数学 第一章 三角函数 1.3 三角函数的诱导公式（1）3 新人教A版必修4 .ppt

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1、1.3三角函数的诱导公式(一)【知识提炼知识提炼】1.1.诱导公式二诱导公式二终边终边关系关系图图示示角角+与角与角的的终边终边关于关于_对对称称公式公式sin(+sin(+)=_.)=_.cos(+cos(+)=_.)=_.tan(+tan(+)=_)=_原点-sin-costan2.2.诱导公式三诱导公式三终边终边关系关系图图示示角角-与角与角的的终边终边关于关于_对对称称公式公式sin(-)=_sin(-)=_cos(-)=_cos(-)=_tan(-)=-tan(-)=-tantanx轴-sincos3.3.诱导公式四诱导公式四终边终边关系关系图图示示角角-与角与角的的终终边边关于关于

2、_对对称称公式公式sin(-sin(-)=_)=_，cos(-cos(-)=_)=_，tan(-tan(-)=_.)=_.y轴sin-cos-tan4.4.公式一四的概括公式一四的概括+k2(kZ)，-，的三角函数值符号符号函数名称函数名称前面加上一个把前面加上一个把看成看成_时时原函原函数数值值的符号的符号的的_三角函数三角函数值值锐角同名【即时小测即时小测】1.1.思考下列问题思考下列问题(1)(1)公式一四中哪个公式可以把负角的三角函数化为正角的三角函公式一四中哪个公式可以把负角的三角函数化为正角的三角函数？数？提示：提示：公式一和公式三可以把负角的三角函数化为正角的三角函数公式一和公式

3、三可以把负角的三角函数化为正角的三角函数.（2 2）若想把）若想把 和和 内的角的三角函数化为锐角的三角函内的角的三角函数化为锐角的三角函数，可以分别用哪组诱导公式？数，可以分别用哪组诱导公式？提示：提示：用公式四可把用公式四可把 内的角的三角函数化为锐角三角函数；用内的角的三角函数化为锐角三角函数；用公式二可把公式二可把 内的角的三角函数化为锐角三角函数内的角的三角函数化为锐角三角函数.2.2.若若coscos=m=m，则，则cos(-cos(-)等于等于()A.mA.mB.-mB.-mC.|mC.|m|D.mD.m2 2【解析解析】选A.cos(-)=cos=m.3.3.若若sin(+si

4、n(+)=)=，则，则sinsin等于等于()【解析解析】选B.sin(+)=-sin=，所以所以sin=-.4.4.已知已知tan=4tan=4，则，则tantan（-）=_.=_.【解析解析】tan（-）=-tan=-4.答案：答案：-4【知识探究知识探究】知识点知识点 诱导公式一四诱导公式一四观察图形，回答下列问题：观察图形，回答下列问题：问题问题1 1：诱导公式一四中的角：诱导公式一四中的角可以是任意角吗？可以是任意角吗？问题问题2 2：诱导公式一四的记忆口诀是什么？：诱导公式一四的记忆口诀是什么？【总结提升总结提升】对公式一四的理解对公式一四的理解(1)(1)在角度制和弧度制下，公式

5、都成立在角度制和弧度制下，公式都成立.(2)(2)公式中的角公式中的角可以是任意角，其形式也不固定，可以为单角也可可以是任意角，其形式也不固定，可以为单角也可以是复角以是复角.如如sinsin-(A+B)=-(A+B)=sin(A+Bsin(A+B)，应用时要注意整体把握，应用时要注意整体把握.(3)(3)公式中的角公式中的角可以是任意角，但对于正切函数而言，公式成立是可以是任意角，但对于正切函数而言，公式成立是以正切函数有意义为前提条件的以正切函数有意义为前提条件的.(4)(4)公式一四的记忆口诀和说明：公式一四的记忆口诀和说明：口诀：函数名不变，符号看象限口诀：函数名不变，符号看象限.说明

