大题05 导数（精选30题）-【黄金冲刺】2024年考前15天高考数学极限满分冲刺（新高考通用）含答案.pdf

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1、黄金冲刺大题 05 导数（精选 30 题）黄金冲刺大题 05 导数（精选 30 题）1（2024安徽安徽二模）二模）已知函数2()103(1)lnf xxxfx=-+.(1)求函数()f x在点(1,(1)f处的切线方程；(2)求()f x的单调区间和极值.2（2024江苏南京江苏南京二模）二模）已知函数2()exxaxaf x-+=，其中aR(1)当0a=时，求曲线()yf x=在(1,(1)f处的切线方程；(2)当0a 时，若()f x在区间0,a上的最小值为1e，求 a 的值3（2024浙江绍兴浙江绍兴模拟预测）模拟预测）已知 exf xax=-，cosg xx=.(1)讨论 f x的单

2、调性.(2)若0 x使得00f xg x=，求参数a的取值范围.4（2024福建漳州福建漳州一模）一模）已知函数 lnf xaxxa=-+，Ra且0a(1)证明：曲线 yf x=在点 1,1f处的切线方程过坐标原点(2)讨论函数 f x的单调性5（2024山东山东二模）二模）已知函数 2elnxfxa xxx=-(1)当1ea=时，求 f x的单调区间；(2)当0a 时，2f xa-，求a的取值范围6（2024山东山东一模）一模）已知函数21()ln(1)2f xxa x=+-(1)当12a=-时，求函数()f x的单调区间；(2)若函数()()21g xf xx=-+有两个极值点12,x x

3、，且12)3(2()1g xxag+-，求 a 的取值范围7（2024湖北湖北二模）二模）求解下列问题，(1)若1lnkxx-恒成立，求实数 k 的最小值；(2)已知 a，b 为正实数，0,1x，求函数 11xxg xaxx bab-=+-的极值8（2024湖北武汉湖北武汉模拟预测）模拟预测）函数大题05 导数（精选30题）-【黄金冲刺】2024年考前15天高考数学极限满分冲刺（新高考通用）9()tansin,()sincos,(0,),2222nnf xxxxxg xxxx xn+=+-恒成立，求n的最大值9（2024湖北湖北模拟预测）模拟预测）已知函数 2ln1f xaxxx=-+，aR，

4、(1)若对定义域内任意非零实数1x，2x，均有12120f xf xx x，求 a；(2)记1112ntn=+，证明：5ln16nntnt-+，求a的取值范围；（）证明：23sintanxxx11（2024全国全国模拟预测）模拟预测）已知函数1()ln(1)1f xxx=+-+(1)求曲线()yf x=在(0,(0)f处的切线方程；(2)若(1,)x-，讨论曲线()yf x=与曲线2cosyx=-的交点个数12（2024广东佛山广东佛山二模）二模）已知 21e4e52xxf xax=-+-.(1)当3a=时，求 f x的单调区间；(2)若 f x有两个极值点1x，2x，证明：12120f xf

5、 xxx+且 f xg x恒成立，求a的最小值.15（2024山东济南山东济南二模）二模）已知函数 22l,n1exf xaxxg xxaxa=-=-R.(1)讨论 f x的单调性；(2)证明：fxg xx+.16（2024福建福建模拟预测）模拟预测）已知函数()lnf xaxbx=-在 1,1f处的切线在y轴上的截距为2-(1)求a的值；(2)若 f x有且仅有两个零点，求b的取值范围17（2024浙江杭州浙江杭州二模）二模）已知函数 21ln22fxaxxa=+-R(1)讨论函数 f x的单调性；(2)若函数 f x有两个极值点，（）求实数a的取值范围；（）证明：函数 f x有且只有一个零

6、点18（2024河北沧州河北沧州模拟预测）模拟预测）已知函数()ln1f xxax=-+，aR(1)讨论 f x的单调性；(2)若0 x，2e2xf xxax-恒成立，求实数 a 的取值范围19（2024广东广东二模）二模）已知 21122ln,02f xaxa xx a=+-.(1)求 f x的单调区间；(2)函数 f x的图象上是否存在两点1122,A x yB xy（其中12xx），使得直线AB与函数 f x的图象在1202xxx+=处的切线平行？若存在，请求出直线AB；若不存在，请说明理由.20（2024广东深圳广东深圳二模）二模）已知函数 1 exf xax=+，fx是 f x的导函

