数学 第一章 三角函数 1.7.3 正切函数的诱导公式2 北师大版必修4 .ppt

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1、1.7.31.7.3正切函数的诱导公式正切函数的诱导公式【知知识识提提炼炼】正切函数的正切函数的诱导诱导公式公式(1)tan(2+)=_;(1)tan(2+)=_;(2)tan(2-)=_;(2)tan(2-)=_;(3)tan(-)=_;(3)tan(-)=_;(4)tan(-)=_;(4)tan(-)=_;tantan-tan-tan-tan-tan-tan-tan(5)tan(+)=_;(5)tan(+)=_;(6)tan(+)=_;(6)tan(+)=_;(7)tan(-)=_.(7)tan(-)=_.tantan-cot-cotcotcot【即即时时小小测测】1.1.思考下列思考下列

2、问题问题(1)(1)诱导诱导公式中的角公式中的角是是锐锐角角吗吗?提示提示:不一定是锐角不一定是锐角,可以是定义域内任意大小的角可以是定义域内任意大小的角.(2)(2)诱导诱导公式中的角可以是任意角公式中的角可以是任意角吗吗?提示提示:不是任意角不是任意角,其中的其中的,2,2,-,-,均不能等均不能等于于k k+(+(k kZ Z).).2.2.下列下列诱导诱导公式中公式中错误错误的是的是()A.tan(-A.tan(-)=-)=-tantanB.cosB.cos =sinsinC.sin(+C.sin(+)=-)=-sinsinD.cos(-D.cos(-)=-)=-coscos【解析解析

3、】选选B.BB.B中中coscos =-=-sinsin.3.tan =_.3.tan =_.【解析解析】答案答案:-1-14.tan(-480)=_.4.tan(-480)=_.【解析解析】tan(-480tan(-480)=tan60)=tan60=.=.答案答案:【知识探究知识探究】知知识识点点 正切函数的正切函数的诱导诱导公式公式观观察如察如图图所示内容所示内容,回答下列回答下列问题问题:问题问题:类类比正、余弦函数的比正、余弦函数的诱导诱导公式公式,如何如何记忆记忆正切函数的正切函数的诱导诱导公式公式?【总结总结提升提升】(1)(1)正切函数的正切函数的诱导诱导公式在公式在记忆时记忆

4、时可可简单记为简单记为“奇奇变变偶不偶不变变,符号看象符号看象限限”,即即k k 中中,如果如果k k为为奇数奇数,则则正切正切变变余切余切,至于符号取决于至于符号取决于角角k k 所在的象限所在的象限.(2)(2)在在对对三角式三角式进进行化行化简简、求、求值值、证证明中明中,要遵循要遵循诱导诱导公式先行的原公式先行的原则则.【题型探究题型探究】类类型一型一 利用利用诱导诱导公式求公式求值值【典例典例】1.1.化化简简:2.2.化化简简:sin 120cos 330+sin(-690)cos(-660)+tan 675:sin 120cos 330+sin(-690)cos(-660)+ta

5、n 675+cot765.+cot765.【解解题题探究探究】利用利用诱导诱导公式求公式求值时应该值时应该按怎按怎样样的的顺顺序序选择选择公式化公式化简简?提示提示:一般先将负角化为正角一般先将负角化为正角,再将正角化为小角再将正角化为小角,直到化成单角或特直到化成单角或特殊角的三角函数殊角的三角函数.【解析解析】1.1.原式原式=2.2.原式原式=sin 120=sin 120cos(360cos(360-30-30)-sin(720)-sin(720-30-30)cos(-720)cos(-720 +60+60)+tan(720)+tan(720-45-45)+)+【方法技巧方法技巧】1.

6、1.用正切函数用正切函数诱导诱导公式解公式解题题的一般步的一般步骤骤与正弦、余弦函数的最小正周期与正弦、余弦函数的最小正周期为为22不同不同,正切函数的最小正周期正切函数的最小正周期为为,因此其解因此其解题题的一般步的一般步骤为骤为:2.2.利用利用诱导诱导公式解公式解题题的两个策略的两个策略(1)(1)巧用奇偶性巧用奇偶性:正弦、正切函数正弦、正切函数为为奇函数奇函数,余弦函数余弦函数为为偶函数偶函数,即即sinsin(-)=-(-)=-sin,tan(-sin,tan(-)=-)=-tan,cos(-tan,cos(-)=)=coscos.(2)(2)巧用周期性巧用周期性:把角把角改写成改

7、写成+k,kZ+k,kZ后后,可利用正切函数的周期可利用正切函数的周期为为得到得到tantan=tantan.【变变式式训练训练】求求值值:=_.:=_.【解析解析】原式原式=答案答案:0 0类类型二型二 三角函数之三角函数之间间关系的关系的应应用用【典例典例】1.1.已知已知cos(-xcos(-x)=,x(,2),)=,x(,2),那么那么tanxtanx等于等于()2.2.已知已知sinsin=,=,求求tan(+tan(+)+)+的的值值.【解解题题探究探究】1.1.由由coscos的的值值如何求如何求sinsin的的值值?提示提示:根据根据sinsin2 2+cos+cos2 2=1

8、,=1,角角的象限求值的象限求值.2.2.典例典例2 2中的中的在第几象限在第几象限?提示提示:由由sinsin=0=0知知,在第一或第二象限在第一或第二象限.【解析解析】1.1.选选D.D.因为因为cos(cos(-x-x)=-)=-cosxcosx=,=,所以所以cosxcosx=-0,=-0,因为因为x(,2),x(,2),所以所以x x 所以所以sinxsinx0,0,=0,所以所以为第一或第二象限角为第一或第二象限角.当当是第一象限角时是第一象限角时,coscos=当当是第二象限角时是第二象限角时,【延伸探究延伸探究】1.(1.(变换变换条件条件)若将典例若将典例1 1条件改条件改为

