数学 第一章 常用逻辑用语 1.1.3 四种命题间的相互关系4 新人教A版选修1-1 .ppt

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1、1.1.3四种命题间的相互关系【自主自主预习】1.1.四种命四种命题间的关系的关系2.2.四种命四种命题真假性真假性间的关系的关系(1)(1)两个命两个命题互互为逆否命逆否命题,则它它们的真假性的真假性_._.(2)(2)两个命两个命题为互逆命互逆命题或互否命或互否命题,它它们的真假性的真假性_._.相同相同没有关系没有关系【即即时小小测】1.1.一个命一个命题与它的逆命与它的逆命题、否命、否命题、逆否命、逆否命题这4 4个命个命题中中()A.A.真命真命题与假命与假命题的个数相同的个数相同B.B.真命真命题的个数一定是奇数的个数一定是奇数C.C.真命真命题的个数一定是偶数的个数一定是偶数D.

2、D.真命真命题的个数可能是奇数的个数可能是奇数,也可能是偶数也可能是偶数【解析解析】选选C.C.四种命题中原命题和逆否命题真假性相四种命题中原命题和逆否命题真假性相同同,逆命题和否命题真假性相同逆命题和否命题真假性相同,因此真命题的个数是因此真命题的个数是偶数个偶数个.2.2.命命题“若若p p不正确不正确,则q q不正确不正确”的逆命的逆命题的等价命的等价命题是是()A.A.若若q q不正确不正确,则p p不正确不正确B.B.若若q q不正确不正确,则p p正确正确C.C.若若p p正确正确,则q q不正确不正确D.D.若若p p正确正确,则q q正确正确【解析解析】选选D.D.原命题的逆命

3、题和否命题互为逆否命题原命题的逆命题和否命题互为逆否命题,只需写出原命题的否命题即可只需写出原命题的否命题即可.3.3.命命题“若若a-3,a-3,则a-6a-6”以及它的逆命以及它的逆命题、否命、否命题、逆否命逆否命题中中,真命真命题的个数的个数为()A.1A.1B.2B.2C.3C.3D.4D.4【解析解析】选选B.B.易知原命题为真命题易知原命题为真命题,从而逆否命题为真从而逆否命题为真命题命题.因为逆命题为因为逆命题为“若若a-6,a-6,则则a-3a-3”,所以逆命题为所以逆命题为假命题假命题,所以否命题为假命题所以否命题为假命题.从而真命题的个数是从而真命题的个数是2.2.【知知识

4、探究探究】探究点探究点四种命四种命题间的关系的关系1.1.能不能能不能说“若若p,p,则q q”是逆命是逆命题或否命或否命题?为什么什么?提示提示:不能不能,逆命题或否命题都是相对于原命题而言的逆命题或否命题都是相对于原命题而言的,只有确定了原命题只有确定了原命题,才有逆命题、否命题的说法才有逆命题、否命题的说法,它们与它们与原命题互为逆命题、互为否命题原命题互为逆命题、互为否命题.2.2.如何利用原命如何利用原命题的逆命的逆命题写出原命写出原命题的逆否命的逆否命题?提示提示:原命题的逆命题与原命题的逆否命题互为否命题原命题的逆命题与原命题的逆否命题互为否命题,所以只需写出原命题的逆命题的否命

5、题所以只需写出原命题的逆命题的否命题,即得原命题的即得原命题的逆否命题逆否命题.3.3.互互为逆否命逆否命题的两个命的两个命题同真同假有什么用同真同假有什么用处?提示提示:在判断一个命题的真假性时在判断一个命题的真假性时,若命题本身难以判断若命题本身难以判断,可以转为判断其逆否命题的真假来说明原命题的真假可以转为判断其逆否命题的真假来说明原命题的真假.【归纳总结】对四种命四种命题相互关系的三点相互关系的三点认识(1)(1)四种命四种命题中原命中原命题具有相具有相对性性,任意确定一个任意确定一个为原命原命题,其逆命其逆命题、否命、否命题、逆否命、逆否命题就确定了就确定了,所以所以“互逆互逆”“”

6、“互否互否”“”“互互为逆否逆否”具有具有对称性称性.(2)(2)在原命在原命题、逆命、逆命题、否命、否命题与逆否命与逆否命题这四种命四种命题中中,有两有两对互逆命互逆命题,两两对互否命互否命题,两两对互互为逆否命逆否命题.它它们分分别为:两两对互逆命互逆命题:原命原命题与逆命与逆命题,否命否命题与逆否命与逆否命题.两两对互否命互否命题:原命原命题与否命与否命题,逆命逆命题与逆否命与逆否命题.两两对互逆否命互逆否命题:原命原命题与逆否命与逆否命题,逆命逆命题与否命与否命题.(3)(3)由于原命由于原命题与其逆否命与其逆否命题的真假性相同的真假性相同,所以原命所以原命题与其逆否命与其逆否命题是等

