数学 第一章 三角函数 1.7.1 正切函数的定义 1.7.2 正切函数的图像与性质1 北师大版必修4 .ppt

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1、1.7 1.7 正切函数正切函数1.7.1 1.7.1 正切函数的定义正切函数的定义1.7.2 1.7.2 正切函数的图像与性质正切函数的图像与性质三角函数三角函数P P（u u，v v）O Ox xy y-1-111M正弦函数正弦函数三角函数三角函数P P（u u，v v）O Ox xy y-1-111M余弦函数余弦函数三角函数三角函数P P（u u，v v）O Ox xy y-1-111M什么函数呢什么函数呢？三角函数三角函数P P（u u，v v）O Ox xy y-1-111M 通常通常,我们把以角作为自变量我们把以角作为自变量,以点以点P的纵坐标的纵坐标与横坐标的比值为函数值的函数称

2、作正切函数。与横坐标的比值为函数值的函数称作正切函数。今天我们学习今天我们学习正切函数的图像及性质正切函数的图像及性质.1.1.了解任意角的正切函数的概念了解任意角的正切函数的概念.(重点重点)2.2.能用单位圆中的正切线画出正切函数的图像能用单位圆中的正切线画出正切函数的图像.(重点重点)3.3.根据正切函数的图像熟练推导出正切函数的性质根据正切函数的图像熟练推导出正切函数的性质.(难点难点)4.4.能熟练掌握正切函数的图像与性质能熟练掌握正切函数的图像与性质.(重点重点)在直角坐标系中，在直角坐标系中，如果角如果角满足：满足：R，k(kZ)，那么，角，那么，角的终边与单位圆交于点的终边与单

3、位圆交于点P（a，b），唯一确定比值），唯一确定比值 .探究点探究点1 正切函数的定义正切函数的定义 1 1OP(aP(a ，b)b)yMxA根据函数的定义，比值根据函数的定义，比值 是角是角的函数，我们把它的函数，我们把它叫作角叫作角的的正切函数，正切函数，记作记作ytan，正切函数的定义正切函数的定义其中其中RR，+kk，kZkZ.思考思考1 1：正切函数与正弦和余弦函数有什么关系？正切函数与正弦和余弦函数有什么关系？思考思考2 2：当角当角的终边在的终边在x x轴、轴、y y轴时，正切函数值的轴时，正切函数值的情况如何？情况如何？提示：提示：当角当角的终边在的终边在x x轴上时，轴上时，

4、tantan=0=0；当角当角的终边在的终边在y y轴上时，轴上时，a=0a=0，比值，比值 没意义，故没意义，故角角的正切值不存在的正切值不存在.提示：提示：比较正、余弦和正切的定义，不难看出：比较正、余弦和正切的定义，不难看出：tantan (RR，kk+，kZkZ).).由此可知，正弦、余弦、正切都是以角为自变量，由此可知，正弦、余弦、正切都是以角为自变量，以单位圆上点的坐标或坐标的比值为函数值的函数，以单位圆上点的坐标或坐标的比值为函数值的函数，我们统称它们为我们统称它们为三角函数三角函数.根据正切函数的定义，我们知道：当角在第一和根据正切函数的定义，我们知道：当角在第一和第三象限时，

5、其正切函数值为正；当角在第二和第四第三象限时，其正切函数值为正；当角在第二和第四象限时，其正切函数值为负象限时，其正切函数值为负.这里的角是指的角的弧度数这里的角是指的角的弧度数.C【即时训练】【即时训练】正切线正切线如图，单位圆与如图，单位圆与x x轴正半轴轴正半轴的交点为的交点为A(1,0)A(1,0)，任意角，任意角的终边与单位圆交于点的终边与单位圆交于点P P，过点，过点A(1,0)A(1,0)作作x x轴的垂轴的垂线，与角的终边或终边的线，与角的终边或终边的延长线相交于延长线相交于T T点点.从图中可以看出：从图中可以看出：当角当角位于第一和第三象限时，位于第一和第三象限时，T T点

