数学 第一章 三角函数 1.8 函数y=Asin（wx＋φ）的图像与性质（1）1 北师大版必修4 .ppt

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1、1.81.8函数函数y=y=Asin(x+Asin(x+)的图像与性质的图像与性质(一一)【知知识识提提炼炼】A,A,对函数对函数y=y=Asin(x+Asin(x+)图像的影响图像的影响(1)(1)对对y=y=sin(x+sin(x+)，xRxR的图像的影响的图像的影响左左右右(2)(0)(2)(0)对对y=y=sin(x+sin(x+)的图像的影响的图像的影响(3)A(A0)(3)A(A0)对对y=y=Asin(x+Asin(x+)的图像的影响的图像的影响缩短缩短伸长伸长伸长伸长缩短缩短2.2.函数函数y=y=Asin(x+Asin(x+)+b)+b的相关概念的相关概念【即即时时小小测测】

2、1.1.思考下列思考下列问题问题(1)(1)图图像像进进行左右平移行左右平移变换时变换时,平移平移单单位一定是位一定是|吗吗?提示提示:不是不是.平移单位应该是平移单位应该是|.|.(2)(2)频频率率f f与周期与周期T T的的联联系与区系与区别别是什么是什么?提示提示:f=,f=,前者指的是次数前者指的是次数,后者指的是时间后者指的是时间.2.2.函数函数y=2sin y=2sin 的最大的最大值值及振幅分及振幅分别为别为()A.2,2 B.-2,C.2,-2 D.2,A.2,2 B.-2,C.2,-2 D.2,【解析解析】选选A.A.函数函数y=2sin y=2sin 的最大值为的最大值

3、为2,2,振幅为振幅为2.2.3.3.函数函数f(xf(x)=,)=,xRxR的最小正周期的最小正周期为为()A.A.B.B.C.2 D.4 C.2 D.4【解析解析】选选D.D.最小正周期最小正周期T=T=4.4.将函数将函数y=sin 4xy=sin 4x图图像上点的横坐像上点的横坐标标_到原来的到原来的_倍可得到倍可得到函数函数y=y=sinxsinx的的图图像像.【解析解析】将函数将函数y=sin4xy=sin4x图像上点的横坐标伸长到原来的图像上点的横坐标伸长到原来的4 4倍可得到函倍可得到函数数y=y=sinxsinx的图像的图像.答案答案:伸长伸长4 45.5.将函数将函数y=s

4、in2xy=sin2x的的图图像向右平移像向右平移 个个单单位所得函数的解析式位所得函数的解析式为为_._.【解析解析】将函数将函数y=sin2xy=sin2x的图像向右平移的图像向右平移 个单位所得函数的解析式个单位所得函数的解析式:答案答案:y=y=【知识探究知识探究】知知识识点点 参数参数对对函数函数y=y=Asin(x+Asin(x+)+b)+b图图像的影响像的影响观观察察图图形形,回答下列回答下列问题问题:问问题题:参参数数A,A,b,b是是如如何何影影响响函函数数y=y=Asin(x+Asin(x+)+b)+b的的图图像像形形状状的的?【总结总结提升提升】1.1.各参数的意各参数的

5、意义义(1)A:(1)A:振幅振幅,表示振表示振动时动时物体离开平衡位置的最大距离物体离开平衡位置的最大距离,决定函数的最决定函数的最大大值值、最小、最小值值.(2):T=(2):T=称称为为周期周期,它表示振它表示振动动一次所需的一次所需的时间时间,即函数即函数y y的最小的最小正周期正周期.f=.f=称称为为振振动动的的频频率率,它表示它表示单单位位时间时间内往复振内往复振动动的次的次数数.(3)(3):x+:x+叫作相位叫作相位,当当t=0t=0时时的相位的相位,即即,称称为为初相初相.2.2.平移、伸平移、伸缩变换缩变换的的实质实质(1)(1)左右的平移、伸左右的平移、伸缩变换针对缩变