7、数，且 2exfxf x-=(1)若曲线 yf x=在0 x=处的切线为ykxb=+，求 k，b 的值；(2)在（1）的条件下，证明：f xkxb+21（2024辽宁辽宁二模）二模）已知函数 2lnf xaxaxx=-.(1)若曲线 yf x=在1x=处的切线方程为2ymx=+，求实数,a m的值；(2)若对于任意1x，f xaxa+恒成立，求实数a的取值范围22（2024黑龙江哈尔滨黑龙江哈尔滨一模）一模）已知函数 e,exxxf xaa=-R(1)当0a=时，求 f x在1x=处的切线方程；(2)当1a=时，求 f x的单调区间和极值；(3)若对任意xR，有 1exf x-恒成立，求a的取

8、值范围23（2024安徽合肥安徽合肥二模）二模）已知曲线:eexxCfxx=-在点 1,1Af处的切线为l(1)求直线l的方程；(2)证明：除点A外，曲线C在直线l的下方；(3)设1212,fxfxt xx=，求证：1221etxxt+-24（2024江苏扬州江苏扬州模拟预测）模拟预测）已知函数 22ln1f xxaxa=-+R.(1)讨论函数 f x的单调性；(2)若存在正数x，使 0f x 成立，求a的取值范围；(3)若120 xx，证明：对任意0,a+，存在唯一的实数012,xx x，使得21021f xf xfxxx-=-成立.25（2024重庆重庆模拟预测）模拟预测）已知函数 23

9、elnR,xf xxaxax=-+(1)若过点2,0的直线与曲线 yf x=切于点 1,1f，求a的值；(2)若 f x有唯一零点，求a的取值范围26（2024江苏南通江苏南通模拟预测）模拟预测）设函数 lnfxxaxxa=-+，Ra.(1)若0a=，求函数 f x的单调区间；(2)若220ea-，试判断函数 f x在区间22e,e-内的极值点的个数，并说明理由；(3)求证：对任意的正数a，都存在实数t，满足：对任意的xtta+，1fxa，证明：31231ex x x30（2024浙江杭州浙江杭州模拟预测）模拟预测）已知函数 1122e,eee1xxxxf xmm g x-=+-=+.(1)当

10、0m=时，证明：exf x-；(2)当0 x 时，g xt，求t的最大值；(3)若 f x在区间0,+存在零点，求m的取值范围.黄金冲刺大题 05 导数（精选 30 题）黄金冲刺大题 05 导数（精选 30 题）1（2024安徽安徽二模）二模）已知函数2()103(1)lnf xxxfx=-+.(1)求函数()f x在点(1,(1)f处的切线方程；(2)求()f x的单调区间和极值.【答案】(1)413yx=-；(2)递增区间为(0,2),(3,)+，递减区间为2,3，极大值16 12ln2-+，极小值21 12ln3-+.【分析】（1）求出函数()f x的导数，赋值求得(1)f，再利用导数的

11、几何意义求出切线方程.（2）由（1）的信息，求出函数()f x的导数，利用导数求出单调区间及极值.【详解】（1）函数2()103(1)lnf xxxfx=-+，求导得3(1)()210ffxxx=-+，则(1)83(1)ff=-+，解得(1)4f=，于是2()1012lnf xxxx=-+，(1)9f=-，所以所求切线方程为：94(1)yx+=-，即413yx=-.（2）由（1）知，函数2()1012lnf xxxx=-+，定义域为(0,)+，求导得122(2)(3)()210 xxfxxxx-=-+=，当02x时，()0fx，当23x时，()0fx时，若()f x在区间0,a上的最小值为1e

12、，求 a 的值【答案】(1)e0 xy-=(2)1a=【分析】（1）由0a=，分别求出(1)f及(1)f，即可写出切线方程；（2）计算出()fx，令()0fx=，解得2x=或xa=，分类讨论a的范围，得出()f x的单调性，由()f x在区间0,a上的最小值为1e，列出方程求解即可【详解】（1）当0a=时，2()exxf x=，则1(1)ef=，22()exxxfx-=，所以1(1)ef=，所以曲线()yf x=在(1,(1)f处的切线方程为：11(1)eeyx-=-，即e0 xy-=（2）2(2)2(2)()()eexxxaxaxxafx-+-=-，令()0fx=，解得2x=或xa=，当02

