数学 第一章 三角函数 1.7.1 正切函数的定义 1.7.2 正切函数的图像与性质2 北师大版必修4 .ppt

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1、1.71.7正切函数正切函数1.7.11.7.1正切函数的定义正切函数的定义1.7.21.7.2正切函数的图像与性质正切函数的图像与性质【知知识识提提炼炼】1.1.正切函数的定正切函数的定义义在直角坐在直角坐标标系中系中(1)(1)角角的的终边终边与与单单位位圆圆交于点交于点P(P(a,ba,b);(2)(2)把比把比值值_叫作角叫作角的正切函数的正切函数;记记作作y=y=tantan.2.2.正切函数的正切函数的图图像与性像与性质质(1)(1)正切正切线线:如如图图所示所示,线线段段_为为角角的正切的正切线线.ATAT(2)(2)正切函数正切函数y=tan y=tan x(xR,xx(xR,

2、x +k,kZk,kZ)的图像与性质：的图像与性质：函数函数性质性质 y=tan x y=tan x 图像图像 函数函数性质性质 y=tan x y=tan x 定义域定义域 值域值域 _ _ 奇偶性奇偶性 _ _ 周期性周期性 周期函数，周期是周期函数，周期是k(kZ,k0),k(kZ,k0),最小正最小正周期是周期是_ _ R R奇函数奇函数函数函数性质性质 y=tan x y=tan x 单单调调性性 增区间增区间 减区间减区间 无无 渐近线渐近线 【即即时时小小测测】1.1.思考下列思考下列问题问题(1)(1)正切函数是奇函数正切函数是奇函数,图图像关于原点像关于原点对对称称,那么正切

3、函数的那么正切函数的对对称中心称中心只有一个只有一个吗吗?提示提示:正切函数的对称中心除了原点外正切函数的对称中心除了原点外,诸如诸如(,0),0)等都是对称中心等都是对称中心,正切函数有无数个对称中心正切函数有无数个对称中心.(2)(2)正切函数在定正切函数在定义义域上是增加的域上是增加的吗吗?提示提示:正切函数在每一个区间正切函数在每一个区间 ,k kZ Z都是增加的都是增加的,但但在定义域上不是增加的在定义域上不是增加的.2.tan 2.tan 的最小正周期的最小正周期为为_._.【解析解析】周期周期T=.T=.答案答案:3.tan =_.3.tan =_.【解析解析】答案答案:【知识探

4、究知识探究】知知识识点点 正切函数的正切函数的图图像与性像与性质质观观察察图图形形,回答下列回答下列问题问题:问题问题:三角函数性三角函数性质质有何共同的特点有何共同的特点?【总结总结提升提升】1.1.对对正切函数正切函数值值符号的理解符号的理解正切函数正切函数值值的符号是由的符号是由a,ba,b的符号决定的的符号决定的,故当角故当角为为第一、三象限角第一、三象限角时时,a,ba,b同号同号,正切函数正切函数值为值为正正;当角当角为为第二、四象限角第二、四象限角时时,a,ba,b异号异号,正切函数正切函数值为负值为负.2.2.作正切函数的作正切函数的图图像的两种方法像的两种方法(1)(1)几何

5、法几何法:利用利用单单位位圆圆中的正切中的正切线线来作出正切函数的来作出正切函数的图图像像,该该方法作方法作图较为图较为精确精确,但画但画图时较烦琐图时较烦琐.(2)(2)三点两三点两线线法法:“:“三点三点”是指是指(-,-1),(0,0),;“(-,-1),(0,0),;“两两线线”是指是指x=-x=-和和x=.x=.在三点、两在三点、两线线确定的情况下确定的情况下,类类似于五点法作似于五点法作图图,可大致画出正切函数在可大致画出正切函数在 上的上的简图简图,然后向左、向右然后向左、向右扩扩展即得展即得正切曲正切曲线线.【知知识识拓展拓展】(1)(1)几种特殊角的正切几种特殊角的正切值值(