6、换针对的是的是x,x,左右平移的左右平移的规规律是律是“加左减加左减右右”,如由如由y=y=图图像到像到y=y=sinxsinx图图像需要向左平移像需要向左平移 个个单单位位,x,x的的变换为变换为(x+)-=x,(x+)-=x,因此向左平移因此向左平移 ;将将y=sin y=sin 的的图图像像缩缩短短至原来的至原来的 则变为则变为y=sin ,y=sin ,变换变换倍数倍数为为 .(2)(2)上下平移、伸上下平移、伸缩变换针对缩变换针对的是的是y,y,上下平移的上下平移的规规律是律是“加上减下加上减下”,如如由由y=y=sinxsinx向上平移向上平移1 1个个单单位位,变换为变换为y=s

7、inx+1;y=sinx+1;上下伸上下伸缩缩的倍数的倍数为为A.A.【题型探究题型探究】类类型一型一 “五点法五点法”作作y=y=Asin(x+Asin(x+)+b)+b的的图图像像【典例典例】1.1.如如图图,函数函数y=y=Asin(x+Asin(x+)的的图图像只可能是像只可能是()2.2.已知函数已知函数f(xf(x)=2sin ,)=2sin ,画出函数画出函数f(xf(x)在区在区间间 上的上的简图简图.【解解题题探究探究】1.1.题题1 1中中图图像与像与y y轴轴交点在交点在y y轴轴什么位置什么位置?提示提示:由已知由已知x=0 x=0时时y=y=AsinAsin0,0,交

8、点在交点在y y轴正半轴上轴正半轴上.2.2.作作图时图时,将将2x+2x+作作为为整体整体应应取哪些角取哪些角?提示提示:可令可令2x+2x+取取 【解析解析】1.1.选选B.B.当当x=0 x=0时时,y=,y=AsinAsin0,0,排除排除C,D;C,D;另外另外,由由得到其中一个单调增区间为得到其中一个单调增区间为 ,结合图像结合图像,排除排除A.A.2.2.列表列表:作图作图:【方法技巧方法技巧】“五点法五点法”作作图图列表的方法列表的方法作函数作函数y=y=Asin(x+Asin(x+)+b)+b在一个周期在一个周期 上的上的图图像像.(1)(1)计计算相位算相位,将将x=x=a

9、,xa,x=a+=a+代入代入x+x+,计计算出相位的区算出相位的区间间M,N,M,N,再从区再从区间间M,NM,N内确定内确定“五点五点”的横坐的横坐标标 ,令令x+x+等于上述的横坐等于上述的横坐标标求出求出x;x;(2)(2)确定函数确定函数值值:利用利用x+x+的取的取值值求出相求出相应应的函数的函数值值y;y;列出表格后描点列出表格后描点(x,yx,y),),连线连线得到函数的得到函数的图图像像.【变变式式训练训练】(2015(2015池州高一池州高一检测检测)已知函数已知函数f(xf(x)=sin .)=sin .请请用用“五点法五点法”画出函数画出函数f(xf(x)在在长长度度为

10、为一个周期的一个周期的闭闭区区间间上的上的简图简图.【解析解析】令令X=2x-,X=2x-,则则 填表填表:描点描点,用光滑的曲线连接即得函数的图像用光滑的曲线连接即得函数的图像,如图所示如图所示:类类型二型二 函数函数y=y=Asin(x+Asin(x+)+b)+b的的变换变换【典例典例】1.1.要得到函数要得到函数y=2sin(2x-)y=2sin(2x-)的的图图像像,只需将函数只需将函数y=2sin2xy=2sin2x的的图图像像()A.A.向左平移向左平移 个个单单位位B.B.向右平移向右平移 个个单单位位C.C.向左平移向左平移 个个单单位位D.D.向右平移向右平移 个个单单位位2

11、.2.将函数将函数y=y=sinxsinx的的图图像上各点的像上各点的纵纵坐坐标标保持不保持不变变,横坐横坐标变为标变为原来的原来的 ,得到函数得到函数y=y=f(xf(x)的的图图像像,再将函数再将函数y=y=f(xf(x)的的图图像沿着像沿着x x轴轴的正方的正方向平移向平移 个个单单位位长长度度,得到函数得到函数y=y=g(xg(x)的的图图像像,则则g(xg(x)的解析式是的解析式是_._.【解解题题探究探究】1.1.怎怎样样确定平移确定平移单单位和方向位和方向?提示提示:将函数将函数y=2sin y=2sin 变形为变形为y=2sin2 ,y=2sin2 ,通过观察通过观察x x的变