9、为cos(+xcos(+x)=,x(,2),)=,x(,2),求求tanxtanx.【解析解析】因为因为cos(cos(+x+x)=-)=-cosxcosx=,=,所以所以cosxcosx=-0,=-0,因为因为x(,2),x(,2),所以所以x ,x ,所以所以sinxsinx0,0,所以所以 所以所以 2.(2.(变换变换条件条件,改改变问变问法法)若将典例若将典例2 2条件改条件改为为tantan=,=,试试求求 的的值值.【解析解析】【方法技巧方法技巧】三角函数之三角函数之间间关系的关系的应应用用(1)(1)正、余弦函数之正、余弦函数之间间的关系的关系:sin:sin2 2+cos+c

10、os2 2=1,=1,利用利用这这个关系已知其个关系已知其中一个可以求另一个中一个可以求另一个;(2)(2)三个三角函数之三个三角函数之间间的关系的关系:tantan=,=,已知正、余弦函数可以已知正、余弦函数可以求正切函数求正切函数;(3)(3)应应用三角函数关系的策略用三角函数关系的策略:“1”:“1”的代的代换换,可以将可以将“1”1”看作看作“sinsin2 2+cos+cos2 2”整体代入整体代入;弦切互化弦切互化,正用正用tantan=可以做到切可以做到切化弦化弦,逆用可以做到弦化切逆用可以做到弦化切,其中切化弦是最常用的求其中切化弦是最常用的求值值、化、化简简的的变换变换方法方

11、法.【补偿训练补偿训练】已知已知tantan=2,=2,则则 等于等于()A.2 B.-2 C.0 D.A.2 B.-2 C.0 D.【解析解析】选选B.B.原式原式=类类型三型三 利用利用诱导诱导公式化公式化简简、证证明明【典例典例】1.1.化化简简:1+cos(+)=_.:1+cos(+)=_.2.2.已知已知是第三象限角是第三象限角,且且f(f()=)=(1)(1)化化简简f(f().).(2)(2)若若tan(-tan(-)=-2,)=-2,求求f(f()的的值值.(3)(3)若若=-120,=-120,求求f(f()的的值值.【解解题题探究探究】1.1.典例典例1 1中的中的tant

12、an应该应该怎怎样变样变形形?提示提示:将将tantan化为化为 代入代入.2.2.典例典例2 2中若已知中若已知tantan,怎怎样样求求sin,cossin,cos?提示提示:利用利用sinsin2 2+cos+cos2 2=1,tan=1,tan=求解求解.【解析解析】1.1.原式原式=(1-cos=(1-cos)答案答案:sinsin2.(1)f()=2.(1)f()=(2)(2)因为因为tan(-tan(-)=-2,)=-2,所以所以tantan=2.=2.所以所以sinsin=2cos=2cos所以所以(2cos)(2cos)2 2+cos+cos2 2=1.=1.coscos2

13、2=.=.因为因为是第三象限角是第三象限角,所以所以coscos=-,=-,所以所以f(f()=.)=.(3)(3)因为因为cos(-120cos(-120)=)=coscos 120 120=-=-coscos 60 60=-,=-,所以所以f(f()=-)=-coscos=.=.【方法技巧方法技巧】1.1.三角函数式化三角函数式化简简的常用方法的常用方法(1)(1)依依据据所所给给式式子子合合理理选选用用诱诱导导公公式式将将所所给给角角的的三三角角函函数数转转化化为为角角的三角函数的三角函数.(2)(2)切化弦切化弦:一般需将表达式中的切函数一般需将表达式中的切函数转转化化为为弦函数弦函数

14、.2.2.三角恒等式的三角恒等式的证证明策略明策略在在证证明明时时一一般般从从左左边边到到右右边边,或或从从右右边边到到左左边边,或或左左右右归归一一,总总之之,应应遵遵循化繁循化繁为简为简的原的原则则.定定义义法法,化弦法化弦法,拆拆项项拆角法拆角法,公式公式变变形法形法.【变变式式训练训练】化化简简:=_.:=_.【解析解析】原式原式=答案答案:-2-2【补偿训练补偿训练】证证明明:【证明证明】左边左边=右边右边.易易错错案例案例 诱导诱导公式的公式的应应用用【典例典例】化化简简:【失失误误案例案例】【错错解分析解分析】分析上面的解析分析上面的解析过过程程,你知道你知道错错在哪里在哪里吗吗

15、?提提示示:出出错错的的根根本本原原因因是是应应用用正正切切函函数数的的诱诱导导公公式式时时符符号号出出错错,导导致致结结果错误果错误.【自我矫正自我矫正】原式原式=答案答案:-1-1【防范措施防范措施】应应用用诱导诱导公式公式时时的注意点的注意点(1)(1)分分类类利利用用诱诱导导公公式式:化化简简时时一一次次只只应应用用一一类类诱诱导导公公式式,一一般般不不要要一一次次应应用用多多个个诱诱导导公公式式.如如本本题题中中根根据据式式子子特特点点负负角角变变正正角角后后可可以以先先应应用公式一用公式一,将将55、88化化简简后再后再选择选择其他的其他的诱导诱导公式公式.(2)(2)熟熟练练常常用用的的解解题题步步骤骤:应应用用诱诱导导公公式式常常用用的的顺顺序序是是先先将将负负角角化化正正角角,再再应应用用公公式式一一,再再选选择择其其他他的的诱诱导导公公式式.如如本本题题中中的的化化简简顺顺序序,可可以以有有效地避免效地避免应应用用诱导诱导公式公式时时的的错误错误.