13、a时，0,2x时，()0fx，则()f x在0,2上单调递减，(2,xa时，()0fx，则()f x在(2,a上单调递增，所以min()(2)f xf=241eea-=，则4e2a=-时，f x在,lna-上单调递减，在ln,a-+上单调递增.(2),1-【分析】（1）对 exf xax=-求导数，然后分类讨论即可；（2）直接对1a 和1a 分类讨论，即可得到结果.【详解】（1）由 exf xax=-，知 e1xfxa=-.当0a 时，有 e10 110 xfxa=-=-时，对lnxa-有 lne1e11 10 xafxaa-=-有 lne1e11 10 xafxaa-=-=-=，所以 f x

14、在,lna-上单调递减，在ln,a-+上单调递增.综上，当0a 时，f x在,-+上单调递减；当0a 时，f x在,lna-上单调递减，在ln,a-+上单调递增.（2）当1a 时，由（1）的结论，知 f x在,lna-上单调递减，在ln,a-+上单调递增，所以对任意的x都有 lnlneln1 ln1 ln11cosaf xfaaaaxg x-=+=+=，故 f xg x恒成立，这表明此时条件不满足；当1a 时，设 ecosxh xaxx=-，由于111101e1 cos1ee1 e1 e0aaaahaaaaaaaaaa-=+-+-+=-=，00e0cos010haa=-=-，故由零点存在定理，

15、知一定存在01,0 xa-，使得00h x=，故000000ecos0 xf xg xaxxh x-=-=，从而00f xg x=，这表明此时条件满足.综上，a的取值范围是,1-.4（2024福建漳州福建漳州一模）一模）已知函数 lnf xaxxa=-+，Ra且0a(1)证明：曲线 yf x=在点 1,1f处的切线方程过坐标原点(2)讨论函数 f x的单调性【答案】(1)证明见解析(2)答案见解析【分析】（1）先利用导数的几何意义求得 f x在 1,1f处的切线方程，从而得证；（2）分类讨论0a，利用导数与函数的单调性即可得解.【详解】（1）因为 ln0f xaxxa x=-+，所以()1aa

16、xfxxx-=-=，则(1)ln1 11faaa=-+=-，(1)1fa=-，所以 f x在 1,1f处的切线方程为:(1)(1)(1)yaax-=-，当0 x=时，(1)(1)(0 1)(1)yaaa-=-=-，故0y=，所以曲线()yf x=在点 1,1f处切线的方程过坐标原点.（2）由（1）得()1aaxfxxx-=-=，当0a 时，0ax-，则 0fx时，令()0fx=则xa=，当0 xa，()f x单调递增；当xa时，()0fx，()f x单调递减；综上：当0a 时，()f x在(0,)a上单调递增，在(,)a+上单调递减.5（2024山东山东二模）二模）已知函数 2elnxfxa

17、xxx=-(1)当1ea=时，求 f x的单调区间；(2)当0a 时，2f xa-，求a的取值范围【答案】(1)f x的减区间为0,1，增区间为1,+(2)1a【分析】（1）当1ea=时，1eln,0 xf xxxx x-=-，求导得 11e1xxfxxx-+=-，令 1e1xg xx-=-，求 gx确定 g x的单调性与取值，从而确定 fx的零点，得函数的单调区间；（2）求 fx，确定函数的单调性，从而确定函数 f x的最值，即可得a的取值范围【详解】（1）当1ea=时，1eln,0 xf xxxx x-=-，则 11111 e1e1xxxfxxxxx-+=+-=-，设 1e1xg xx-=

18、-，则 11 e0 xgxx-+=恒成立，又 01e10g=-=，所以当0,1x时，0fx，f x单调递增，所以 f x的减区间为0,1，增区间为1,+；（2）22111 e1e1xxxfxaxa xxx+=+-=-，设 2e1xh xa x=-，则 21 e0 xh xax=+，所以 h x在0,+上单调递增，又 010h=-，所以存在0210,xa，使得00h x=，即020e10 xa x-=，当00,xx时，0fx，f x单调递增，当0 xx=时，f x取得极小值，也是最小值，所以 00200000eln1 lne12lnxxf xf xa xxxxa=-=-=+，所以12ln2aa+