6、：说明：【题型探究题型探究】类型一类型一 给角求值问题给角求值问题【典例典例】1.(20151.(2015瑞安高一检测瑞安高一检测)计算计算sin 240sin 240=(=()2.(20152.(2015六安高一检测六安高一检测)计算：计算：【解题探究解题探究】1.1.典例典例1 1的计算中用哪组诱导公式？的计算中用哪组诱导公式？提示：提示：用用sin(sin(+)=-)=-sinsin.2.2.典例典例2 2中，首先用哪组诱导公式将已知角的绝对值化小？中，首先用哪组诱导公式将已知角的绝对值化小？提示：提示：用诱导公式一用诱导公式一.【解析解析】1.选A.sin240=sin(180+60)

7、=-sin60=2.原式原式=【方法技巧方法技巧】利用诱导公式求任意角三角函数值的步骤利用诱导公式求任意角三角函数值的步骤(1)(1)“负化正负化正”：用公式一或三来转化：用公式一或三来转化.(2)(2)“大化小大化小”：用公式一将角化为：用公式一将角化为0 0到到360360间的角间的角.(3)(3)“小化锐小化锐”：用公式二或四将大于：用公式二或四将大于9090的角转化为锐角的角转化为锐角.(4)(4)“锐求值锐求值”：得到锐角的三角函数后求值：得到锐角的三角函数后求值.【变式训练变式训练】用诱导公式求下列三角函数值用诱导公式求下列三角函数值.(1)sin(-150(1)sin(-150)

8、.).(2)sin(-2025(2)sin(-2025).).(3)(3)【解析解析】(1)sin(-150)=-sin(180-30)=-sin30=-.(2)sin(-2025)=sin(-6360+135)=sin(180-45)=sin45=.(3)类型二类型二 化简求值问题化简求值问题【典例典例】1.sin1.sin2 2(+)-cos(+)cos(-)+1(+)-cos(+)cos(-)+1的值为的值为()A.1A.1B.2sinB.2sin2 2C.0C.0D.2D.22.2.化简化简【解题探究解题探究】1.1.典例典例1 1中，中，sin(+sin(+)，cos(+cos(+)

9、，cos(-cos(-)分别分别等于什么？等于什么？提示：提示：sin(+)=-sin，cos(+)=-cos，cos(-)=cos.2.2.典例典例2 2中，首先用哪组公式化简？中，首先用哪组公式化简？提示：提示：首先用公式一和公式三化首先用公式一和公式三化简.【解析解析】1.选D.原式原式=(-sin)2-(-cos)cos+1=sin2+cos2+1=2.2.原式原式=【延伸探究延伸探究】将典例将典例2 2中中“sinsin”与与“coscos”互换，则此时结果又如何？互换，则此时结果又如何？【解析解析】原式原式【方法技巧方法技巧】三角函数式化简的常用方法三角函数式化简的常用方法(1)(

10、1)合理转化：合理转化：将角化成将角化成2k2k，kZkZ的形式的形式.依据所给式子合理选用诱导公式将所给角的三角函数转化为角依据所给式子合理选用诱导公式将所给角的三角函数转化为角的的三角函数三角函数.(2)(2)切化弦：一般需将表达式中的切函数转化为弦函数切化弦：一般需将表达式中的切函数转化为弦函数.(3)(3)注意注意“1 1”的应用：的应用：1=sin1=sin2 2+cos+cos2 2=tan .=tan .【变式训练变式训练】化简化简【解析解析】原式原式【误区警示误区警示】在化简在化简cos(-180cos(-180-)-)和和sin(-180sin(-180)时易出现符号时易出现