6、2)(2)三角函数在各个象限的符号三角函数在各个象限的符号规规律律只只记记住在各个象限住在各个象限为为正正值值的三角函数的三角函数,其他的其他的则为负值则为负值,记忆记忆口口诀诀:“:“一象全一象全,二正弦二正弦,三正切三正切,四余弦四余弦”.(3)(3)函数函数y=y=Atan(x+Atan(x+)+B)+B的周期的周期T=T=【题型探究题型探究】类类型一型一 正切函数的定正切函数的定义义、图图像像【典例典例】1.(20151.(2015阜阳高一阜阳高一检测检测)函数函数y=y=tanx+sinx-|tanx-sinxtanx+sinx-|tanx-sinx|在在区区间间 内的内的图图像大致

7、是像大致是()2.(20152.(2015天水高一天水高一检测检测)函数函数y=tan y=tan 的定的定义义域域为为_._.3.3.点点P(-1,2)P(-1,2)在角在角的的终边终边上上,则则 =_.=_.【解解题题探究探究】1.1.怎怎样样由函数解析式作函数的由函数解析式作函数的图图像像?提示提示:应分情况去掉绝对值号应分情况去掉绝对值号,得到函数的解析式后作图像得到函数的解析式后作图像.2.2.正切函数的定正切函数的定义义域是什么域是什么?提示提示:正切函数的定义域是正切函数的定义域是3.3.由点由点P P的坐的坐标标怎怎样样求角求角的三角函数的三角函数值值?提示提示:可根据任意角三

8、角函数的定义求角的三角函数值可根据任意角三角函数的定义求角的三角函数值.【解析解析】1.1.选选D.D.函数函数y=y=tanx+sinx-|tanx-sinxtanx+sinx-|tanx-sinx|由正弦函数与正切函数的图像可知由正弦函数与正切函数的图像可知D D正确正确.2.2.令令 答案答案:3.3.所以所以 答案答案:-10-10【方法技巧方法技巧】1.1.当当题题目目给给出角出角终边终边所在直所在直线线方程方程时时,求求sin,cos,tansin,cos,tan经经常采常采用的步用的步骤骤2.2.求函数求函数y=y=Atan(Atan(x+x+)+B+B定定义义域的方法域的方法令

9、令x+x+k,kZk,kZ,解出解出x x即得到函数的定即得到函数的定义义域域.【变变式式训练训练】已知角已知角x x终边终边上的一点上的一点P(-4,3),P(-4,3),则则的的值为值为_._.【解析解析】由题意由题意tanxtanx=-,=-,答案答案:类类型二型二 与正切函数相关的范与正切函数相关的范围问题围问题【典例典例】在在(0,2)(0,2)内内,使使tanxtanx11成立的成立的x x的取的取值值范范围围是是()【解解题题探究探究】函数函数满满足足y=y=tanxtanx11的的图图像是哪一部分像是哪一部分?提示提示:正切曲线在直线正切曲线在直线y=1y=1上方的部分上方的部

10、分.【解析解析】选选D.D.由由tanxtanx1,1,可得可得 再根据再根据x(0,2),x(0,2),求得求得 【延伸探究延伸探究】1.(1.(变换变换条件条件)在在R R内内,tanxtanx1,1,求不等式的解集求不等式的解集.【解析解析】由由tanxtanx1,1,解得解得故不等式的解集为故不等式的解集为 2.(2.(变换变换条件条件)在在(0,2)(0,2)内内,使使11tanxtanx 成立的成立的x x的取的取值值范范围围.【解析解析】在在 内内,满足满足11tanxtanx 的的x x范围为范围为在在 内满足内满足11tanxtanx 的的x x范围为范围为 在在 内无满足内

