）由（1）知2131:22Cyxx-，又31,4 16a-Qr，平移公式为34116xxyy-即34116xxyy-，代入曲线1C的方程得到曲线2C的方程为：213331164242yxx-，即2yx=曲线2C的方程为2yx=如图由题意可设 M，N 所在的直线方程为ykxb，由2yxykxb消去y得20 xkxb-，令11,M x y，2212,N xyxx，则1212xxkx xb-，21111,OMx yx xuuuu r，22222,ONxyxxuuur，又MONQ为锐角，cos0|OM ONMONOMONuuuu r uuuruuuu r

39、uuur，即2212120|x xx xOMONuuuu ruuur，2212120 x xx x，又12x xb-，2()0bb-，得0b（3）当2b 时，由（2）可得12122xxkx xb-，对2yx=求导可得2yx，抛物线2C在点，211,Mx x，222,N xx处的切线的斜率分别为12Mkx，22Nkx，在点 M，N 处的切线方程分别为2111:2Mlyxxxx-，2222:2Nlyxxxx-，由211112222222yxxxxxxyxxxx-，解得交点R的坐标(,)x y满足12122xxxyxx即22kxy-，R点在定直线=2y-上【点睛】关键点点睛：本题主要考查了曲线的轨迹

40、方程问题以及切线问题，难度较大，解答本题的关键在于联立方程结合韦达定理计算以及转化为坐标运算.9（2024江苏南通江苏南通二模）二模）已知双曲线E的渐近线为33yx，左顶点为3,0A-.(1)求双曲线E的方程；(2)直线:l xt交x轴于点D，过D点的直线交双曲线E于B，C，直线AB，AC分别交l于G，H，若O，A，G，H均在圆P上，求D的横坐标；求圆P面积的取值范围.【答案】(1)2213xy-(2)3,04；2716S 且74S【分析】（1）根据渐近线方程及顶点求出,a b得双曲线方程；（2）设,0D t，由四点共圆可得1AGOHkk，根据斜率公式转化为,B C点坐标表示形式，由直线与双曲

41、线联立得出根与系数的关系，据此化简即可求出t；求出G点坐标得出OG，利用正弦定理求出外接圆的半径，根据均值不等式求出半径的最值，即可得出圆面积的最值.【详解】（1）因为双曲线的渐近线关于坐标轴及原点对称，又顶点在x轴上，可设双曲线的方程为22221xyab-（0a，0b），从而渐近线方程为：byxa，由题条件知：33ba.因为双曲线的左顶点为3,0A-，所以3a，1b，所以双曲线的方程为：2213xy-.（2）如图，,0D t，设直线BC的方程为：myxt-，将xmyt代入方程：22330 xy-，得2223230mymtyt-，当230m-且221230tm-时，设11,B x y，22,C

42、 xy，则12223mtyym-，212233ty ym-.设直线AG的倾斜角为a，不妨设02a时，5 33tan44tanaa；若G，H在x轴下方时，即t an0a时，5 33tan44tanaa或5tan5a-.又直线AG与渐近线不平行，所以3tan3a.所以0a或5tan5a或5tan5a且274R，从而2716S 且74S.【点睛】关键点点睛：本题的关键点在于利用直线的倾斜角与圆的内接四边形的角的关系，得出sinsin2tantan12coscos2AGOHkkaaaaaa-这一关键数量关系，再转化为直线与双曲线相交，利用根与系数的关系化简求参数的常规问题.10（2024江苏南京江苏南

43、京二模）二模）已知抛物线2:2(0)C ypx p与双曲线2222:1xyEab-（0a，0b）有公共的焦点 F，且4pb过 F 的直线 1 与抛物线 C 交于 A，B 两点，与 E 的两条近线交于 P，Q 两点(均位于 y轴右侧).(1)求 E 的渐近线方程；(2)若实数l满足1111|OPOQAFBFl-，求l的取值范围【答案】(1)33yx(2)10,2【分析】（1）由两曲线有公共的焦点 F，且4pb，得2cb，3ab=，可求渐近线方程；（2）通过设直线方程，联立方程组，借助韦达定理，表示出11|OPOQ和11|AFBF-，由1111OPOQAFBFl-求l的取值范围【详解】（1）抛物线