7、价命是等价命题,因此当直接因此当直接证明或判断原命明或判断原命题困困难时,可以可以转化成化成证明其逆否命明其逆否命题.特特别提醒提醒:1.:1.利用四种命利用四种命题间的关系的关系,判断四种命判断四种命题的真的真假假时,只需判断两个命只需判断两个命题的真假即可的真假即可.2.2.若命若命题的叙述是否定性的的叙述是否定性的语言或含有言或含有“至多至多”“”“至少至少”等等词语时,往往往往转化化为判断其逆否命判断其逆否命题的真假更方便的真假更方便.类型一型一四种命四种命题的相互关系及的相互关系及应用用【典例典例】1.1.若命若命题P:P:“若若x+yx+y=0,=0,则x,yx,y互互为相反数相反

8、数”的的否命否命题为Q,Q,命命题Q Q的逆命的逆命题为R,R,则R R与与P P的逆命的逆命题的关系的关系是是()A.A.互互为逆命逆命题 B.B.互互为否命否命题C.C.互互为逆否命逆否命题 D.D.同一命同一命题2.2.已知命已知命题P P的逆命的逆命题是是“若若实数数a,ba,b满足足a=1a=1且且b=2,b=2,则a+ba+b44”,则命命题P P的否命的否命题是是_【解解题探究探究】1.1.把命把命题P P看作原命看作原命题如何探究与其有关的命如何探究与其有关的命题间的关的关系系?提示提示:利用四种命题间的关系逐一讨论利用四种命题间的关系逐一讨论.2.2.原命原命题的逆命的逆命题

9、和否命和否命题间的关系是什么的关系是什么?提示提示:互为逆否命题互为逆否命题.【解析解析】1.1.选选B.B.根据四种命题间的关系可得根据四种命题间的关系可得:P:P与与Q Q互为互为否命题否命题,而而Q Q与与R R互为逆命题互为逆命题,所以所以P P与与R R互为逆否命题互为逆否命题,所所以以R R与与P P的逆命题互为否命题的逆命题互为否命题.2.2.同一命题的逆命题与否命题互为逆否命题同一命题的逆命题与否命题互为逆否命题,故只需写故只需写出命题出命题P P的逆命题的逆否命题即可的逆命题的逆否命题即可,所以命题所以命题P P的否命题的否命题是是“若实数若实数a,ba,b满足满足a+b4,

10、a+b4,则则a1a1或或b2b2”.答案答案:若实数若实数a,ba,b满足满足a+b4,a+b4,则则a1a1或或b2b2【延伸探究延伸探究】1.1.本例本例1 1中若命中若命题R R的逆否命的逆否命题是是S,S,那么命那么命题S S与命与命题P P的关系是什么的关系是什么?【解析解析】根据四种命题间的关系根据四种命题间的关系,S,S与与P P间的关系应是同间的关系应是同一命题一命题.2.2.本例本例1 1中中,条件不条件不变,改改为判断判断R R的真假的真假?【解析解析】原命题原命题P P为真命题为真命题,由例由例1.1.知知R R与与P P互为逆否命互为逆否命题题,所以命题所以命题R R

11、为真命题为真命题.【方法技巧方法技巧】判断四种命判断四种命题之之间四种关系的两种方法四种关系的两种方法方法一方法一:利用四种命利用四种命题的定的定义判断判断;方法二方法二:可以巧用可以巧用“逆、否逆、否”两字两字进行判断行判断,如如“逆命逆命题”与与“逆否命逆否命题”中不同有中不同有“否否”字字,是互否关系是互否关系;而而“逆命逆命题”与与“否命否命题”中不同有中不同有“逆、否逆、否”二字二字,其关系其关系为逆否关系逆否关系.【补偿训练】已知命已知命题p:p:若若x=-1,x=-1,则向量向量a=(-1,x)=(-1,x)与与b=(x+2,x)=(x+2,x)垂直垂直,则在命在命题p p的原命

