数学 第一章 三角函数 1.4.2 正弦函数、余弦函数的性质（1）2 新人教A版必修4 .ppt

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1、1.4.2正弦函数、余弦函数的性质(一)【知识提炼知识提炼】1.1.函数的周期函数函数的周期函数(1)(1)周期函数周期函数条件条件对对于函数于函数f(xf(x)，存在一个，存在一个_常数常数T T当当x x取定取定义义域内的每一个域内的每一个值时值时，都有，都有_结论结论函数函数f(xf(x)叫做叫做_，_T_T叫做叫做这这个函数的个函数的_._.非零f(x+T)=f(x)周期函数非零常数周期(2)(2)最小正周期最小正周期条件条件周期函数周期函数f(xf(x)的所有周期中存在一个最小正的的所有周期中存在一个最小正的_._.结论结论这这个最小个最小_叫做叫做f(xf(x)的最小正周期的最小正

2、周期正数正数2.2.正弦函数、余弦函数的周期性和奇偶性正弦函数、余弦函数的周期性和奇偶性 函数函数y=y=sinxsinxy=y=cosxcosx周期周期2k(kZ2k(kZ且且k0)k0)2k(kZ2k(kZ且且k0)k0)最小正周期最小正周期_奇偶性奇偶性_22奇函数偶函数【即时小测即时小测】1.1.判断判断(1)(1)当当x=2k+(x=2k+(kZkZ)时，时，sin(xsin(x+)=sin x+)=sin x，所以，所以 是函数是函数y=y=sin xsin x的周期的周期.().()(2)(2)因为因为sin()=sin sin()=sin ，所以函数，所以函数y=sin y=s

3、in 的周期为的周期为2.()2.()(3)(3)函数函数y=3sin 2xy=3sin 2x是奇函数是奇函数.().()(4)(4)函数函数y=-y=-coscos x x是偶函数是偶函数.().()提示：提示：(1)错误.对任意任意x R都有都有sin(x+)=sin x，才能，才能说 是函数是函数y=sin x的周期，的周期，实际上上x=时，sin(x+)sin x.(2)错误.因因为sin(+2)=sin (x+10)，所以所以设f(x)=sin ，则有有f(x+10)=f(x)，所以，所以y=sin 的周期的周期为10.(3)正确正确.f(x)=3sin 2x的定的定义域域为R，且，

4、且f(-x)=3sin 2(-x)=-3sin 2x=-f(x)，所以，所以f(x)=3sin 2x是奇函数是奇函数.(4)正确正确.g(x)=-cos x的定的定义域域为R且且g(-x)=-cos (-x)=-cos x=g(x)，所以，所以g(x)=-cos x是偶函数是偶函数.答案：答案：(1)(2)(3)(4)2.2.下列是定义在下列是定义在R R上的四个函数图象的一部分，其中不是周期函数的上的四个函数图象的一部分，其中不是周期函数的是是()【解析解析】选D.D.结合周期函数的定义可知结合周期函数的定义可知A A，B B，C C均为周期函数，均为周期函数，D D不是不是周期函数周期函数

5、.3.3.函数函数y=3sinx+5y=3sinx+5的最小正周期是的最小正周期是_._.【解析解析】设f(x)=3sinx+5，对任意任意x R.f(x+2)=3sin(x+2)+5=3sinx+5=f(x)，所以所以y=3sinx+5的最小正周期是的最小正周期是2.答案：答案：24.4.若函数若函数f(xf(x)是周期为是周期为3 3的周期函数，且的周期函数，且f(-1)=2015f(-1)=2015，则，则f(2)=_.f(2)=_.【解析解析】因因为函数函数f(x)是周期是周期为3的周期函数，的周期函数，所以所以f(2)=f(2-3)=f(-1)=2015.答案：答案：20155.5.

