数学 第一章 三角函数 1.4.2 正弦函数、余弦函数的性质（2）3 新人教A版必修4 .ppt

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1、1.4.2正弦函数、余弦函数的性质(二)【知识提炼知识提炼】正弦函数、余弦函数的图象和性质正弦函数、余弦函数的图象和性质正弦函数正弦函数余弦函数余弦函数图图象象值值域域_-1，1-1，1正弦函数正弦函数余弦函数余弦函数单调单调性性在在_(kZkZ)上上递递增，在增，在_(kZkZ)上上递递减减.在在_(kZkZ)上上递递增，在增，在_(kZkZ)上上递递减减.最最值值x=_(x=_(kZkZ)时时，y ym maxax=1=1；x=_x=_ _(_(kZkZ)时时，y ym minin=-1.=-1.x=_(x=_(kZkZ)时时，y ym maxax=1=1；x=_(x=_(kZkZ)时时，

2、y ym minin=-1.=-1.2k-，2k2k，2k+2k2k+【即时小测即时小测】1.1.判断判断(1)(1)存在角存在角，使得，使得coscos=1.1.(=1.1.()(2)(2)正弦函数、余弦函数在定义域内都是单调函数正弦函数、余弦函数在定义域内都是单调函数.(.()(3)(3)在区间在区间00，22上，函数上，函数y=y=cosxcosx仅当仅当x=0 x=0时取得最大值时取得最大值1.(1.()【解析解析】(1)错误.因因为-1cos1，所以不存在角，所以不存在角使使cos=1.1.(2)错误.正弦函数、余弦函数在定正弦函数、余弦函数在定义域内都不具有域内都不具有单调性性.(

3、3)错误.在区在区间0，2上，函数上，函数y=cosx当当x=0与与x=2时取得最大取得最大值1.答案：答案：(1)(2)(3)2.2.在下列区间中，使函数在下列区间中，使函数y=y=sinxsinx为增函数的是为增函数的是()A.0A.0，B.B.C.C.D.D.，22【解析解析】选C.C.由正弦曲由正弦曲线知知y=y=sinxsinx在在 上是增函数上是增函数.3.3.函数函数y=3-2cosxy=3-2cosx的最大值为的最大值为_，此时，此时x=_.x=_.【解析解析】因因为-1cosx1，所以当所以当cosx=-1时ymax=3-2(-1)=5.此此时x=2k+，k Z.答案：答案：

4、52k+，k Z4.4.函数函数 的值域为的值域为_._.【解析解析】画出函数画出函数 的的图象，如象，如图：由由图象可知，当象可知，当x=时ymax=1，当，当x=时，ymin=所以函数所以函数 的的值域域为答案：答案：5.5.函数函数y=y=cosxcosx在区间在区间-，aa上为增函数，则上为增函数，则a a的范围是的范围是_._.【解析解析】y=cosx在区在区间-，0上上为增函数，故由增函数，故由题意知意知-，a-，0，所以，所以-00，0)0)的函数的最值通常利用的函数的最值通常利用“整体代整体代换换”，即令，即令x+x+=Z=Z，将函数转化为，将函数转化为y=y=AsinZAsi

5、nZ的形式求最值的形式求最值.【题型探究题型探究】类型一类型一 正弦函数、余弦函数的单调性正弦函数、余弦函数的单调性【典例典例】(2015(2015淮安高一检测淮安高一检测)已知函数已知函数f(xf(x)=sin(+2x)+1)=sin(+2x)+1，求，求函数函数f(xf(x)的单调递增区间的单调递增区间.【解题探究解题探究】本例中函数与以下三个函数有什么关系？本例中函数与以下三个函数有什么关系？u=+2xu=+2x；t=sinut=sinu；y=t+1y=t+1提示：提示：代入代入，代入代入可得本可得本题中函数中函数.【解析解析】令令=+2x，函数，函数y=sin 的的单调递增区增区间为-