11、无满足11tanxtanx 的的x x值值.故所求故所求x x的取值范围为的取值范围为 【方法技巧方法技巧】数形数形结结合求范合求范围围的策略的策略(1)(1)遇遇到到与与三三角角函函数数有有关关的的范范围围问问题题时时,首首先先是是作作出出函函数数的的图图像像,确确定定满满足足不不等等式式的的图图像像部部分分,再再选选取取一一个个恰恰当当的的周周期期,在在这这个个周周期期内内确确定定求求出出满满足不等式的范足不等式的范围围,最后最后结结合函数的周期拓展到全体合函数的周期拓展到全体实实数上数上.(2)(2)解解题题此此类题类题目的关目的关键键一是作一是作图图,二是确定范二是确定范围围端点的未知

12、量的端点的未知量的值值.【补偿训练补偿训练】(2015(2015益阳高一益阳高一检测检测)若若y=,y=,求函数的定求函数的定义义域域为为_._.【解析解析】令令tanxtanx+0,0,即即tanxtanx-,-,解得解得 则函数的定义域为则函数的定义域为 答案答案:类类型三型三 正切函数的正切函数的单调单调性的性的应应用用【典例典例】(2015(2015宜春高一宜春高一检测检测)已知已知a=tan1,b=tan2,c=tan3,a=tan1,b=tan2,c=tan3,则则()A.aA.abcbc B.cB.cbabaC.bC.bca ca D.bD.baca0,b0,c0,b0,c0,又

13、因为正切函数在区间又因为正切函数在区间 上是增加的上是增加的,故故bc,bc,因此因此bca.bcf(-1)f(1)A.f(0)f(-1)f(1)B.f(0)f(1)f(-1)B.f(0)f(1)f(-1)C.f(1)f(0)f(-1)D.f(-1)f(0)f(1)C.f(1)f(0)f(-1)D.f(-1)f(0)f(1)【解题指南解题指南】y=y=tanxtanx在在 上是增加的上是增加的.根据诱导公式把根据诱导公式把 转化到转化到 上再比较大小上再比较大小.【解析解析】选选A.f(1)=A.f(1)=又又 所以所以f(0)f(-1)f(1).f(0)f(-1)f(1).【补偿训练补偿训练

14、】(2015(2015九江高一九江高一检测检测)设设则则()A.aA.abcbcB.aB.acbcbC.bC.bcacaD.bD.bacac【解析解析】选选A.A.因为因为 因为因为 故故 即即abc.abc.易易错错案例案例 正切函数正切函数图图像、性像、性质质的的应应用用【典例典例】(2015(2015武武汉汉高一高一检测检测)函数函数y=2tan(3x+y=2tan(3x+)的的图图像的一个像的一个对对称中心称中心为为 ,则则=_.=_.【失失误误案例案例】【错错解分析解分析】分析上面的解析分析上面的解析过过程程,你知道你知道错错在哪里在哪里吗吗?提提示示:出出错错的的根根本本原原因因在

15、在于于对对正正切切函函数数的的图图像像理理解解不不准准确确,弄弄错错了了对对称称中心中心.【自我矫正自我矫正】因为函数的图像的对称中心为因为函数的图像的对称中心为 (kZkZ),),令令3x+3x+=,=,kZkZ,由题意知由题意知,因为因为 所以所以当当k=1k=1时时,=-,=-,当当k=2k=2时时,=,=,即即=-=-或或 .答案答案:-或或【防范措施防范措施】1.1.正切函数正切函数图图像与性像与性质质的灵活的灵活应应用用解解题题时时,要要注注意意正正切切函函数数图图像像与与性性质质的的灵灵活活应应用用,如如本本例例,对对正正切切函函数数的的对对称中心要把握准确称中心要把握准确,不能不能误认为对误认为对称中心是称中心是(k,0)(kZ).(k,0)(kZ).2.2.函数解析式中参数的取函数解析式中参数的取值值范范围围解解题题时时,要要注注意意参参数数是是否否有有特特殊殊的的限限定定条条件件,如如本本例例,如如果果没没注注意意到到的范的范围围,从而未从而未对对k k的取的取值值分情况分情况讨论讨论,将造成漏解将造成漏解.