12、的变换确定平移方向、单位换确定平移方向、单位.2.2.横坐横坐标变为标变为原来的原来的 ,解析式如何解析式如何变变化化?提示提示:x x的系数变为的系数变为2.2.【解析解析】1.1.选选D.D.因为因为 故由函数故由函数y=2sin2xy=2sin2x的图像向右平移的图像向右平移 个单位即可个单位即可.2.2.将函数将函数y=y=sinxsinx的图像上各点的纵坐标保持不变的图像上各点的纵坐标保持不变,横坐标变为原来横坐标变为原来的的 ,得到函数得到函数y=y=f(xf(x)=sin2x)=sin2x的图像的图像,再将函数再将函数y=y=f(xf(x)的图像沿着的图像沿着x x轴轴的正方向平

13、移的正方向平移 个单位长度个单位长度,得到函数得到函数y=y=g(xg(x)=)=的图像的图像.所以所以g(xg(x)的解析式为的解析式为g(xg(x)=)=答案答案:g(xg(x)=)=【延伸探究延伸探究】1.(1.(改改变问变问法法)典例典例1 1改改为为要得到函数要得到函数y=2sin2xy=2sin2x的的图图像像,应应将函数将函数 的的图图像做怎像做怎样样的平移的平移?【解析解析】因为因为 要得到函数要得到函数y=2sin2xy=2sin2x的图的图像像,则则x+,x+,应向左平移应向左平移 个单位个单位.2.(2.(改改变问变问法法)典例典例1 1改改为为要得到函数要得到函数y=y

14、=sinxsinx的的图图像像,需要将函数需要将函数 的的图图像做怎像做怎样样的平移的平移?【解析解析】方法一方法一:纵坐标不变纵坐标不变,将横坐标伸长到原来的两倍得到函数将横坐标伸长到原来的两倍得到函数 再向左平移再向左平移 个单位得到个单位得到y=2sinx,y=2sinx,横坐标不变横坐标不变,纵坐纵坐标缩短到原来的标缩短到原来的 得到得到y=y=sinxsinx.方法二方法二:纵坐标不变纵坐标不变,横坐标向左平移横坐标向左平移 得到函数得到函数y=2sin2x,y=2sin2x,横坐标伸横坐标伸长到原来的长到原来的2 2倍得到函数倍得到函数y=2sinx,y=2sinx,横坐标不变纵坐

15、标缩短到原来的横坐标不变纵坐标缩短到原来的得到得到y=y=sinxsinx.【方法技巧方法技巧】利用利用图图像像变换变换作作图图的技巧的技巧(1)(1)已已知知变变换换前前后后的的解解析析式式求求变变换换方方式式时时,较较简简洁洁的的作作法法是是:若若=1,=1,则则可可以以先先进进行行左左右右平平移移变变换换,再再进进行行其其他他的的变变换换;若若1,1,则则先先进进行行左左右右伸伸缩变换缩变换,再再进进行其他的行其他的变换变换.(2)(2)对对于于函函数数y=y=Acos(x+Acos(x+)的的图图像像平平移移规规律律与与函函数数y=y=Asin(x+Asin(x+)的图像平移规律相同的

16、图像平移规律相同.(3)(3)确定平移方向、确定平移方向、单单位位时时要先提取要先提取,即即x+x+=(x(x+)+)后后观观察察x x的的变变化化,确定平移方向及确定平移方向及单单位位.(4)(4)注意由哪一个函数向哪一个函数平移注意由哪一个函数向哪一个函数平移,平移的函数平移的函数顺顺序不能出序不能出错错.【补偿训练补偿训练】要得到要得到y=cos2xy=cos2x的的图图像像,只要将只要将y=sin(2x+)y=sin(2x+)的的图图像向像向右平移最少右平移最少_个个单单位位长长度度.【解析解析】因为因为y=cos2x=y=cos2x=函数函数 故将故将y=sin y=sin 的图像向

