数学 第2章 平面解析几何初步 2.2.1 圆的标准方程2 苏教版必修2 .ppt

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1、学习内容学习内容一一、圆圆的的定定义义:平平面面内内与与定定点点的的距距离离等等于于定定长长的的点点的的集集合合（或或轨轨迹迹）是是圆圆，定点是圆心，定长就是半径。定点是圆心，定长就是半径。二、圆的方程二、圆的方程1圆圆的的标标准准方方程程：(x-a)2+(y-b)2=r2。圆圆心心（a,b）,半半径径为为r,圆圆的的标标准准方方程程突突出了圆心和半径。出了圆心和半径。2圆的一般方程：圆的一般方程：x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F0)圆心（圆心（半径半径r=圆圆的的一一般般方方程程反反应应了了圆圆方方程程形形式式的的特特点点：缺缺x、y项。项。x2、y2项系数相等且不为项系数相

2、等且不为0）一一般般地地：方方程程Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0表表示圆的充要条件是示圆的充要条件是A=C00 B=0 B=0 D D2+E+E2-4AF0-4AF03圆的参数方程圆的参数方程x=x0+rcosy=yy=y0+rsinrsin（为参数）为参数）三三、点点P(x0,y0)与与圆圆x2+y2+Dx+Ey+F=0(或或(x-a)2+(y-b)2=r2)的关系的关系点点P在在圆圆上上x02+y02+Dx0+Ey0+F=0(或或(x0-a)2+(y0-b)2=r2)点点P在在圆圆内内x02+y02+Dx0+Ey0+F0(或或(x0-a)2+(y0-b)20(或或(x0-a)2

3、+(y0-b)2r2)四、直线和圆的位置关系四、直线和圆的位置关系1直直线线和和圆圆的的位位置置关关系系及及判判定定方方法法（设设d为圆心导直线的距离）为圆心导直线的距离）直线和圆相交直线和圆相交d00）直线和圆相切直线和圆相切d=r（或或=0=0）直线和圆相离直线和圆相离dr（或或0R+r外离外离4.d|R-r|内含内含5.|R-r|dR+r相交相交六、圆系方程六、圆系方程1.过过圆圆C1：x2+y2+D1x+E1y+F1=0与与圆圆C2：x2+y2+D2x+E2y+F2=0的的交交点点的的圆圆的方程：的方程：x2+y2+D1x+E1y+F1+(x2+y2+D2x+E2y+F2)=0(-1)

4、=0(-1)。当当(-1)-1)时时，表表示两圆的公共弦所在的直线方程。示两圆的公共弦所在的直线方程。2.过圆过圆C：x2+y2+Dx+Ey+F=0与直线与直线l:Ax+By+C=0的交点的圆的方程：的交点的圆的方程：x2+y2+Dx+Ey+F+(A(Ax+By+C)=0)=0学习要求学习要求1掌掌握握圆圆的的方方程程及及直直线线和和圆圆的的位位置置关系。关系。2学会求圆的方程的方法及判断直学会求圆的方程的方法及判断直线和圆的位置关系的方法及求圆切线和圆的位置关系的方法及求圆切线的方法线的方法。学习指导学习指导1本本讲讲重重点点：圆圆的的方方程程及及直直线线和和圆圆的位置关系，求圆的切线方程。

5、的位置关系，求圆的切线方程。2本本讲讲难难点点：求求圆圆的的切切线线方方程程，用用待定系数法求圆方程。待定系数法求圆方程。3剖析：加深对概念的理解，才能剖析：加深对概念的理解，才能灵活运用知识解决问题灵活运用知识解决问题。典型例题解析典型例题解析例例1：求下列圆的方程：求下列圆的方程与与y轴轴相相切切，被被直直线线y=x截截得得的的弦弦长长为为，圆圆心心在在x-3y=0上上经经过过P(-2,4),Q(3,-1)两两点点，并并且且在在x轴轴上上截截得得的的弦弦长等于长等于6圆圆心心在在x-y-4=0上上，并并且且经经过过两两圆圆C1:x2+y2-4x-3=0和和C2:x2+y2-4y-3=0的交

6、点的交点过过A(2,2)、B(5,3)、C(3,-1)的圆的圆与与x轴轴相相切切于于点点A(3,0),并并且且在在y轴轴上上截截得得的的弦弦长长为为6过过直直线线3x-4y-7=0和和圆圆(x-2)2+(y+1)2=4的的交交点点且且过点过点(1,2)的圆的方程的圆的方程解解:圆圆心心在在x-3y=0上上,设设所所求求圆圆的圆心的圆心O(3a,a)，圆圆O到到直直线线y=x的的距距离离,设设C为为弦中点弦中点RtOBC中中,a=1圆心圆心O(3,1)(3,1)或或O(-3,-1)(-3,-1)r=3所求圆的方程为所求圆的方程为(x-3)2+(y-1)2=9或或(x+3)2+(y+1)2=9O/

7、OCByx设圆的方程为设圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0,圆心圆心半径半径,由题意由题意:即即D2-4F=36(1)又又P(-2,4),Q(3,-1)在圆上在圆上2D-4E-F=0(2)3D-E+F=-10(3)由由、(2)、(3)联立得联立得D=-2D=-6E=-4或或E=8F=-8F=0所求圆的方程为所求圆的方程为x2+y2-2x-4y-8=0或或x2+y2-6x-8y=0设设 所所 求求 圆圆 的的 方方 程程 为为 x2+y2-4x-3+(x2+y2-4x-3)=0)=0即即(1+)x2+(1+)y2-4x-4y-3(1+)=0(-1)圆心圆心圆心在直线圆心在直线x-y-4=0