19、-，即2ln10aa+-，设 2ln1F aaa=+-，易知 F a单调递增，且 10F=，所以 1F aF，解得1a，综上，1a.6（2024山东山东一模）一模）已知函数21()ln(1)2f xxa x=+-(1)当12a=-时，求函数()f x的单调区间；(2)若函数()()21g xf xx=-+有两个极值点12,x x，且12)3(2()1g xxag+-，求 a 的取值范围【答案】(1)增区间(0,2)，减区间(2,)+(2)1,)+【分析】（1）将12a=-代入求导，然后确定单调性即可；（2）求导，根据导函数有两个根写出韦达定理，代入12)3(2()1g xxag+-，构造函数，

20、求导，研究函数性质进而求出 a 的取值范围【详解】（1）当12a=-时，21()ln(1)4f xxx=-，0 x，则11(2)(1)()(1)22xxfxxxx-+=-=-，当(0,2)x，()0fx，()f x单调递增，当(2,)x+，()0fx+=，解得0a 由122axxa+=，121=x xa，得221211122211ln121ln12122g xg xxa xxxa xx+=+-+-+212121212121ln222222x xaxxx xxxxx=+-+-+2112222ln22222aaaaaaaaa+=+-+-+123ln1122aaaa=+-，即11ln02aaa-，令

21、11()ln2m aaaa=-，则222111(1)()0222am aaaa-=-=-，所以()m a在(0,)+上单调递减，且(1)0m=，所以1a，故 a 的取值范围是1,)+7（2024湖北湖北二模）二模）求解下列问题，(1)若1lnkxx-恒成立，求实数 k 的最小值；(2)已知 a，b 为正实数，0,1x，求函数 11xxg xaxx bab-=+-的极值【答案】(1)1(2)答案见解析【分析】（1）求导，然后分0k 和0k 讨论，确定单调性，进而得最值；（2）先发现 010gg=，当ab=时，0g x=，当01x，则需使 0f x 恒成立，10fxkxx=-，当0k 时，0fx时

22、，0f x 时令 0fx=，解得1xk=，则 f x在10,k上单调递减，在1,k+上单调递增，所以 min11lnlnf xfkkk=-=，要使1lnkxx-恒成立，只要ln0k 即可，解得1k，所以 k 的最小值为 1；（2）1()(1)xxg xaxx bab-=+-，0,1x，0a，0b，易知 010gg=，当ab=时，0g xaxaaxa=+-=，此时函数无极值；当01x，1t，1xL xtxxt=+-，0t，1t，0,1x，则 1lnxL xttt=-，当1t 时，由 0L x得1lnlnlnttxt-，由（1）知1lntt-，当1t 时，11lntt-，因为1lnxx-，所以11

23、1lnxx-，所以1ln1xx-，即0 x，当1t 时，1ln1tt-，所以1lnttt-，则1lnln0lnttt-，所以1lnln1lnttt-，即 L x在1lnln0,lnttt-上单调递增，在1lnln,1lnttt-单调递减所以函数1lnlnlnttg xgt-=极大，atb=，ab，当01t 时，同理有1lnln0,1lnttt-，由 0L x得1lnlnlnttxt-，即()x在1lnln0,lnttt-上单调递增，在1lnln,1lnttt-上单调递减所以函数 1lnlnlnttg xgt-=极大，atb=，ab，综上可知，当ab=时，函数 g x没有极值；当ab时，函数 g

24、 x有唯一的极大值1lnlnlnttgt-，其中atb=，没有极小值【点睛】关键点点睛：取atb=，将两个参数的问题转化为一个参数的问题，进而求导解答问题.8（2024湖北武汉湖北武汉模拟预测）模拟预测）函数9()tansin,()sincos,(0,),2222nnf xxxxxg xxxx xn+=+-恒成立，求n的最大值【答案】(1)极小值为3(3)()32f-=，极大值为3(3)()32f-=；(2)3.【分析】（1）判断函数()f x为奇函数，利用导数求出()f x在区间(0,)2上的极值，利用奇偶性即可求得定义域上的极值.（2）利用导数证明当1n=时，()0g x 恒成立，当1n