17、右平移最少的图像向右平移最少 个单位个单位,可得函数可得函数 =coscos 2x 2x的图像的图像.答案答案:类类型三型三 已知已知y=y=Asin(x+Asin(x+)+b)+b的的图图像求解析式像求解析式【典例典例】1.1.已知函数已知函数f(xf(x)=)=sin(x+sin(x+)的的图图像如像如图图所示所示,则则=_,=_,=_.=_.2.2.函数函数f(xf(x)=)=Asin(x+Asin(x+)的部分的部分图图像如像如图图所示所示,则则将将y=y=f(xf(x)的的图图像向右平移像向右平移单单位后位后,得到的得到的图图像解析式像解析式为为_._.【解解题题探究探究】由函数的由

18、函数的图图像像,从哪些方面从哪些方面观观察函数的性察函数的性质质?提示提示:由函数的图像观察函数的最值、周期、与由函数的图像观察函数的最值、周期、与x x轴的交点坐标等轴的交点坐标等.【解析解析】1.1.根据函数的图像根据函数的图像T=T=,所以所以=2,=2,当当x=x=时函数值为时函数值为0,0,由于由于00 ,所以所以=.=.答案答案:2 22.2.由图知由图知,A=1,A=1,所以所以T=,T=,所以所以=2k+(kZ),=2k+(kZ),又又|,|0,0,00,0,02)2)在在R R上上的的部分部分图图像如像如图图所示所示,则则f(2014)=_.f(2014)=_.【解题指南解题

19、指南】首先确定最大值、周期首先确定最大值、周期,再利用点的坐标求再利用点的坐标求.【解析解析】由函数的图像可得由函数的图像可得A=5,A=5,周期周期T=11-(-1)=12,T=11-(-1)=12,所以所以=.=.再由再由“五点法五点法”作图可得作图可得 (-1)+(-1)+=0,=0,所以所以=,=,故函数故函数f(xf(x)=)=故故f(2014)=f(2014)=答案答案:-【补补偿偿训训练练】已已知知函函数数f(xf(x)=)=sinxsinx的的图图像像的的一一部部分分如如左左图图,则则右右图图的的函数函数图图像所像所对应对应的函数解析式的函数解析式为为()【解析解析】选选B.B

20、.由已知图像可知由已知图像可知,右图的周期是左图函数周期的右图的周期是左图函数周期的 ,从而从而可排除选项可排除选项C,D.C,D.对于选项对于选项A:A:，当当x=0 x=0时时函数值为函数值为-1,-1,从而排除选项从而排除选项A.A.易易错错案例案例 三角函数三角函数图图像的像的变换变换【典例典例】为为得到函数得到函数y=y=coscos 的的图图像像,只需将函数只需将函数y=sin2xy=sin2x的的图图像像()()A.A.向左平移向左平移 个个长长度度单单位位B.B.向右平移向右平移 个个长长度度单单位位C.C.向左平移向左平移 个个长长度度单单位位D.D.向右平移向右平移 个个长

21、长度度单单位位【失失误误案例案例】【错错解分析解分析】分析上面的解析分析上面的解析过过程程,你知道你知道错错在哪里在哪里吗吗?提提示示:出出错错的的根根本本原原因因是是由由于于函函数数的的名名称称不不一一样样,按按照照同同名名函函数数间间的的图图像平移规律导致错误像平移规律导致错误.【自我矫正自我矫正】选选A.A.因为因为y=y=只需将函数只需将函数y=sin2xy=sin2x的图像向左平移的图像向左平移 个单位得到函数个单位得到函数y=y=coscos的图像的图像.【防范措施防范措施】不同名函数的不同名函数的图图像平移像平移问题问题当函数的名称不相同当函数的名称不相同时时,要根据要根据诱导诱导公式公式变为变为同名函数后再根据平移同名函数后再根据平移规规律确定平移方式律确定平移方式,其中常用的其中常用的诱导诱导公式有公式有 如本如本题题既可以把正弦既可以把正弦变变余弦余弦,也可以把余弦也可以把余弦变变正弦正弦,统统一函数名一函数名称后确定平移方式称后确定平移方式.