数学 第一章 三角函数 1.4.3 正切函数的性质与图象1 新人教A版必修4 .ppt

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1、1.4.3 正切函数的性质与图象1.1.正、余弦函数的图象是通过什么方法作出的？正、余弦函数的图象是通过什么方法作出的？2.2.正正、余余弦弦函函数数的的基基本本性性质质包包括括哪哪些些内内容容？这这些些性质是怎样得到的？性质是怎样得到的？然后再利用其周期性，把然后再利用其周期性，把该段段图象向左、右象向左、右进行行扩展，即得到整个定展，即得到整个定义域内的域内的图象象.通通过平移正弦平移正弦线得到正弦函数在得到正弦函数在的的图象象,再再通通过诱导公式和平移正弦函数的公式和平移正弦函数的图象得到余弦函数的象得到余弦函数的图象象.定定义域、域、值域、周期性、奇偶性、域、周期性、奇偶性、单调性性.

2、这些些性性质是通是通过研究其研究其图象得到的象得到的.三角函数包括正、余弦函数和正切函三角函数包括正、余弦函数和正切函数，我们已经研究了正、余弦函数的数，我们已经研究了正、余弦函数的图象和性质，图象和性质，因此因此,进一步研究正切进一步研究正切函数的性质与图象就成为学习的必然函数的性质与图象就成为学习的必然.1.1.了解利用正切线画出正切函数图象的方法了解利用正切线画出正切函数图象的方法.(难点）难点）2.2.理解正切函数的图象和性质，并能进行应用理解正切函数的图象和性质，并能进行应用.（重点）（重点）思思考考1 1：正正切切函函数数的的定定义义域域是是什什么么？用用区区间间如如何何表表示示？

3、思考思考2 2：根据相关诱导公式，你能判断正切函数是周根据相关诱导公式，你能判断正切函数是周期函数吗？其最小正周期为多少？期函数吗？其最小正周期为多少？因因为所以所以y=tanx是周期函数是周期函数,最小正周期是最小正周期是.探究一探究一:正切函数的性质正切函数的性质提示提示:提示提示:思思考考3 3：根根据据相相关关诱诱导导公公式式，你你能能判判断断正正切切函函数数具具有奇偶性吗？有奇偶性吗？由由诱导公式公式知知 正切函数是奇函数，正切函数是奇函数，图象关于原点象关于原点对称称.提示提示:思考思考4 4：观察图中的正切线，当观察图中的正切线，当角在角在 内增加时，正切内增加时，正切函数值发生

4、什么变化？由此反函数值发生什么变化？由此反映出一个什么性质？映出一个什么性质？T T1 1xyA AT T2 2O函数函数值先由先由-0再由再由0+；正切函数在；正切函数在内是增函数内是增函数.提示提示:思考思考5 5：结合正切函数的周期性，思考正切函数的结合正切函数的周期性，思考正切函数的单调性如何？单调性如何？正切函数在开区正切函数在开区间内都是增函数内都是增函数 思考思考6 6：正切函数在整个定义域内是增函数吗？正切函数在整个定义域内是增函数吗？正切函数会不会在某一区间内是减函数？正切函数会不会在某一区间内是减函数？不是不是不会不会提示提示:提示提示:思考思考7 7：当当x x大于大于

5、且无限接近且无限接近 时，正切值如何变化？时，正切值如何变化？当当x x小于小于 且无限接近且无限接近 时时,正切值又如何变化？由此分正切值又如何变化？由此分析，正切函数的值域是什么析，正切函数的值域是什么?T T1 1OxyA AT T2 2O 当当大于大于且无限接近且无限接近时,正切正切线AT向向y轴的的负方向无限延伸；方向无限延伸；当当小于小于且无限接近且无限接近时正切正切线AT向向y轴的正方向无限延伸的正方向无限延伸.在在(，)内可以取任意内可以取任意实数，数，但没有最大但没有最大值、最小、最小值.正切函数的值域是正切函数的值域是R提示提示:正切函数的性质正切函数的性质1.1.定义域：

6、定义域：2.2.值域：值域：3.3.周期性：周期性：正切函数是周期函数，周期正切函数是周期函数，周期为5.5.单调性：单调性：正切函数在开区正切函数在开区间内都是增函数内都是增函数.4.4.奇偶性：奇偶性：正切函数是奇函数，正切函数是奇函数，图象关于原点象关于原点对称称.求函数求函数 的定义域、值域，并指出的定义域、值域，并指出它的单调性、奇偶性和周期性它的单调性、奇偶性和周期性.答案答案:定定义域：域：值域：域：单调性：性：奇偶性：奇偶性：非奇非偶函数非奇非偶函数.周期性：周期性：上是增函数上是增函数.【即时训练即时训练】探究二：正切函数的图象探究二：正切函数的图象 类比正弦函数图象的作法，

7、可以利用正切线类比正弦函数图象的作法，可以利用正切线作正切函数作正切函数 的图象，具体应的图象，具体应如何操作？如何操作？xy作法作法:(1)(1)等分等分(2)(2)作正切线，作正切线，平移平移(3)(3)连线连线作正作正切切函数的图象：正切曲线函数的图象：正切曲线O正切曲线是由被互相平行的直线正切曲线是由被互相平行的直线 所隔开的无穷多支曲线组成的所隔开的无穷多支曲线组成的.【即时训练即时训练】例例1.1.求函数求函数 的定义域、周期和单调区间的定义域、周期和单调区间.解：解：函数的自函数的自变量量x应满足足即即所以，函数的定所以，函数的定义域是域是由于由于因此函数的周期因此函数的周期为2

8、.由由解得解得因此，函数的因此，函数的单调递增区增区间是是掌握正切函掌握正切函数的性质是数的性质是解决此类问解决此类问题的关键题的关键【变式练习变式练习】例例2.2.比较下列每组数的大小比较下列每组数的大小.解解:与与与与(1)因因为说明：说明：比较两个正切值大小比较两个正切值大小,关键是把相应的角转化到关键是把相应的角转化到y=y=tan xtan x的同一单调区间内的同一单调区间内,再利用再利用y=tan xy=tan x的单调性解决的单调性解决.(2)(2)因为，比较大小比较大小（1 1）_(2)_(2)_【变式练习变式练习】解：解：方法一：利用正切方法一：利用正切线例例3.3.解不等式解不等式yxTAO由由图形可知：形可知：原不等式的解集原不等式的解集为方法二：利用正切曲方法二：利用正切曲线由由图形可知：形可知：原不等式的解集原不等式的解集为Oyx记住正切函数在一个周期记住正切函数在一个周期 内的图象内的图象答案答案:（1）解不等式（解不等式（1 1）（2 2）（2）【变式练习变式练习】CB正切函数正切函数图像性质图像性质不患位之不尊，而患德之不崇；不耻禄之不伙，而耻智之不博.张衡