6、函数函数f(xf(x)=)=sinxcosxsinxcosx是是_(_(填填“奇奇”或或“偶偶”)函数函数.【解析解析】f(x)=sinxcosx的定的定义域域为R且且f(-x)=sin(-x)cos(-x)=(-sinx)cosx=-sinxcosx=-f(x)，所以所以f(x)=sinxcosx是奇函数是奇函数.答案：答案：奇奇【知识探究知识探究】知识点知识点1 1 函数的周期性函数的周期性观察如图所示内容，回答下列问题：观察如图所示内容，回答下列问题：问题问题1 1：所有的函数都具有周期性吗？：所有的函数都具有周期性吗？问题问题2 2：周期函数的周期是唯一的吗？：周期函数的周期是唯一的吗

7、？【总结提升总结提升】1.1.对函数周期的三点说明对函数周期的三点说明(1)(1)存在一个不等于零的常数存在一个不等于零的常数T.T.(2)(2)对于定义域内的每一个值对于定义域内的每一个值x x，都有，都有x+Tx+T属于这个定义域属于这个定义域.(3)(3)满足满足f(x+Tf(x+T)=)=f(xf(x).).2.2.对周期函数的三点说明对周期函数的三点说明(1)(1)并不是每一个函数都是周期函数，若函数具有周期性，则其周期并不是每一个函数都是周期函数，若函数具有周期性，则其周期也不一定唯一也不一定唯一.(2)(2)如果如果T T是函数是函数f(xf(x)的一个周期，则的一个周期，则nT

8、(nZnT(nZ且且n0)n0)也是也是f(xf(x)的周期的周期.(3)(3)在周期函数在周期函数y=y=f(xf(x)中，若中，若xDxD，则，则x+nTD(nZx+nTD(nZ).).从而要求周期从而要求周期函数的定义域一定为无限集，且无上下界函数的定义域一定为无限集，且无上下界.3.3.对函数最小正周期的两点说明对函数最小正周期的两点说明(1)(1)最小正周期是指能使函数值重复出现的自变量最小正周期是指能使函数值重复出现的自变量x x要加上的那个最小要加上的那个最小正数，这个正数是对正数，这个正数是对x x而言的，如而言的，如y=sin2xy=sin2x的最小正周期是的最小正周期是，因

9、为，因为y=sin(2x+2)=sin2(x+)y=sin(2x+2)=sin2(x+)，即，即是使函数值重复出现的自变量是使函数值重复出现的自变量x x加上的最小正数，加上的最小正数，是对是对x x而言的，而非而言的，而非2x.2x.(2)(2)并不是所有的周期函数都有最小正周期，譬如，常数函数并不是所有的周期函数都有最小正周期，譬如，常数函数f(xf(x)=c)=c，任意一个正实数都是它的周期，因而不存在最小正周期，任意一个正实数都是它的周期，因而不存在最小正周期.知识点知识点2 2 正弦函数、余弦函数的周期性和奇偶性正弦函数、余弦函数的周期性和奇偶性观察图形，回答下列问题：观察图形，回答

10、下列问题：问题问题1 1：正弦函数、余弦函数的周期是多少？最小正周期是多少？：正弦函数、余弦函数的周期是多少？最小正周期是多少？问题问题2 2：正弦函数、余弦函数分别是奇函数还是偶函数？其图象具有：正弦函数、余弦函数分别是奇函数还是偶函数？其图象具有什么对称性？什么对称性？【总结提升总结提升】1.1.对正弦函数、余弦函数周期性的两点说明对正弦函数、余弦函数周期性的两点说明(1)(1)由正弦函数的图象和周期函数的定义可得：正弦函数是周期函数，由正弦函数的图象和周期函数的定义可得：正弦函数是周期函数，2k(kZ2k(kZ且且k0)k0)都是它的周期，最小正周期为都是它的周期，最小正周期为2.2.(