8、上上 代入代入式得式得所求圆的方程为所求圆的方程为x2+y2-6x+2y-3=0设所求圆的方程为设所求圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0由已知由已知4+4+2D+2E+F=0D=-625+9+5D+3E+F=0E=29+1+3D-E+F=0F=-3所求圆的方程为所求圆的方程为x2+y2-6x+2y-3=0设设 圆圆 心心(3,b),则则 圆圆 的的 方方 程程 为为(x-3)2+(y-b)2=b2由由b2=32+32=18设设所所求求圆圆的的方方程程为为(x-2)2+(y+1)2-4+(3(3x+4y-7)=0)=0将将(1,2)代入得代入得所求圆的方程所求圆的方程为为例例2:过过圆圆O

9、:x2+y2=13外外一一点点P(-4,7),作作 O的的切切线线PA、PB，A、B是是切切点点。求求(1)PA、PB的的方方程程AB的方程。的方程。解：解：设所求切线的方程为设所求切线的方程为y-7=k(x+4)，则则或或k=-18所求切线的方程为所求切线的方程为2x+3y-13=0或或18x+y+65=0OP的中点的中点M为为以以M为圆心、为圆心、为半径的圆为半径的圆它与它与O的公共弦，即的公共弦，即AB的方程为的方程为4x-7y+13=0例例 3：若若 圆圆 x2+y2+x-6y+c=0与与 直直 线线x+2y-3=0的的两两交交点点为为P、Q,满满足足OPOQ(O为原点为原点)。求。求

10、C值。值。解：设解：设P(x1,y1)、Q(x2,y2)OPOQyy1y y2+x+x1x x2=0=0QPOyx由由x2+y2+x-6y+c=0得得5y2+20y+12+c=0 x x+2y-3=0+2y-3=0yy1+y+y2=4=4代入代入式得：式得：c=3c=3代入代入得得y2-4y+3=0=16-120c=3c=3例例4:若若实实数数对对(x,y)满满足足方方程程(x-3)2+(y-2)2=2求求的最小值的最小值的最小值的最小值2x-y的范围的范围A(-1,0),B(1,0)求求P(x,y)使使|AP|2+|BP|2取最小值取最小值求求P(x,y)到直线到直线x+y+1=0的最大值与

11、的最大值与最小值最小值解解:设设即即y=kx由得由得即即最小值为最小值为设设即即y+2=k(x-1)即即kx-y-k-2=0由由得得k2-8k+701k71k7k kmin=1=1即即(方法一方法一)设设2x-y=t即即2x-y-t=0由由得得(方法二方法二)令令 则则(方法一方法一)令令|AP|AP|2+|BP|+|BP|2的最小值为的最小值为(方法二方法二)|AP|2+|BP|2=2(x2+y2)+2x2+y2=|PO|2|PO|2=x2+y2的最小值为的最小值为|AP|AP|2+|BP|+|BP|2的最小值为的最小值为例例5:求求两两圆圆x2+y2+2x+6y+9=0，x2+y2-6x+

12、2y+1=0的外公切线及内公切线方程的外公切线及内公切线方程.解解:设外公切线的交点为设外公切线的交点为P(x0,y0)P分分c1c2得比为得比为圆圆x2+y2+2x+6y+9=0的圆心的圆心c1(-1,-3)圆圆x2+y2-6x+2y+1=0的圆心的圆心c2(3,-1)半径分别为半径分别为r1=1，r2=3yxPC1C2P(-3,-4)设设外外公公切切线线的的方方程程为为y+4=k(x+3)即即kx-y+3k-4=0外公切线的方程为外公切线的方程为y+4=0或或4x-3y=0设内公切线的交点设内公切线的交点M(x0,y0)则则，设内公切线方程为，设内公切线方程为即即2kx-2y+5=0内公切

13、线方程为内公切线方程为3x+4y+10=0或或x=0例例6：圆圆x2+y2=8内内有有一一点点P0(-1,2)，AB为过点为过点P0的弦的弦当当AB被被点点P0平平分分时时，写写出出直直线线AB方方程。程。过过P0的弦的中点轨迹方程。的弦的中点轨迹方程。斜率为斜率为2的一组平行的一组平行弦的中点轨迹方程弦的中点轨迹方程。解：解：由已知：由已知：OP0ABAB的方程为的方程为即：即：x-2y+5=0yxOPP0AB（方法一）设（方法一）设AB中点为中点为P(x,y)，即即当当x=0时，时，P(0,2)也满足也满足式式当当x=-1时，时，P(-1,0)满足满足式式综上，所求轨迹方程为综上，所求轨迹

14、方程为（方方法法二二）OPABP的的轨轨迹迹是是以以|OP0|为为直直径径的的圆圆，圆圆心心为为OP0的的中中点点半径为半径为所求所求P的轨迹为的轨迹为设平行弦中点设平行弦中点P(x,y)，则，则KOP2=-1即即x+2y=0当当x=0时时，P(0,0)也满足上式。也满足上式。平行弦中点轨迹为平行弦中点轨迹为x+2y=0（在已知在已知圆内部）圆内部）例例7：已已知知直直线线y=-x+m与与曲曲线线有有两两个个不同的交点，求不同的交点，求m的取值范围。的取值范围。解解：表表示示圆圆(x+1)2+y2=1(y0)在在x轴轴上上方部分，方部分，y=-x+m表示斜率为表示斜率为-1的平行线的平行线,如图如图当直线与半圆相切时当直线与半圆相切时,当直线过当直线过A(-1,-1),m=0Oyx