数学 第一章 三角函数 1.5 函数y=Asin（ωx+φ）的图象（1）2 新人教A版必修4 .ppt

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1、1.5 函数y=Asin(x+)的图象(一)A,对函数y=Asin(x+)的图象变化的影响(1)对函数y=sin(x+),xR的图象的影响左右(2)(0)对y=sin(x+)的图象的影响(3)A(A0)对y=Asin(x+)的图象的影响缩短伸长伸长缩短1判一判(正确的打“”，错误的打“”)(1)对函数y=Asin(x+)的图象进行变换时,必须先平移再伸缩.()(2)由函数y=sin x的图象得到函数y=sin(x+)的图象,需要向左平移个单位长度.()(3)“五点法”只能作函数y=sin x的图象,而不能作函数y=sin(x+)的图象.()【解析】(1)错误.图象变换时既可以先平移再伸缩,也可

2、以先伸缩再平移.(2)错误.只有当0时才向左平移.(3)错误.“五点法”既能作函数y=sin x的图象,也能作函数y=sin(x+)的图象.答案：(1)(2)(3)2.做一做(请把正确的答案写在横线上)(1)要得到函数 的图象，只需将函数y=sin x的图象_个单位长度.(2)将y=sin x图象上所有点的横坐标变为原来的 得到函数_的图象.(3)要得到函数 的图象，只需将函数y=sin x的图象向_平移 个单位长度，再将所得图象的纵坐标_.【解析】(1)利用函数图象平移的规律，只需将函数y=sin x的图象向左平移个单位长度.答案：向左平移(2)将横坐标变为原来的则会得到函数y=sin 3x

3、的图象.答案：y=sin 3x(3)只需将函数y=sin x的图象向右平移个单位长度，再将所得图象的纵坐标变为原来的2倍.答案：右变为原来的2倍【要点探究】知识点1 A,对函数y=Asin(x+)(A0,0)图象变 换的影响对A，,的三点说明(1)A越大,函数图象的最大值越大,最大值与A是正比例关系.(2)越大,函数图象的周期越小,越小,周期越大,周期与为反比例关系.(3)大于0时,函数图象向左平移,小于0时,函数图象向右平移,即“加左减右”.【微思考】(1)将y=sin(x+)(其中0)的图象怎样变换，能得到y=sin x的图象？提示：将y=sin(x+)(其中0)的图象上所有的点向左(当0

4、时)平行移动|个单位长度便可得y=sin x的图象.(2)平移图象时应注意的关键点是什么？提示：应特别注意左右平移是对x的变化而言的.【即时练】1.在下列函数中：y=sin x与y=sin(+x)，y=cos x与 y=cos x与y=cos(+x)，y=sin x与y=它们的图象相同的序号是_.2.怎样把函数 的图象变换为y=sin x的图象？【解析】1.因为=cos x，所以y=cos x与的图象相同.答案：2.只要把函数的图象向右平移个单位长度，便得到的图象，即y=sin x的图象.知识点2 函数y=sin x到函数y=Asin(x+)(其中A0，0)的图象变换变换法作图的两种途径特别提

5、醒：两种途径的变换顺序不同,其中的变换量也不同,但平移的方向是一致的.【微思考】(1)用图象“变换法”作图主要有哪几种途径？提示：有两种主要途径：“先平移后伸缩”与“先伸缩后平移”.(2)三角函数图象的伸缩变换的实质是什么？提示：实质是对函数图象上各点的横坐标的伸缩变化和纵坐标的伸缩变化.【即时练】1.要得到y=sin x的图象，只需将y=cos x的图象()A.向右平移 个单位长度 B.向左平移 个单位长度C.向右平移个单位长度 D.向左平移个单位长度2.将y=sin 2x的图象向左平移 个单位长度，得到的图象对应的解析式为_.【解析】1.选A.y=cos xy=sin x.2.y=sin

6、2x y=答案：y=【题型示范】类型一 三角函数图象的平移变换、伸缩变换【典例1】(1)把 的图象上各点的横坐标缩短到原来的 倍(纵坐标不变)得到_的解析式.(2)(2014合肥高一检测)指出 的图象是怎样由y=sin x的图象变换得到的?【解题探究】1.题(1)中的横坐标缩短到原来的倍，则对于x的系数而言应如何变化？2.题(2)中变换前后的三角函数名称不同应如何处理？【探究提示】1.系数应变为原来的4倍.2.利用诱导公式将三角函数名称统一后再进行变换.【自主解答】(1)y=sin (4x)=sin 2x.答案：y=sin 2x(2)=所以的图象是由y=sin x的图象上所有点向左平移个单位长

7、度，再将所有点的纵坐标伸长到原来的倍得到的.【延伸探究】把题(2)改为：怎样由y=图象变换得到函数y=sin x的图象?【解析】因为=所以将函数y=的图象向右平移个单位长度即可得函数y=sin x的图象.【方法技巧】1.三角函数图象平移变换问题的解题策略(1)确定函数y=sin x的图象经过平移变换后图象对应的解析式,关键是明确左右平移的方向,按“左加右减”的原则进行.(2)已知两个函数解析式判断其图象间的平移关系时,首先要将解析式化为同名三角函数形式,然后再确定平移方向和单位.2.三角函数图象伸缩变换的方法【变式训练】由 的图象如何得到y=sin x的图象？【解析】=所以将的图象向右平移个单