11、2)(2)余弦函数也是周期函数，余弦函数也是周期函数，2k(kZ2k(kZ且且k0)k0)都是它的周期，最小都是它的周期，最小正周期为正周期为2.2.2.2.正弦函数、余弦函数的奇偶性正弦函数、余弦函数的奇偶性(1)(1)正弦函数是奇函数，余弦函数是偶函数，反映在图象上，正弦曲正弦函数是奇函数，余弦函数是偶函数，反映在图象上，正弦曲线关于原点线关于原点O O对称，余弦曲线关于对称，余弦曲线关于y y轴对称轴对称.(2)(2)正弦曲线、余弦曲线既是中心对称图形又是轴对称图形正弦曲线、余弦曲线既是中心对称图形又是轴对称图形.【题型探究题型探究】类型一类型一 三角函数的周期问题三角函数的周期问题【典

12、例典例】1.(20151.(2015重庆高一检测重庆高一检测)函数函数y=1-2cos()y=1-2cos()的周期为的周期为()A.2 B.1 A.2 B.1 C.4 C.4 D.2 D.22.2.求下列函数的周期：求下列函数的周期：(1)y=sin(2x+(1)y=sin(2x+)(xR).(2)y=|sin2x|(xR).)(xR).(2)y=|sin2x|(xR).【解题探究解题探究】1.1.典例典例1 1中，计算函数的周期可依据什么公式？中，计算函数的周期可依据什么公式？提示：提示：y=y=Acos(x+Acos(x+)+b)+b的周期的周期2.2.典例典例2(2)2(2)除了用周期

13、函数的定义公式求周期外，还可以用什么方法除了用周期函数的定义公式求周期外，还可以用什么方法求周期？求周期？提示：提示：还可以采用画函数图象的方法还可以采用画函数图象的方法.【解析解析】1.选C.函数函数的周期的周期2.(1)方法一：令方法一：令z=2x+，因，因为x R，所以，所以Z R，函数函数f(x)=sin z的最小正周期是的最小正周期是2，就是，就是说变量量z只要且至少要增加到只要且至少要增加到z+2，函数函数f(x)=sin z(Z R)的的值才能重复取得，才能重复取得，而而z+2=2x+2=2(x+)+，所以自，所以自变量量x只要且至少要增加到只要且至少要增加到x+，函数，函数值才

14、能重复取得，从而函数才能重复取得，从而函数f(x)=sin(2x+)(x R)的周期是的周期是.方法二：方法二：f(x)=sin(2x+)的周期的周期为(2)作出作出y=|sin 2x|的的图象象.由由图象可知，象可知，y=|sin 2x|的周期的周期为【延伸探究延伸探究】将典例将典例2(2)2(2)中的中的y=|sin 2x|y=|sin 2x|改为改为y=|sin 2x-|y=|sin 2x-|，试求，试求此函数的周期此函数的周期.【解析解析】作出作出y=|sin 2x-|的的图象象.由由图象可知，象可知，y=|sin 2x-|的周期的周期为.【方法技巧方法技巧】求三角函数周期的方法求三角

15、函数周期的方法(1)(1)定义法，即利用周期函数的定义求解定义法，即利用周期函数的定义求解.(2)(2)公式法，对形如公式法，对形如y=y=Asin(x+Asin(x+)或或y=y=Acos(x+Acos(x+)(A)(A，是是常数，常数，A0A0，0)0)的函数，的函数，(3)(3)观察法，即通过观察函数图象求其周期观察法，即通过观察函数图象求其周期.三种方法各有所长，要根据函数式的结构特征，选择适当的方法求解三种方法各有所长，要根据函数式的结构特征，选择适当的方法求解.【变式训练变式训练】1.(20151.(2015南京高一检测南京高一检测)函数函数y=y=sin(xsin(x-)(w0)

16、-)(w0)的最的最小正周期为小正周期为，则，则的值为的值为_._.【解析解析】周期周期T=，又，又0，所以，所以=2.答案：答案：22.(20152.(2015天水高一检测天水高一检测)已知已知f(nf(n)=sin )=sin ，nZnZ，则，则f(1)+f(2)+f(3)+f(1)+f(2)+f(3)+f(2 015)=_.+f(2 015)=_.【解析解析】因因为f(x)=sin x的周期的周期2 015=8251+7，所以原式所以原式=251f(1)+f(2)+f(3)+f(8)+f(1)+f(2)+f(3)+f(4)+f(5)+f(6)+f(7)，结合合图象知象知f(1)+f(2)