25、时，等价变形不等式并构造函数1sin(),02cosnxF xxxx=-，利用导数并按导数为负为正确定n的取值范围，进而确定不等式恒成立与否得解.【详解】（1）函数9()tansin222f xxxxx=+-，9()tan()sin()()()2fxxxxf x-=-+-=-，即函数()f x为奇函数，其图象关于原点对称，当02x，得10cos2x，解得32x，由()0fx，得1cos12x，解得03x恒成立，即sincos0 xxx-恒成立，亦即tan xx恒成立，令()tan,(0,)2h xxx x=-，求导得222211 cos()1tan0coscosxh xxxx-=-=，则函数(

26、)h x在(0,)2上为增函数，有()(0)0h xh=，因此tan0 xx-恒成立；当1n 时，()0g x 恒成立，即不等式sincosnxxx恒成立，令1sin(),02cosnxF xxxx=-，得122sincos0nnxxn-，当1122nn+-时，即3n 时，()0G x，则函数()G x在(0,)2上单调递减，则有()(0)0G xG=，即()0F x，因此函数()F x在(0,)2上单调递减，有()(0)0F xF，当1122nn+时，存在一个0(0,)2x，使得101cos22nnnxn-+=-，且当0(0,)xx时，()0G x，即()G x在0(0,)x上单调递增，且(

27、)(0)0G xG=，则()0F x，于是()F x在0(0,)x上单调递增，因此()(0)0F xF=，即sincosnxxx矛盾，所以n的最大值为 3.【点睛】方法点睛：对于利用导数研究不等式的恒成立与有解问题的求解策略：通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围；利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题根据恒成立或有解求解参数的取值时，一般涉及分离参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后构造的新函数能直接求出最值点的情况，进行求解，若参变分离不易求解问题，就要考虑利用分类讨论法和放缩法，注意恒成立与存在性问题的区别9（2024湖北湖北模拟

28、预测）模拟预测）已知函数 2ln1f xaxxx=-+，aR，(1)若对定义域内任意非零实数1x，2x，均有12120f xf xx x，求 a；(2)记1112ntn=+，证明：5ln16nntnt-+两种情况分析原函数的单调性，当0a 时分析极值点的正负与原函数的正负区间，从而确定a的值；（2）由（1）问的结论可知，21111ln12nnnn-+，再累加结合放缩方法证明即可.【详解】（1）f x的定义域为1,-+，且 00f=；112122111xfxaxaxxaxxx=-+=-=-+，因此 00f=；i.0a 时，1201ax-有1,0 x-，令 0fx有0,x+，则 f x在1,0-上

29、单调递增，0,+上单调递减，又 00f=，于是 0f x，此时令120 x x，有 12120f xf xx x时，fx有零点 0 和0112xa=-，若00 x，此时令 0fx，令1 0 x，02xx=，有 12120f xf xx x，即102a，此时令 0fx有00,xx，f x在00,x上单调递减，又 00f=，则00fx，令12010,xxx-=，有 12120f xf xx x，f x在1,-+上单调递增，又 00f=，则0 x 时 0f x，0 x 时 0f x，也即对120 x x，12120f xf xx x，综上，12a=（2）证：由（1）问的结论可知，0a=时，ln10f

30、 xxx=-+；且12a=时0 x，21ln102f xxxx=-+；则0 x 时，21ln12xxxx-+，令1xn=，有21111ln12nnnn-+，即2111ln1ln2nnnnn-+-，于是2111lnln11121nnnnn-11ln212-将上述 n 个式子相加，221111ln122nntntn-+；欲证5ln16nntnt-+，只需证2251111622nnttn-+，只需证22115123n+；因为2221441124412121nnnnn=-+，所以22111111115251122355721213213nnnn+-+-+-=-+，得证：于是得证5ln16nntnt-+

31、，求a的取值范围；（）证明：23sintanxxx【答案】(1)2220.2xy-+-=(2)（）3a（）证明见解析【分析】（1）令1a=时，利用导数的几何意义求出斜率，进行计算求出切线方程即可.（2）（）设()2sintan,(0,),2g xxxax x=+-由 0gx得3a，再证明此时满足 0g x.（）根据（）结论判断出 23sintanF xxxx=-在(0,)2上单调递增，()(0)0,F xF=即23sintan.xxx【详解】（1）当1a=时，()sincos,()cos(cossin)sin,f xxxx fxxxxxxx=-=-=(),()1.222ff=所以切线方程为：1