6、+2k，+2k，k Z，由由得得所以函数所以函数f(x)=的的单调递增区增区间是是-+k，+k，k Z.【延伸探究延伸探究】1.(1.(变换条件变换条件)将本例函数改为将本例函数改为“f(xf(x)=)=”，结果又如何，结果又如何？【解析解析】f(x)=令令t=2x-，函数，函数y=cos t的的单调递增区增区间为-+2k，2k，k Z.由由-+2k2x-2k，得得所以函数所以函数f(x)=的的单调递增区增区间为 +k，+k，k Z.2.(2.(增加条件增加条件)本例函数后增加本例函数后增加xx0 0，其他条件不变，结果又，其他条件不变，结果又如何？如何？【解析解析】设A=0，画数画数轴可知可

7、知AB=所以函数所以函数f(x)=(x 0，)的的单调递增区增区间为0，和和 ，.3.(3.(变换条件、改变问法变换条件、改变问法)本例函数改为本例函数改为“y=logy=log3 3sin(2x+)sin(2x+)”，求其，求其单调递减区间单调递减区间.【解析解析】为使函数解析式有意使函数解析式有意义，须有有sin(2x+)0.因因为函数函数y=log3x在在(0，+)为增函数，增函数，所以原函数的所以原函数的单调递减区减区间就是就是y=sin(2x+)的的递减区减区间，且要，且要满足足sin(2x+)0.由由 +2k2x+2k，k Z，得得+kx0A0时，把时，把x+x+整体放入整体放入y

8、=sin xy=sin x或或y=y=coscos x x的单调增区间内，的单调增区间内，求得的求得的x x的范围即函数的增区间；放入的范围即函数的增区间；放入y=sin xy=sin x或或y=y=coscos x x的单调减区的单调减区间内，可求得函数的减区间间内，可求得函数的减区间.(2)(2)当当A0A0时，把时，把x+x+整体放入整体放入y=sin xy=sin x或或y=y=coscos x x的单调增区间内，的单调增区间内，求得的求得的x x的范围即函数的减区间；放入的范围即函数的减区间；放入y=sin xy=sin x或或y=y=coscos x x的单调减区的单调减区间内，可

9、求得函数的增区间间内，可求得函数的增区间.2.2.复合函数单调区间的求法复合函数单调区间的求法(1)(1)先求定义域先求定义域.(2)(2)分析内层、外层函数的单调性分析内层、外层函数的单调性(3)(3)根据根据“同增异减同增异减”的法则写出单调区间的法则写出单调区间.【补偿训练补偿训练】求函数求函数y=3cos(2x+)y=3cos(2x+)的单调递减区间的单调递减区间.【解析解析】令令t=2x+，函数，函数y=cos t的的单调递减区减区间为2k，2k+，k Z.由由2k2x+2k+得得k-xk+，k Z.所以函数所以函数y=3cos(2x+)的的单调递减区减区间为k-，k+，k Z.【延

10、伸探究延伸探究】1.(1.(变换条件变换条件)本例函数改为本例函数改为“y=-3cos(2x+)y=-3cos(2x+)”，结果如何？，结果如何？【解析解析】要求函数要求函数y=-3cos(2x+)的的单调递减区减区间，只要求函数，只要求函数y=cos(2x+)的的单调递增区增区间.由由2k-2x+2k，得，得k-xk-，k Z.所以函数所以函数y=-3cos(2x+)的的单调递减区减区间为k-，k-，k Z.2.(2.(增加条件、改变问法增加条件、改变问法)求函数求函数y=y=，xx0 0，的单调递的单调递增区间增区间.【解析解析】因因为函数函数y=在在R上上为减函数减函数.所以要求函数所以

11、要求函数y=，x 0，的的单调递增区增区间，只要求只要求y=cos(2x+)，x 0，的的单调递减区减区间，由由2k2x+2k+，得得k-xk+，k Z.设A=0，则AB=所以函数所以函数y=，x 0，的的单调递增区增区间是是0，和和 ，.类型二类型二 利用正弦函数、余弦函数单调性比较大小利用正弦函数、余弦函数单调性比较大小【典例典例】1.1.已知已知，为锐角三角形的两个内角，则以下结论正确的为锐角三角形的两个内角，则以下结论正确的是是()A.sinA.sin sinsin B.cosB.cos sinsinC.cosC.cos coscos2.(20152.(2015天津高一检测天津高一检测