17、+f(3)+f(8)=0，f(1)+f(2)+f(3)+f(4)+f(5)+f(6)+f(7)所以原式所以原式=2510+0=0.答案：答案：0【补偿训练补偿训练】1.1.下列函数是以下列函数是以为周期的函数的是为周期的函数的是()A.y=sin x B.y=cos2xA.y=sin x B.y=cos2xC.y=1+sin3x D.y=cos3xC.y=1+sin3x D.y=cos3x【解析解析】选B.对A.对B.T=；对C，T=；对D.T=.2.2.函数函数f(xf(x)满足满足求证：求证：f(xf(x)是周期函数，并求出它的一个周期是周期函数，并求出它的一个周期【解析解析】因因为f(x

18、+4)=f(x+2)+2)所以所以f(x)是周期函数，且是周期函数，且4是它的一个周期是它的一个周期类型二类型二 三角函数的奇偶性三角函数的奇偶性【典例典例】1.1.关于关于x x的函数的函数f(xf(x)=)=sin(x+sin(x+)有以下说法：有以下说法：对任意的对任意的，f(xf(x)都是非奇非偶函数；都是非奇非偶函数；存在存在，使，使f(xf(x)是奇函数；是奇函数；对任意的对任意的，f(xf(x)都不是偶函数；都不是偶函数；不存在不存在，使，使f(xf(x)既是奇函数，又是偶函数既是奇函数，又是偶函数.其中正确说法的序号是其中正确说法的序号是_._.2.2.判断下列函数的奇偶性：判

19、断下列函数的奇偶性：(1)f(x)=sin x+tan x.(2)f(x)=(1)f(x)=sin x+tan x.(2)f(x)=(3)f(x)=(3)f(x)=【解题探究解题探究】1.1.典例典例1 1中，中，为何值时为何值时，sin(x+sin(x+)可化为可化为sin x(sin x(或或-sin x)-sin x)的形式？的形式？为何值时，为何值时，sin(x+sin(x+)可化为可化为cos x(cos x(或或-cos x)-cos x)的的形式？形式？提示：提示：当当=k，k Z时，sin(x+)可化可化为sin x(或或-sin x)；当当=k+，k Z时，sin(x+)可化

20、可化为cos x(或或-cos x).2.2.典例典例2 2中，判断函数奇偶性的基本步骤是什么？中，判断函数奇偶性的基本步骤是什么？提示：提示：先求定先求定义域，判断是否关于原点域，判断是否关于原点对称，若称，若对称再判断称再判断f(-x)与与f(x)的关系的关系.【解析解析】1.当当=时，f(x)=sin(x+)=-sin x，是奇函数，是奇函数.当当=时，f(x)=sin(x+)=cos x，是偶函数，是偶函数.所以所以错误，正确正确.无无论为何何值，f(x)不可能恒不可能恒为0，故不存在，故不存在，使，使f(x)既是奇函数，既是奇函数，又是偶函数，故又是偶函数，故正确正确.答案：答案：2

21、.(1)定定义域域为x|xk+，k Z，关于原点，关于原点对称称.因因为f(-x)=sin(-x)+tan(-x)=-sin x-tan x=-f(x)，所以函数，所以函数y=sin x+tan x是奇函数是奇函数.(2)f(x)=sin()=-cos ，x R.又又f(-x)=-cos(-)=-cos =f(x)，所以函数所以函数f(x)=是偶函数是偶函数.(3)由由1+sin x0解得解得x2k+，k Z，所以函数所以函数f(x)=的定的定义域域为x R|x2k+，k Z，显然定然定义域不关于原点域不关于原点对称称.故函数故函数f(x)=是非奇非偶函数是非奇非偶函数.【方法技巧方法技巧】判