11、符号错误错误.【补偿训练补偿训练】(1)(2014(1)(2014北京高一检测北京高一检测)化简：化简：=_.=_.【解析解析】原式原式=答案：答案：1(2)(2)设设f(f()=)=求求f()f()的值的值.【解题指南解题指南】利用诱导公式化简利用诱导公式化简f(f()后，再代入求值后，再代入求值.【解析解析】f()=所以所以类型三类型三 给值给值(或式或式)求值问题求值问题【典例典例】已知已知 求求 的值的值.【解题探究解题探究】本例中，本例中，-与与 +有什么关系？可以联系到哪组有什么关系？可以联系到哪组诱导公式？诱导公式？提示：提示：=，可，可联系到系到sin(-)=sin，cos(-

12、)=-cos.【解析解析】因因为所以所以【延伸探究延伸探究】1.(1.(变换条件、改变问法变换条件、改变问法)将典例中的将典例中的“-”改为改为“+”，“+”改为改为“-”，其他不变，应如何解答？，其他不变，应如何解答？【解析解析】所以原式所以原式=2.(2.(改变问法改变问法)本例条件不变，所求式中本例条件不变，所求式中“”改为改为“-”，“-”改为改为“-”，应如何解答？，应如何解答？【解析解析】所以所以【方法技巧方法技巧】解决条件求值问题的方法解决条件求值问题的方法(1)(1)解决条件求值问题，首先要仔细观察条件与所求式之间的角、函解决条件求值问题，首先要仔细观察条件与所求式之间的角、函

13、数名及有关运算之间的差异及联系数名及有关运算之间的差异及联系.(2)(2)可以将已知式进行变形向所求式转化，或将所求式进行变形向已可以将已知式进行变形向所求式转化，或将所求式进行变形向已知式转化知式转化.【补偿训练补偿训练】已知已知sin(+sin(+)=-)=-，为第二象限角，计算：为第二象限角，计算：(1)cos(2-).(2)tan(-7).(1)cos(2-).(2)tan(-7).【解析解析】因因为sin(+)=-，所以，所以sin=，又因，又因为为第二象限第二象限角，角，所以所以(1)cos(2-)=cos=(2)tan(-7)=-tan(7-)=-tan(-)=tan=【延伸探究

14、延伸探究】1.(1.(改变问法改变问法)本题条件下，计算：本题条件下，计算：sin(-2013).sin(-2013).【解析解析】sin(-2013)=sin(-)=-sin(-)=-sin=-.2.(2.(变换条件变换条件)本例条件中本例条件中“sin(+sin(+)”改为改为“tan(+tan(+)”，且，且为第二象限角，结果又如何？为第二象限角，结果又如何？【解析解析】tan(+)=tan=-，所以所以解得解得或或(舍舍).(1)cos(2-)=cos=(2)tan(-7)=tan=易错案例易错案例 利用诱导公式一四化简求值利用诱导公式一四化简求值【典例典例】(2015(2015黔西南

15、高一检测黔西南高一检测)若若coscos 165 165=a=a，则，则tan 195tan 195=()()【失误案例失误案例】【错解分析错解分析】分析解题过程，你知道错在哪里吗？分析解题过程，你知道错在哪里吗？提示：提示：错误的根本原因是的根本原因是诱导公式公式cos(-)=-cos应用出用出错.实际上上cos 165=cos(180-15)=-cos 15.【自我自我矫正正】选B.因因为cos 165=cos(180-15)=-cos 15=a，所以所以cos 15=-a，所以所以sin 15=所以所以tan 15=所以所以tan 195=tan(180+15)=tan 15=【防范措施防范措施】应用诱导公式化简求值的两个关注点应用诱导公式化简求值的两个关注点(1)(1)依据口诀：依据口诀：“函数名不变，符号看象限函数名不变，符号看象限”记忆诱导公式一四并记忆诱导公式一四并特别关注把特别关注把看作锐角时，看作锐角时，+，-，-等角终边位置的确定，等角终边位置的确定，确定函数符号确定函数符号.(2)(2)关注诱导公式的应用步骤，即第一步凑出公式形式，第二步应用关注诱导公式的应用步骤，即第一步凑出公式形式，第二步应用公式化简公式化简.