12、的原命题、逆命、逆命题、否命、否命题、逆否命逆否命题中中,真命真命题的个数的个数为_._.【解析解析】当当x=-1x=-1时时,ab=-1=-11+(-1)1+(-1)2 2=0,=0,所以所以abab,所所以原命题和逆否命题是真命题以原命题和逆否命题是真命题,当当ab时有时有-(x+2)+-(x+2)+x x2 2=0,=0,所以所以x=-1,2,x=-1,2,所以逆命题和否命题为假命题所以逆命题和否命题为假命题.答案答案:2 2类型二型二等价命等价命题在在证明中的明中的应用用【典例典例】判断命判断命题“已知已知a,xa,x为实数数,若关于若关于x x的不等式的不等式x x2 2+(2a+1

13、)x+a+(2a+1)x+a2 2+20+20的解集是空集的解集是空集,则a2a0,4a-70,即抛物线与即抛物线与x x轴有交点轴有交点,所以关于所以关于x x的不等式的不等式x x2 2+(2a+1)x+a+(2a+1)x+a2 2+20+20的解集不是空集的解集不是空集,故原命题的逆否故原命题的逆否命题为真命题为真.方法二方法二:先判断原命题的真假如下先判断原命题的真假如下:因为因为a,xa,x为实数为实数,关于关于x x的不等式的不等式x x2 2+(2a+1)x+a+(2a+1)x+a2 2+20+20的的解集为空集解集为空集,所以所以=(2a+1)=(2a+1)2 2-4(a-4(

14、a2 2+2)=4a-70.+2)=4a-70.所以所以a 2.a 2.所以原命题是真命题所以原命题是真命题.因为互为逆否命题的两个命题同真同假因为互为逆否命题的两个命题同真同假,所以原命题的所以原命题的逆否命题为真命题逆否命题为真命题.【延伸探究延伸探究】1.1.判断命判断命题“已知已知a,xa,x为实数数,若关于若关于x x的不等式的不等式x x2 2+(2a+1)x+a+(2a+1)x+a2 2+20+20的解集是空集的解集是空集,则a2a2”的逆命的逆命题的的真假真假.【解析解析】原命题的逆命题为原命题的逆命题为“已知已知a,xa,x为实数为实数,若若a2,a2,则关于则关于x x的不

15、等式的不等式x x2 2+(2a+1)x+a+(2a+1)x+a2 2+20+20的解集是空集的解集是空集”.判断真假如下判断真假如下:抛物线抛物线y=xy=x2 2+(2a+1)x+a+(2a+1)x+a2 2+2+2的开口向上的开口向上,判别式判别式=(2a+1)=(2a+1)2 2-4(a-4(a2 2+2)=4a-7,+2)=4a-7,因为因为a2,a2,所以所以4a-71,4a-71,当当0101时时,抛物线与抛物线与x x轴有交点轴有交点,当当00+20的解集是的解集是R,R,则a a0+20的解的解集为集为R,R,且抛物线且抛物线y=xy=x2 2+(2a+1)x+a+(2a+1

16、)x+a2 2+2+2的开口向上的开口向上,所以所以=(2a+1)=(2a+1)2 2-4(a-4(a2 2+2)=4a-70.+2)=4a-70.所以所以a .a .所以原命题是真命题所以原命题是真命题.因为互为逆否命题的两个命题同真同假因为互为逆否命题的两个命题同真同假,所以原命题的逆否命题为真命题所以原命题的逆否命题为真命题.【方法技巧方法技巧】“正正难则反反”的的处理原理原则(1)(1)当原命当原命题的真假不易判断的真假不易判断,而逆否命而逆否命题较容易判断真容易判断真假假时,可通可通过判断其逆否命判断其逆否命题的真假来判断原命的真假来判断原命题的真的真假假.(2)(2)在在证明某一个

17、命明某一个命题的真假性有困的真假性有困难时,可以可以证明它的明它的逆否命逆否命题为真真(假假)命命题,来来间接地接地证明原命明原命题为真真(假假)命命题.(3)(3)四种命四种命题中中,原命原命题与其逆否命与其逆否命题是等价的是等价的,有相同的有相同的真假性真假性,否命否命题与其逆命与其逆命题也是互也是互为逆否命逆否命题,解解题时不不要忽要忽视.【拓展延伸拓展延伸】反反证法与逆否法与逆否证法的异同法的异同相同点相同点:(1)(1)依据相同依据相同,都是利用原命都是利用原命题与逆否命与逆否命题的等价性的等价性.(2)(2)起步相同起步相同,都是从非都是从非q(q(即否定即否定结论)出出发.(3)