22、断函数奇偶性的思路判断函数奇偶性的思路【变式训练变式训练】1.1.函数函数y=-y=-xsinxxsinx的部分图象是的部分图象是()【解解析析】选C.函函数数y=-xsinx是是偶偶函函数数，其其图象象关关于于y轴对称称，可可排排除除B，D，当，当x=时，y=-，故，故选C.2.2.判断下列函数的奇偶性判断下列函数的奇偶性.(1)f(x)=(1)f(x)=(2)f(x)=(2)f(x)=【解析解析】(1)f(x)的定的定义域域为R，所以所以f(-x)=-7cos (-x)=-7cos x=f(x)，所以所以f(x)为偶函数偶函数.(2)由由得得cos x=1，故，故f(x)=0，x=2k，k

23、 Z，所以函数所以函数f(x)=既是奇函数也是偶函数既是奇函数也是偶函数.【误误区区警警示示】解解答答本本题题2(2)2(2)易易在在求求函函数数的的定定义义域域时时出出错错，忽忽视视了了由由coscos x1 x1且且coscos x1 x1可推出可推出coscos x=1.x=1.【补偿训练补偿训练】判断下列函数的奇偶性判断下列函数的奇偶性.(1)f(x)=sin(1)f(x)=sin4 4x-cosx-cos4 4x+cosx+cos2 2x-sinx-sin2 2x.x.(2)f(x)=(2)f(x)=【解析解析】(1)因因为sin4x-cos4x+cos2x-sin2x=(sin2x

24、+cos2x)(sin2x-cos2x)+cos2x-sin2x=0.所以所以该函数既是奇函数，又是偶函数函数既是奇函数，又是偶函数.(2)因因为函数函数y=x2，y=cos x的的图象都关于象都关于y轴对称，称，则x2cos x的解集关于原点的解集关于原点对称，所以函数定称，所以函数定义域是一个关于原点域是一个关于原点对称的区称的区间，又又f(-x)=f(x)，所以，所以该函数是偶函数函数是偶函数.类型三类型三 三角函数的奇偶性与周期的综合应用三角函数的奇偶性与周期的综合应用【典例典例】(2015(2015绵阳高一检测绵阳高一检测)已知定义在已知定义在R R上的奇函数上的奇函数f(xf(x)

25、是以是以为最小正周期的周期函数，且当为最小正周期的周期函数，且当x0 x0，时，时，f(xf(x)=sin x)=sin x，则，则f()f()的值为的值为()()【解题探究解题探究】本例中，本例中，f(xf(x)满足哪些关系式？满足哪些关系式？提示：提示：f(-x)=-f(x)，f(x+)=f(x).【解析解析】选C.因因为f(x)是以是以为最小正周期的周期函数，最小正周期的周期函数，所以所以又因又因为f(x)为定定义在在R上的奇函数，且上的奇函数，且x 0，时，f(x)=sin x，所以所以【延伸探究延伸探究】1.(1.(变换条件、改变问法变换条件、改变问法)将本例中周期将本例中周期改为改

26、为4 4，且在，且在0 0，2 2上的上的解析式为解析式为f(xf(x)=)=其他条件不变，试求其他条件不变，试求【解析解析】因因为f(x)是以是以4为周期的奇函数，周期的奇函数，所以所以所以所以2.(2.(变换条件、改变问法变换条件、改变问法)将本例中将本例中“以以为最小正周期的周期函数为最小正周期的周期函数”改为改为“满足满足 ”，其他条件不变，求，其他条件不变，求【解析解析】因因为所以所以即即f(x+)=f(-x)，又因，又因为f(x)是奇函数，是奇函数，所以所以f(x+)=f(-x)=-f(x)，所以所以f(x+)=-f(x+)=-f(x)=f(x)，所以所以f(x)是以是以为周期的周