12、)比较大小：比较大小：_ .(_ .(填填“”或或“.2 2典例典例2 2中为比较两个数的大小，首先要将这两个数变为什么形式？中为比较两个数的大小，首先要将这两个数变为什么形式？用什么公式变形？用什么公式变形？提示：提示：用用诱导公式公式变形形为都是正弦或都是余弦的形式都是正弦或都是余弦的形式.【解析解析】1.选B.，为锐角三角形的两个内角，角三角形的两个内角，+，-，(0，)，-(0，)，所以所以cos【方法技巧方法技巧】比较两个三角函数值的大小的步骤比较两个三角函数值的大小的步骤(1)(1)依据诱导公式把几个三角函数化为同名函数依据诱导公式把几个三角函数化为同名函数.(2)(2)依据诱导公

13、式把角化到属于同一个单调增依据诱导公式把角化到属于同一个单调增(减减)区间区间.(3)(3)依据三角函数的单调性比较大小后写出结论依据三角函数的单调性比较大小后写出结论【变式训练变式训练】比较大小：比较大小：cos(-508cos(-508)_cos(-144)_cos(-144).().(填填“”“”“”或或“=”)【解析解析】cos(-508)=cos(360+148)=cos 148=-cos 32，cos(-144)=cos(180-36)=-cos 36，因因为03236cos 36，所以，所以-cos 32-cos 36，即即cos(-508)cos(-144).答案：答案：0)y

14、=a-bcos(2x+)(b0)的最大值为的最大值为 ，最小值为，最小值为(1)(1)求求a a，b b的值的值.(2).(2)求函数求函数g(xg(x)=-4asin(bx-)=-4asin(bx-)的最小值并求出对应的最小值并求出对应x x的集合的集合.【解题探究解题探究】1.1.典例典例1 1中的函数是由哪两个函数复合而成的？中的函数是由哪两个函数复合而成的？提示提示：由由t=cos x和和y=t2+3t+2复合而成的复合而成的.2.2.典例典例2 2中，中，cos(2x+)cos(2x+)的最大值、最小值与的最大值、最小值与y=a-bcos(2x+)y=a-bcos(2x+)的最的最大

15、值、最小值有什么关系？大值、最小值有什么关系？提示：提示：由于由于-b0，所以所以-b0，所以所以a=，b=1.(2)由由(1)知：知：g(x)=-2sin(x-)，因因为sin(x-)-1，1，所以所以g(x)-2，2，所以，所以g(x)的最小的最小值为-2，对应x的集合的集合为x|x=2k+，k Z.【延伸探究延伸探究】将本例将本例1 1中的函数改为中的函数改为f(xf(x)=-cos)=-cos2 2x-2asin xx-2asin x，(x(x0 0，aRaR)，求其最小值，求其最小值.【解析解析】f(x)=-(1-sin2x)-2asin x=sin2x-2asin x-1=(sin

16、 x-a)2-a2-1由由x 0，知知sin x 0，1.若若a1，则当当sin x=1时，f(x)min=1-2a-1=-2a；若若0a1，则当当sin x=a时，f(x)min=-a2-1；若若a0，则当当sin x=0时，f(x)min=-1.【方法技巧方法技巧】求三角函数值域或最值的常用方法求三角函数值域或最值的常用方法(1)(1)可化为单一函数可化为单一函数y=y=Asin(x+Asin(x+)+k)+k或或y=y=Acos(x+Acos(x+)+k)+k，其最大，其最大值为值为|A|+kA|+k，最小值为，最小值为-|-|A|+kA|+k(其中其中A A，k k，为常数，为常数，A

17、0A0，0).0).(2)(2)可化为可化为y=Asiny=Asin2 2x+Bsin x+Bsin x+Cx+C或或y=Acosy=Acos2 2x+Bcos x+C(A0)x+Bcos x+C(A0)，最大、最，最大、最小值可利用二次函数在区间小值可利用二次函数在区间-1-1，1 1上的最大值、最小值的求法来上的最大值、最小值的求法来求求.(.(换元法换元法)【变式训练变式训练】函数函数y=sin xy=sin x在区间在区间0 0，t t上至少取得上至少取得2 2个最大值，个最大值，则正整数则正整数t t的最小值是的最小值是()()A.10 B.9 A.10 B.9 C.8 C.8 D.