6、位于点位于x x轴的上方；轴的上方；当角当角位于第二和第四象限时，位于第二和第四象限时，T T点位于点位于x x轴的下方轴的下方.探究点探究点2 2 正切线和正切函数的周期正切线和正切函数的周期 不论角不论角的终边在第几象限，都有的终边在第几象限，都有AOTAOT与与MOPMOP的正切值相等，且角的正切值相等，且角的正切值与有向线段的正切值与有向线段ATAT的值的值相等相等.因此，我们称有向线段因此，我们称有向线段ATAT为角为角的正切线的正切线.正切函数的周期正切函数的周期 所以所以 是正切函数的周期是正切函数的周期.是它的最小正周期是它的最小正周期.p由于由于【即时训练】【即时训练】C(2

7、)(2)找横坐标找横坐标（把（把x x轴上轴上到到 这一段分这一段分成成8 8等份）等份）.探究点探究点3 正切函数的图像正切函数的图像作法如下：作法如下：(1)(1)作直角坐标系作直角坐标系,并在直角并在直角坐标系坐标系y y轴左侧作单位圆轴左侧作单位圆.xyO(3)(3)在单位圆右半圆中在单位圆右半圆中作出正切线作出正切线.(4)(4)平移平移.(5).(5)连线连线.正切函数图像的简单画法：正切函数图像的简单画法：三点两线法三点两线法.“三点三点”:“两线两线”:x xy yO O1-1思考思考：为什么不用五点法为什么不用五点法?提示：提示：因为有渐近线，只需在对称中心两侧各取一点即可因

8、为有渐近线，只需在对称中心两侧各取一点即可.正切曲线正切曲线是由通过点是由通过点 且与且与 y 轴轴相互平行的直线隔开的无穷多支曲线组成相互平行的直线隔开的无穷多支曲线组成.O渐渐近近线线渐渐近近线线【即时训练】【即时训练】探究点探究点4 4 正切函数的性质正切函数的性质O 函数函数性质性质 y=tan xy=tan x 定义域定义域 值域值域R R奇偶性奇偶性奇函数奇函数周期性周期性 周期周期k k(k(kZ,kZ,k0),0),最小正周期是最小正周期是单调性单调性 在每一个区间在每一个区间 上是增加的上是增加的 求函数求函数 的定义域的定义域 解：解：令令 ，那么函数，那么函数 的定义域是

9、的定义域是:由由 ，可得，可得 所以函数所以函数 的定义域是的定义域是【变式练习】【变式练习】例例3.3.比较下列每组数的大小比较下列每组数的大小.（2 2）与与解解:(1)(1)(2)(2)方法：方法：转化到同一单调区间内，利用单调性解决转化到同一单调区间内，利用单调性解决.不求值比较下面两个正切值的大小不求值比较下面两个正切值的大小又又 内单调递增内单调递增xy0【变式练习】【变式练习】解解:(1)正切函数是正切函数是整个定义域整个定义域整个定义域整个定义域上的增函数吗？为什么？上的增函数吗？为什么？(2)正切函数会不会在某一区间内是减函数？为什么？正切函数会不会在某一区间内是减函数？为什

10、么？AB 在每一个开区间 内都是增加的。探究探究不是，如图不是，如图3.每个单调区间都包括两个象限：四、一或二、三每个单调区间都包括两个象限：四、一或二、三 2.正切函数在每个单调区间内都是增函数正切函数在每个单调区间内都是增函数1.不能说正切函数在整个定义域内是增函数不能说正切函数在整个定义域内是增函数【总结提升总结提升】D DC3.3.求函数求函数 的定义域的定义域.解：解：要使函数有意义，需要使函数有意义，需tan x+10tan x+10，即即tan x-1.tan x-1.结合正切函数的图像可知结合正切函数的图像可知所以函数的定义域为所以函数的定义域为4.观察正切曲线，写出满足下列条件的观察正切曲线，写出满足下列条件的x的值的范围。的值的范围。（1）tanx 0 （2）tanx 1 k zxy 0/2/2/2xy 01/2/2/4 回顾本节课的收获回顾本节课的收获白发无凭吾老矣！青春不再汝知乎？年将弱冠非童子，学不成名岂丈夫？俞良弼