27、期函数，周期的周期函数，所以所以【方法技巧方法技巧】三角函数周期性与奇偶性的解题策略三角函数周期性与奇偶性的解题策略(1)(1)探求三角函数的周期，常用方法是公式法，即将函数化为探求三角函数的周期，常用方法是公式法，即将函数化为y=y=Asin(x+Asin(x+)或或y=y=Acos(x+Acos(x+)的形式，再利用公式求解的形式，再利用公式求解.(2)(2)判断函数判断函数y=y=Asin(x+Asin(x+)或或y=y=Acos(x+Acos(x+)是否具备奇偶性，关是否具备奇偶性，关键是看它能否通过诱导公式转化为键是看它能否通过诱导公式转化为y=Asinx(A0)y=Asinx(A0

28、)或或y=Acosx(A0)y=Acosx(A0)其中的一个其中的一个.【补偿训练补偿训练】(2015(2015大同高一检测大同高一检测)若若f(xf(x)为奇函数，当为奇函数，当x0 x0时，时，f(xf(x)=x)=x2 2-sinx-sinx，求当，求当x0 x0时，时，f(xf(x)的解析式的解析式.【解析解析】当当x0，f(-x)=(-x)2-sin(-x)=x2+sinx，因，因为f(x)为奇奇函数，函数，所以所以f(x)=-f(-x)=-x2-sinx，即当即当x0时，f(x)=-x2-sinx.【延伸探究延伸探究】1.(1.(变变换换条条件件)将将本本题题中中“奇奇”改改为为“

29、偶偶”，其其他他条条件件不不变变，结结果果又又如如何？何？【解析解析】当当x0，f(-x)=(-x)2-sin(-x)=x2+sinx，因因为f(x)为偶函数，偶函数，所以所以f(x)=f(-x)=x2+sinx，即当即当x0 x0”改为改为“x-1x-1，11”，求，求x3x3，55时，时，f(xf(x)的解析式的解析式.【解析解析】当当x 3，5时，x-4-1，1，所以所以f(x-4)=(x-4)2-sin(x-4)，因因为函数函数f(x)是周期是周期为2的周期函数，的周期函数，所以所以f(x)=f(x-4)=(x-4)2-sin(x-4)，即即x 3，5时，f(x)=(x-4)2-sin

30、(x-4).巧思妙解巧思妙解 构造法在函数奇偶性中的应用构造法在函数奇偶性中的应用【典例典例】(2015(2015淮安高一检测淮安高一检测)已知已知f(xf(x)=ax)=ax3 3+bsinx+3+bsinx+3且且f(1)=2014f(1)=2014，f(-1)f(-1)的值为的值为_._.【常常规解法解法】因因为f(1)=a13+bsin1+3=a+bsin1+3=2014，所以，所以a+bsin1=2011，所以所以f(-1)=a(-1)3+bsin(-1)+3=-(a+bsin1)+3=-2011+3=-2008.答案：答案：-2008【巧妙解法巧妙解法】设g(x)=f(x)-3=a

31、x3+bsinx因因为g(-x)=a(-x)3+bsin(-x)=-ax3-bsinx=-g(x)，所以所以g(x)是奇函数，所以是奇函数，所以g(-1)+g(1)=0，即即f(-1)-3+f(1)-3=0，又因又因为f(1)=2014，所以，所以f(-1)=-2008.【方法指导方法指导】构造法在函数奇偶性中的应用构造法在函数奇偶性中的应用(1)(1)构造法：指的是运用已知数学关系式和理论为工具，构造出满足构造法：指的是运用已知数学关系式和理论为工具，构造出满足条件或结论的数学对象，并借助该数学对象方便快捷地解决数学问题条件或结论的数学对象，并借助该数学对象方便快捷地解决数学问题的方法的方法.(2)(2)函数奇偶性中的构造法：若函数解析式中出现函数奇偶性中的构造法：若函数解析式中出现x x2n+12n+1(nZ)(nZ)，sinxsinx，lglg(-x)(-x)，a ax x-a-a-x-x等形式时可考虑构造奇函数解题，若函数解析等形式时可考虑构造奇函数解题，若函数解析式中出现式中出现x x2n2n(nZ)(nZ)，cosxcosx，a ax x+a+a-x-x等形式时可考虑构造偶函数解题等形式时可考虑构造偶函数解题.