32、(),22yx-=-即2220.2xy-+-=（2）（）()sin2sincossin20,f xxxaxxx+=-+即tan2sin0,(0,)2xaxxx-+，设()2sintan,(0,),2g xxxax x=+-322211()2cos(2coscos1).coscosg xxaxaxxx=+-=-+又(0)0,(0)3,(0)30ggaga=-=-Q是()0g x 的一个必要条件，即3.a 下证3a 时，满足()2sintan0,(0,),2g xxxaxx=+-又3221()(2cos3cos1)cosg xxxx-+，设322()231,(0,1),()666(1)0,tttt

33、h tttt t=-+=-=-=，又(0,),cos(0,1),()0,2xxg x即()g x在(0,)2单调递增.(0,)2x 时，()(0)0g xg=；下面证明3a 时不满足()2sintan0,(0,),2g xxxaxx=+-，21()2coscosg xxax=+-，令21()()2coscosh xg xxax=+-，则332sin1()2sin2sin1coscosxh xxxxx=-+=-，310,sin0,102cosxxx-Q，()0,()()h xh xg x=在0,2为增函数，令0 x满足0010,cos2xxa=，则0002012cos2cos0cosgxxaxa

34、ax=+-=+-，又(0)30,ga=-100,xx,使得10gx=，当10,xx时，1()0g xgx=，此时()g x在10,x为减函数，当10,xx时，()(0)0g xg时，不满足()0g x 恒成立.综上3a.（）设23()sintan,(0,),2F xxxxx=-2222221()2sincostansin32sintan3cosF xxxxxxxxxx=+-=+-222222(sin)(tan)2(2sintan)23.xxxxxx xxxx=-+-+-由（）知22sintan3,()002360,xxxF xxxx+-=，F x在(0,)2上单调递增，()(0)0,F xF=

35、即23sintan.xxx【点睛】关键点点睛：本题考查导数，解题关键是进行必要性探路，然后证明充分性，得到所要求的参数范围即可11（2024全国全国模拟预测）模拟预测）已知函数1()ln(1)1f xxx=+-+(1)求曲线()yf x=在(0,(0)f处的切线方程；(2)若(1,)x-，讨论曲线()yf x=与曲线2cosyx=-的交点个数【答案】(1)312yx=-；(2)2【分析】（1）求导，即可根据点斜式求解方程，（2）求导，分类讨论求解函数的单调性，结合零点存在性定理，即可根据函数的单调性，结合最值求解.【详解】（1）依题意，321112 1fxxx=+，故 302f=，而 01f=

36、-，故所求切线方程为312yx+=，即312yx=-（2）令1ln 12cos1xxx+-=-+，故1ln 12cos01xxx+-=+，令 1ln 12cos1g xxxx=+-+，32112sin112gxxxx-=+-+，令 32112sin112h xgxxxx-=-+，522132cos141h xxxx-=-+当1,2x-时，522cos0,10,10 xxx-+，0,h xh x=-+-+-=，gx在0,1上有唯一的零点，设为0 x，即000 01gxx=-=-+-11ln 120,ln 104221142g=-+-+，g x在01,x-上有且只有一个零点，在0,2x上无零点；当

37、 5,26x时，3211110,12gxxg xx-+=+-+-，gx单调递增，又 50,06gg，所以存在唯一005,06xgx=，当05,6xx时，0,gxg x递增，5max,06g xgg，g x在5,6内无零点综上所述，曲线 yf x=与曲线2cosyx=-的交点个数为 2【点睛】方法点睛：本题考查了导数的综合运用，求某点处的切线方程较为简单，利用导数求单调性时，如果求导后的正负不容易辨别，往往可以将导函数的一部分抽离出来，构造新的函数，利用导数研究其单调性，进而可判断原函数的单调性.在证明不等式时，常采用两种思路：求直接求最值和等价转化.无论是那种方式，都要敢于构造函数，构造有效的

38、函数往往是解题的关键.12（2024广东佛山广东佛山二模）二模）已知 21e4e52xxf xax=-+-.(1)当3a=时，求 f x的单调区间；(2)若 f x有两个极值点1x，2x，证明：12120f xf xxx+.【答案】(1)答案见解析(2)证明见解析【分析】（1）求导后，借助导数的正负即可得原函数的单调性；（2）借助换元法，令ext=，11ext=，22ext=，可得1t、2t是方程240tta-+=的两个正根，借助韦达定理可得124tt+=，1 2t ta=，即可用1t、2t表示 1212f xf xxx+，进而用a表示 1212f xf xxx+，构造相关函数后借助导数研究其