18、(3)思想相同思想相同,都是正都是正难则反的数学思想反的数学思想.不同点不同点:(1)(1)目的不同目的不同,反反证法否定法否定结论的目的是推出矛盾的目的是推出矛盾,而逆否而逆否证法否定法否定结论的目的是推出的目的是推出“非非p p”(即否定条件即否定条件).).(2)(2)本本质不同不同,逆否逆否证法法实质是是证明一个新命明一个新命题成立成立,而反而反证法是把否定的法是把否定的结论作作为新的条件新的条件连同原有的条件同原有的条件进行行逻辑推理推理,直至推出矛盾直至推出矛盾,从而肯定原命从而肯定原命题的的结论.【补偿训练】1.(20161.(2016揭阳高二揭阳高二检测)已知函数已知函数f(x

19、f(x)在在(-,+)(-,+)上是增函数上是增函数,a,bRa,bR.对于命于命题“若若a+b0,a+b0,则f(a)+f(b)ff(a)+f(b)f(-a)+f(-b(-a)+f(-b)”有如下有如下结论:其逆命其逆命题为真真;其否命其否命题为真真;其逆否命其逆否命题为真真;其逆命其逆命题和否命和否命题有且只有有且只有一个一个为真真.其中正确的命其中正确的命题结论个数个数为()A.1A.1B.2B.2C.3C.3D.4D.4【解析解析】选选C.C.先判断原命题先判断原命题:因为因为a+b0,a+b0,所以所以a-a-b,bb,b-a,-a,由于由于f(xf(x)为增函数为增函数,所以所以f

20、(a)f(-b),f(b)f(-af(a)f(-b),f(b)f(-a),),所以所以f(a)+f(b)f(-a)+f(-bf(a)+f(b)f(-a)+f(-b).).故原命题为真故原命题为真,根据互根据互为逆否命题的两个命题真假性相同可知为逆否命题的两个命题真假性相同可知,其逆否命题为其逆否命题为真真.下面判断否命题下面判断否命题:若若a+ba+b0,0,则则f(a)+f(bf(a)+f(b)f(-a)+f(-bf(-a)+f(-b),),由由a+ba+b00可得可得a-b,a-b,可得可得f(af(a)f(-bf(-b),),由由b-ab-a可得可得f(bf(b)f(-a),)f(-a)

21、,所以所以,f(a)+f(bf(a)+f(b)0,m0,则关于关于x x的方程的方程x x2 2+x-m=0+x-m=0有有实数数根根”,试写出它的否命写出它的否命题、逆命、逆命题和逆否命和逆否命题,并分并分别判判断它断它们的真假的真假.【解析解析】否命题为否命题为“若若m0,m0,则关于则关于x x的方程的方程x x2 2+x-m=0+x-m=0没有实数根没有实数根”;逆命题为逆命题为“若关于若关于x x的方程的方程x x2 2+x-m=0+x-m=0有实数根有实数根,则则m0m0”;逆否命题为逆否命题为“若关于若关于x x的方程的方程x x2 2+x-m=0+x-m=0没有实数根没有实数根

22、,则则m0m0”.由题意知由题意知=1+4m0,=1+4m0,即即m-m-时时,方程有实数根方程有实数根.所以所以m0m0使使1+4m0,1+4m0,方程方程x x2 2+x-m=0+x-m=0有实数根有实数根,所以原命题为真所以原命题为真,从而逆否命题为真从而逆否命题为真.但方程但方程x x2 2+x-m=0+x-m=0有实根有实根,只需只需m-,m-,不能推出不能推出m0,m0,故逆故逆命题为假命题为假,否命题为假否命题为假.自我自我纠错对命命题否定的理解否定的理解【典例典例】(2016(2016广州高二广州高二检测)“a a2 2+b+b2 200”的含的含义是是()A.a,bA.a,b

23、不全不全为0 0B.a,bB.a,b全不全不为0 0C.a,bC.a,b至少一个至少一个为0 0D.aD.a不不为0 0且且b b为0,0,或或b b不不为0 0且且a a为0 0【失失误案例案例】分析解分析解题过程程,找出找出错误之之处,并写出正确答案并写出正确答案.提示提示:错误的根本原因在于对错误的根本原因在于对a,ba,b全为全为0 0的否定理解偏差的否定理解偏差,考虑不全面考虑不全面.正确解答过程如下正确解答过程如下:【解析解析】选选A.A.方法一方法一:由由a a0 0或或b b0 0说明说明a,ba,b不全为不全为0.0.方法二方法二:若若a=b=0,a=b=0,则则a a2 2+b+b2 2=0,=0,所以原命题为真所以原命题为真,则则a,ba,b不不全为全为0.0.