18、7 D.7【解析解析】选C.因因为函数函数y=sin x的最小正周期的最小正周期为，所以，所以要使函数要使函数y=sin x在区在区间0，t上至少取得上至少取得2个最大个最大值，则t =7.5，故正整数，故正整数t的最小的最小值是是8.【补偿训练补偿训练】已知函数已知函数f(xf(x)=)=的定义域是的定义域是00，值域是值域是-5-5，1 1，求，求a a，b b的值的值.【解析解析】因因为0 x ，所以，所以所以所以当当a0时，解得解得当当a0时，解得解得因此因此a=2，b=-5或或a=-2，b=1.规范解答规范解答 y=y=Asin(x+Asin(x+)+b)+b型函数的最大型函数的最大

19、(小小)值问题值问题【典例典例】(12(12分分)(2015)(2015北京高一检测北京高一检测)函数函数f(xf(x)=2sin(2x-)=2sin(2x-)的部分的部分图象如图所示图象如图所示.(1)(1)写出写出f(xf(x)的最小正周期及图中的最小正周期及图中x x0 0，y y0 0的值的值.(2)(2)求求f(xf(x)在区间在区间 上的最大值和最小值上的最大值和最小值.【审题指指导】(1)要求要求f(x)的最小正周期可直接利用公式：的最小正周期可直接利用公式：要求要求x0，y0，关，关键是确定函数是确定函数f(x)何何时取得最大取得最大值及最大及最大值是多少是多少.(2)要求要求

20、f(x)在区在区间 上的最大上的最大(小小)值，先要求出，先要求出2x-的取的取值范范围，再再结合正弦函数的合正弦函数的图象，求象，求f(x)的最大的最大(小小)值.【规范解答范解答】(1)f(x)的最小正周期的最小正周期T=，2分分当当2x-=2k+，k Z时，sin(2x-)=1.f(x)取得最大取得最大值2.此此时x=k+，k Z.4分分结合合图象可知，象可知，6分分(2)由由x 得得2x-，0，7分分所以当所以当sin(2x-)=-1，f(x)取得最小取得最小值-2.9分分当当2x-=0，即，即x=时，sin(2x-)=0，f(x)取得最大取得最大值0.11分分综上可知，上可知，f(x

21、)在区在区间上的最大上的最大值为0，最小，最小值为-2.12分分【题后悟道题后悟道】1.1.明确函数的单调性明确函数的单调性求求y=y=Asin(x+Asin(x+)+b)+b型函数的最值通常有以下三步：型函数的最值通常有以下三步：(1)(1)求求=x+x+的取值范围的取值范围.(2)(2)求求t=sin t=sin 的取值范围的取值范围.(3)(3)求求y=y=At+bAt+b的最值，关键是明确以上三个函数的单调性，如本例中的最值，关键是明确以上三个函数的单调性，如本例中=2x-=2x-在在 上为增函数，上为增函数，t=sin t=sin 在在 上为减函数，上为减函数，在在 上为增函数，上为增函数，y=2ty=2t在在R R上为增函数上为增函数.2.2.注意函数图象的应用注意函数图象的应用求函数最大求函数最大(小小)值的基本方法是借助函数的图象，找出函数的最高点值的基本方法是借助函数的图象，找出函数的最高点和最低点，就可求出函数的最大和最低点，就可求出函数的最大(小小)值，如本例由值，如本例由2x-2x-00，求，求sin(2x-)sin(2x-)的最值时，应借助正弦曲线求出最大的最值时，应借助正弦曲线求出最大(小小)值值.