数学 第一章 三角函数 1.4.2 正弦函数、余弦函数的性质（2）2 新人教A版必修4 .ppt

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1、1.4.2 正弦函数、余弦函数的性质(二)正弦函数，余弦函数的图象和性质正弦函数正弦函数余弦函数余弦函数图图象象值值域域_-1，1-1，1正弦函数正弦函数余弦函数余弦函数单调单调性性在在_(kZkZ)上上递递增，在增，在_(kZkZ)上上递递减减.在在_(kZkZ)上上递递增，在增，在_(kZkZ)上上递递减减.最最值值x=_(x=_(kZkZ)时时，y ym maxax=1=1；x=_x=_ _(_(kZkZ)时时，y ym minin=-1.=-1.x=_(x=_(kZkZ)时时，y ym maxax=1=1；x=_(x=_(kZkZ)时时，y ym minin=-1.=-1.2k-，2k

2、2k，2k+2k2k+1.判一判(正确的打“”，错误的打“”)(1)函数y=cos 2x在 上是减函数.()(2)满足2sin x=3的x不存在.()(3)在区间0,2上,函数y=cos x仅在x=0时取得最大值1.()【解析】(1)错误.函数y=cos 2x在上是增函数.(2)正确.sin x1,故sin x=无解.(3)错误.在区间0,2上,函数y=cos x在x=0与x=2时取得最大值1.答案：(1)(2)(3)2.做一做(请把正确的答案写在横线上)(1)函数 的单调减区间是_.(2)若cos x=2m-1有意义，则m的取值范围是_.(3)函数y=cos x，x 的值域为_.【解析】2.

3、(1)由2kx2k+(kZ)可得：2k+x2k+(kZ)，即2k+x2k+(kZ).答案：(2)由于1cos x1，即12m11，解得：0m1.答案：0,1(3)y=cos x在上是增函数，在上是减函，且因此当时，当x=0时，ymax=1，故函数y=cos x,x 的值域为答案：【要点探究】知识点 1 正弦、余弦函数的单调性对正弦、余弦函数单调性的三点说明(1)正弦、余弦函数在定义域R上均不是单调函数，但存在单调区间.(2)求解(或判断)正弦函数、余弦函数的单调区间(或单调性)是求值域(或最值)的关键一步.(3)确定含有正弦函数或余弦函数的较复杂的函数单调性时，要注意使用复合函数的判断方法来判

4、断.【微思考】(1)正弦函数在定义域上是增函数,而余弦函数在定义域上是减函数,这种说法对吗?提示：不正确.正弦函数在每个闭区间上是增函数,并不是在整个定义域上是增函数.余弦函数在闭区间2k,2k+(kZ)上是减函数,并不是在整个定义域上是减函数.(2)当0,0)的函数的最值通常利用“整体代换”，即令x+=Z，将函数转化为y=Asin Z的形式求最值.【知识拓展】正弦曲线与余弦曲线的对称性探究(1)正弦曲线、余弦曲线的对称轴分别过曲线的最高点或最低点，正弦曲线的对称轴是直线x=k+(kZ),余弦曲线的对称轴是直线x=k(kZ).(2)正弦曲线、余弦曲线的对称中心分别是正弦曲线、余弦曲线与x轴的交

5、点，正弦曲线的对称中心是(k,0)(kZ)，余弦曲线的对称中心是【微思考】(1)正弦函数、余弦函数的图象有怎样的对称性？提示：正弦函数、余弦函数的图象既是轴对称图形，也是中心对称图形，并且在定义域内对称轴和对称中心不唯一.(2)求三角函数的值域或最值时首先需要确定什么？提示：需要确定函数的定义域.【即时练】下列关于函数y=-3cos x-1的说法错误的是()A.最小值为-4B.是偶函数C.当x=k，kZ时，函数取最大值D.是周期函数，最小正周期是2【解析】选C.当x=k,kZ时，y=cos x可取到最大值，也可取最小值，故函数y=-3cos x-1,不仅能取到最大值，也能取到最小值.【题型示范