39、最大值即可得.【详解】（1）当3a=时，21e4e352xxf xx=-+-，2e4e3e1 e3xxxxfx=-+-=-，则当e0,13,x+，即,0ln3,x-+时，0fx，故 f x的单调递减区间为,0-、ln3,+，单调递增区间为0,ln3；（2）2e4exxfxa-+=-，令ext=，即 24fxtta=-+-，令11ext=，22ext=，则1t、2t是方程240tta-+=的两个正根，则2441640aa=-=-，即4a，即04a，则1122221212121211e4e5e4e522xxxxf xf xxxaxaxxx+=-+-+-+22121212141 lnln102ttt

40、tatt=-+-+-2121 2121 21241 ln102ttt tttat t=-+-+-1162161 ln102aaa=-+-1 ln2aaa=-，要证 12120f xf xxx+，即证1 ln20 04aaaa-，令 1 ln2 04g xxxxx=-，则 111lnlnxgxxxxx-=-+=-，令 1ln04h xxxx=-，则 2110h xxx=-，则 gx在0,4上单调递减，又 11ln111g=-=，12ln202g=-，当0,4xx时，0gx，故 g x在00,x上单调递增，g x在0,4x上单调递减，则 000000000111 ln2123g xg xxxxxx

41、xxx=-=-=+-，又01,2x，则00152,2xx+，故000130g xxx=+-，即 0g x，即 12120f xf xxx+.当,1k-时，0gx在0,+上恒成立，所以 g x在0,+上单调递增，所以 01g xg=，所以 g x在0,+上没有零点，不符合题意；当1,k+时，令 0gx=，得lnxk=，所以在0,lnk上，0gx，所以 g x在0,lnk上单调递减，在(ln,)+k上单调递增，所以 g x的最小值为lnlngkkkk=-.因为 g x在0,+上有两个零点，所以lnln0gkkkk=-.因为 222010,lnln2lnggkkkkk kk=-=-，令 2lnh x

42、xx=-，则 221xh xxx-=-=，所以在0,2上，0h x，所以 h x在0,2上单调递减，在2,+上单调递增，所以 222ln2lneln40h x-=-，所以2ln2ln0gkk kk=-，所以当ek 时，g x在0,lnk和(ln,)+k内各有一个零点，即当ek 时，g x在0,+上仅有两个零点.综上，实数k的取值范围是e,+.【点睛】方法点睛：求解函数单调区间的步骤：（1）确定 f x的定义域.（2）计算导数 fx.（3）求出 0fx=的根.（4）用 0fx=的根将 f x的定义域分成若干个区间，判断这若干个区间内 fx的符号，进而确定 f x的单调区间.0fx，则 f x在对

43、应区间上单调递增，对应区间为增区间；0fx且 f xg x恒成立，求a的最小值.【答案】(1)答案见解析(2)32e.【分析】（1）求导后，利用导数与函数单调性的关系，对0a 与0a 分类讨论即可得；（2）结合函数的单调性求出函数的最值，即可得解.【详解】（1）11 axfxaxx-=-=（0a），当0a，所以 0fx恒成立，从而 f x在0,+上递增；当0a 时，10 xa；1xa，0fx，从而 f x在10,a上递增，在1,a+递减；综上，当0a 时，f x的单调递增区间为10,a，单调递减区间为1,a+.（2）令 2lnh xf xg xxaxax=-=-，要使 f xg x恒成立，只要

44、使 0h x 恒成立，也只要使 max0h x.221212axaxh xaxaxax-+-=-+=，由于0a，0 x，所以10ax+恒成立，当20 xa，当2xa+时，0h x两种情况，结合导函数的符号判断原函数单调性；（2）构建 ,0F xf xg xx x=+-，1e,0 xh xxx=-，根据单调性以及零点存在性定理分析 h x的零点和符号，进而可得 F x的单调性和最值，结合零点代换分析证明.【详解】（1）由题意可得：f x的定义域为0,+，21212axfxaxxx=-=-，当0a 时，则2210ax-时，令 0fx，解得12xa；令 0fx，解得102xa时，f x在10,2a上