44、2:2(0)C ypx p与双曲线2222:1xyEab-（0a，0b）有公共的焦点 F，设双曲线 E 的焦距为2c，则有2pc，又4pb，则2cb.由222abc，得3ab=，所以 E 的渐近线的方程为33yx（2）设:l xmyc，1122,P x yQ xy，1 与 E 的两条近线交于 P，Q 两点均位于 y 轴右侧，有23m，由33xmycyx，解得13cym-，23cym-，123333111132222mmmmOPOQyyccc-.设3344,A xyB xy，由22xmycypx，消去x得2220ypmxp-，则有234342,yypm y yp-，342223434111111

45、11yyAFBFyymymym-2342222342112111yypmmy yppmmm，由1111OPOQAFBFl-，2pc，有22321mcpml，即2231mml，由23m，有330,2l，所以10,2l.【点睛】方法点睛：解答直线与圆锥曲线的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去 x(或 y)建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系，涉及到直线方程的设法时，务必考虑全面，不要忽略直线斜率为 0 或不存在等特殊情形，强化有关直线与圆锥曲线联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题11（2024重庆重

46、庆三模）三模）已知2,0F，曲线C上任意一点到点F的距离是到直线12x 的距离的两倍.(1)求曲线C的方程；(2)已知曲线C的左顶点为A，直线l过点F且与曲线C在第一、四象限分别交于M，N两点，直线AM、AN分别与直线12x 交于P，H两点，Q为PH的中点.（i）证明：QFMN；（ii）记PMQV，HNQV，MNQV的面积分别为1S，2S，3S，则123SSS是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由.【答案】(1)2213yx-(2)（i）证明见解析；（ii）是，12【分析】（1）设曲线C上任意一点坐标为,x y，利用坐标可得曲线C的方程；（2）(i)设直线MN：2xmy，11,M

47、x y，22,N xy，联立方程组可得1221231myym-，122931y ym-，求得直线AM：1111yyxx，求得P，H，进而可得Q的坐标，求得FQuuu r的坐标，直线MN的方向向量的坐标，利用向量法可证结论.(ii)法一：利用（i）可求得226 11 3mMNm-；23 12mQF，进而可得322329 1122 1 3mSMNQFm-，进而求得1212114SSPHxx-，代入运算可求得3221229 14 1 3mSSm-，可求结论.法二：（利用双曲线的第二定义）由（1）知，1122MFx-，同理2122NFx-，计算可得1218SSPHMN，又312SMNQF，12314P

48、HSSSQF，进而计算可得结论成立.【详解】（1）设曲线C上任意一点坐标为,x y，则由题意可知：2222222212444441123yxyxxxyxxx-，故曲线C的方程为2213yx-.（2）(i)设直线MN：2xmy，11,M x y，22,N xy，其中3333m-，21x 22222311290330 xmymymyxy-，故1221231myym-，122931y ym-；直线AM：1111yyxx，当12x 时，11321yyx，故1131,2 21yPx，同理2231,2 21yHx，Q为PH中点，故1221121212111 332 211411Qyxyxyyyxxxx；2

49、2221212121229369 3111333931mmmxxmymym y ym yym-2931m-；（*）122112211212221836181133233131mmmyxyxymyymymy yyymm-；故3 183492Qmmy，即1 3,22mQ，则3 3,22mFQ-uuu r，直线MN的方向向量,1amr，33022mma FQ-uurru，故QFMN.(ii)法一：222212121222214436 316 141 331mmmyyyyy ymm-；（*）故221226 111 3mMNmyym-；222133 120222mmQF-，又QFMN，故322329 1

50、122 1 3mSMNQFm-.12121211111122224SSPQxHQxPHxx-；2221212223 1129313311 3mmmxxm yymm-；1221121212113332121211yxyxyyPHxxxx-，12211212123339211211ymyymyyyxxxx-，由（*）知1229111 3xxm-，由（*）知21226 11 3myym-，故22229 6 11 33 121 39mmPHmm-，故3222212223 19 113 141 34 1 3mmSSmmm-，则12312SSS.法二：（利用双曲线的第二定义）由（1）知，1122MFx-，