6、】类型一 正弦、余弦函数的单调性以及应用【典例1】(1)(2014怀柔高一检测)已知,为锐角三角形的两个内角，则以下结论正确的是()A.sin sin B.cos sin C.cos cos(2)(2014汉沽高一检测)比较下列各组数的大小：【解题探究】1.题(1)中锐角三角形的各个角有怎样的关系？2.题(2)中利用三角函数的单调性在比较大小时应注意什么？【探究提示】1.锐角三角形的每一个角都小于90，即任意两个内角的和都大于90.2.在利用三角函数的单调性在比较大小时应注意把角放在同一单调区间内.【自主解答】(1)选B.，为锐角三角形的两个内角，所以(2)因为而y=cos x在0,)上单调递

7、减，所以即因为而且y=sin x在上单调递增，所以即cos 1”连接).【解析】由于0123cos 2cos 3.答案：cos 1cos 2cos 32.已知函数f(x)=2sin x，其中常数0.若y=f(x)在 上单调递增，求的取值范围.【解析】因为函数y=f(x)在上单调递增,且0,所以且所以【补偿训练】已知,且cos sin，则+与 的大小为_.【解析】因为,所以又cos sin，所以而y=sin x,x 为增函数，所以答案：类型二 正弦、余弦函数的最值问题【典例2】(1)(2014运城高一检测)已知函数y=sin x，x的值域为_.(2)设f(x)=acos x+b的最大值是1，最小

8、值是3，试确定 的最大值.【解题探究】1.题(1)中欲求函数的值域时首先注意什么？2.题(2)中当cos x取1和-1时函数能取到最值，需要对a进行分类讨论吗？【探究提示】1.求此函数的值域时应首先看清该函数的定义域为应在此定义域内求值域.2.需要对a进行分类讨论，当a0时，此时函数最大值为a+b，最小值为a+b；当a0时，所以此时其最大值为1.当a0时，所以此时g(x)=其最大值为1.综上知，g(x)的最大值为1.【延伸探究】若将题(1)中的函数改为“y=sin2x3sin x+1”，定义域仍为 此时该函数的值域又如何求？【解析】由本例(1)知，x 时，sin x 设t=sin x，则y=t

9、23t+1，t 而y=t23t+1在上单调递减，所以值域为【方法技巧】求正弦、余弦函数值域的关注点(1)形如y=asin x(或y=acos x)的函数的最值要注意对a的讨论.(2)将函数式转化为y=Asin(x+)或y=Acos(x+)的形式.(3)换元后配方利用二次函数求最值.【变式训练】(2014邢台高一检测)求在 上的最大值和最小值.【解题指南】利用数形结合的思想方法直观简单地求出函数在规定区间上的最值.【解析】当x 时，由函数图象知，f(x)=所以，f(x)在上的最大值和最小值分别为【补偿训练】函数 的最大值与最小值之和为()A.B.0 C.-1 D.【解题指南】本题考查三角函数的性

10、质，可利用整体代入法求出最大值和最小值.【解析】选A.因为0 x9,所以所以所以所以所以函数的最大值与最小值之和为【规范解答】求三角函数的单调区间时忽视x的系数的正负致误【典例】(12分)(2014晋城高一检测)求函数的单调递增区间.【审题】抓信息，找思路【解题】明步骤，得高分【点题】警误区，促提升失分点1：在解答过程中，若没有把化为处的形式，则后面求该函数的单调增区间会出现相反的结论.这在考试中几乎不得分.失分点2：在解答过程中，若对y=cos 的单调递增区间即处的不等式表达成2k2k+(kZ)的错误结果，则后面会出现求得原函数的单调减区间的错误结论.这在考试中最多得6分.失分点3：在解答过程中，若无处则解答不完整，不规范，考试时最多得10分，这是考试中最不应该失分的地方.【悟题】提措施，导方向1.注重整体代换的意识求y=Asin(x+)(A0，0)单调区间的方法可采用“换元”法整体代换，若0，则必须首先利用诱导公式将x的系数转化为正数.如本例中将“变形为视为整体.2.牢记正、余弦函数的单调区间记准y=sin x，y=cos x的单调区间.如本例中应用到y=cos x的单调增区间.【类题试解】求函数 的单调增区间.【解析】增区间为+2k3x2+2k,kZ，即所以原函数的单调增区间为答案：