45、单调递减，在1,2a+上单调递增.（2）构建 eln1,0 xF xf xg xxxxxx=+-=-，则 111 e11exxFxxxxx=+-=+-，由0 x 可知10 x+，构建 1e,0 xh xxx=-，因为1e,xyyx=-在0,+上单调递增，则 h x在0,+上单调递增，且 1e2 0,1e 1 02hh=-=-，可知 h x在0,+上存在唯一零点01,12x，当00 xx，则 0h x，即 0Fx，则 0h x，即 0Fx；可知 F x在00,x上单调递减，在0,x+上单调递增，则 00000eln1xF xF xxxx=-，又因为001e0 xx-=，则00001e,exxxx

46、-=，01,12x，可得000001lne10 xF xxxx-=-=，即 0F x，所以 f xg xx+.16（2024福建福建模拟预测）模拟预测）已知函数()lnf xaxbx=-在 1,1f处的切线在y轴上的截距为2-(1)求a的值；(2)若 f x有且仅有两个零点，求b的取值范围【答案】(1)2(2)20,eb【分析】（1）借助导数的几何意义计算即可得；（2）借助函数与方程的关系，可将 f x有且仅有两个零点转化为方程2ln xbx=有两个根，构造对应函数并借助导数研究单调性及值域即可得.【详解】（1）()afxbx=-，1fab=-，(1)0fabb=-=-，则函数()lnf xa

47、xbx=-在 1,1f处的切线为：1ybabx+=-，即yab xa=-，令0 x=，则有2ya=-=-，即2a=；（2）由2a=，即()2lnf xxbx=-，若 f x有且仅有两个零点，则方程2ln0 xbx-=有两个根，即方程2ln xbx=有两个根，令 2ln xg xx=，则 22 1 ln xgxx-=，则当0,ex时，0gx，则当e,+x时，0gx，故 g x在0,e上单调递增，在e,+上单调递减，故 2lne2eeeg xg=，又0 x 时，g x-，x +时，0g x，故当20,eb时，方程2ln xbx=有两个根，即 f x有且仅有两个零点.17（2024浙江杭州浙江杭州二

48、模）二模）已知函数 21ln22fxaxxa=+-R(1)讨论函数 f x的单调性；(2)若函数 f x有两个极值点，（）求实数a的取值范围；（）证明：函数 f x有且只有一个零点【答案】(1)答案见解析；(2)（）10a-；（）证明见解析【分析】（1）求出函数的导函数，再分1a -、10a-、0a 三种情况，分别求出函数的单调区间；（2）（）由（1）直接解得；（）结合函数的最值与零点存在性定理证明即可.【详解】（1）函数 21ln22fxaxxa=+-R的定义域为2,-+，且 21122xaafxxxx-+=-+，当1a -时，0fx恒成立，所以 f x在2,-+单调递减；当10a-时，令

49、0fx=，即2110 xa-+=，解得11 1xa=-+-，21 1xa=+-，因为10a-，所以01 1a+，则21 11a-+-，所以当2,1 1xa-+-时 0fx，当1 1,xa+-+时 0fx，当1 1,xa+-+时 0fx，所以 f x在2,11a-+-上单调递增，在11,a+-+上单调递减综上可得：当1a -时 f x在2,-+单调递减；当10a-时 f x在2,11a-+-上单调递减，在11,11aa-+-+-上单调递增，在11,a+-+上单调递减；当0a 时 f x在2,11a-+-上单调递增，在11,a+-+上单调递减（2）（）由（1）可知10a-（）由（1）f x在2,1

50、1a-+-上单调递减，在11,11aa-+-+-上单调递增，在11,a+-+上单调递减，所以 f x在1 1xa=+-处取得极大值，在1 1xa=-+-处取得极小值，又10a-，所以01 1a+，则11 12a+，又 211 1ln1 11 102f xfaaaa=+-=+-+-极大值，又1 11 10fafa-+-+-，所以 f x在1 1,a-+-+上没有零点，又10a-，则44a-，则440eea-，442e2e2a-，则240e24a-，所以 f x在2,11a-+-上存在一个零点，综上可得函数 f x有且只有一个零点18（2024河北沧州河北沧州模拟预测）模拟预测）已知函数()ln1