8、位长度，得到y=sin x的图象.【误区警示】由，从而误认为将的图象向右平移个单位长度，得到y=sin x的图象.要特别注意左右平移是相对于x而言的.【补偿训练】把ysin x的图象上所有点的横坐标和纵坐标都缩短到原来的 倍，得到_的图象.【解析】将ysin x的图象横坐标缩短到原来的倍得ysin 3x的图象，纵坐标再缩短为原来的倍得到ysin 3x的图象答案：ysin 3x类型二 三角函数y=Asin(x+)的图象的综合变换【典例2】(1)给出几种变换：横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变；横坐标缩小到原来的 倍,纵坐标不变；向左平移 个单位长度；向右平移 个单位长度；向左平移 个单位长度；向

9、右平移 个单位长度.则由函数y=sin x的图象得到y=的图象,可以实施的方案是()A.B.C.D.(2)已知函数解析式为：利用“五点法”作出函数在一个周期(闭区间)上的简图.说明它是由函数y=sin x的图象经过哪些变换而得到的？【解题探究】1.在题(1)中，由函数y=sin x的图象得到y=的图象变换中是先平移变换还是先伸缩变换？2.利用“五点法”作出函数的图象时五点应取哪些值?【探究提示】1.可先平移变换再伸缩变换，也可以先伸缩变换再平移变换.2.利用整体化思想,分别令可得x的值分别为【自主解答】(1)选D.由y=sin x的图象到y=的图象可以先平移变换再伸缩变换,即；也可以先伸缩变换

10、再平移变换,即.(2)列表如下：描点画图如下：方法一：a.把y=sin x的图象上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍，横坐标不变，得y=2sin x的图象；b.将所得图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得y=2sin 的图象；c.将所得图象沿x轴向左平移个单位长度，得y=的图象，即的图象.方法二：a.将y=sin x的图象沿x轴向左平移个单位长度，得y=的图象；b.将所得图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得y=的图象；c.把所得图象上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍，横坐标不变，得到y=2 的图象.【方法技巧】1.“五点法”作图的实质利用“五点法”作函数f(x)=Asi

11、n(x+)的图象，实质是利用函数的三个零点,两个最值点画出函数在一个周期内的图象.2.用“五点法”作函数f(x)=Asin(x+)图象的步骤第一步：列表第二步：在同一坐标系中描出各点.第三步：用光滑曲线连接这些点，形成图象.【变式训练】用“五点法”画出函数 的图象，并说明此函数图象可由函数y=sin x的图象经过怎样的变换得到.【解题指南】利用整体化思想,分别令2可得x值.【解析】列表如下：描点画图：即可得的图象.方法一：把y=sin x的图象上所有点的纵坐标缩短到原来的倍，横坐标不变，得到y=sin x的图象；将所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，得y=sin 2x的图象；将

12、所得图象沿x轴向右平移个单位长度，得即的图象.方法二：将y=sin x的图象沿x轴向右平移个单位长度，得的图象；将所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，得的图象；把所得图象上所有点的纵坐标缩短到原来倍，横坐标不变，得到y=的图象.【补偿训练】函数y=sin 2x的图象向右平移个单位长度(0)得到的图象恰好关于x=对称,则的最小值是_.【解析】函数y=sin 2x的图象向右平移后得到y=sin 2(x)的图象，而x=是对称轴，即所以当k=1时，此时最小.答案：【易错误区】三角函数图象平移、伸缩变换中的误区【典例】把函数 的图象向左平移 个单位长度，再把所得图象上各点的横坐标扩大为原

13、来的2倍,则所得函数的解析式为()【解析】选D.把函数的图象向左平移个单位长度，可得的图象，即函数解析式为y=再把所得图象上各点的横坐标扩大为原来的2倍，可得的图象.【常见误区】错解解 错 因因 剖剖 析析 选A 不能正确理解平移的不能正确理解平移的实质，图象的左右平移象的左右平移是是针对x而言的而言的 选B 对伸伸缩变换理解不到位，理解不到位，对横坐横坐标扩大或大或缩小小为原来的倍数把握不准，原来的倍数把握不准，图象的伸象的伸缩是横是横坐坐标变为原来的原来的倍倍【防范措施】1.把握图象左右平移规律图象的平移应遵循“左加右减”的原则,且平移是针对x自身而言的,不理解这一点会出现本例选A的错误.2.把握图象的伸缩变换规律图象的伸缩变换,在变换中纵坐标不变,横坐标变为原来的倍,把握不准这一点,会出现本例选B的错误.【类题试解】(2014襄阳高一检测)把函数 的图象向右平移 个单位长度，然后把横坐标扩大为原来的3倍，则得到的函数解析式为_.【解析】把函数的图象向右平移个单位长度，则得到的图象，即解析式为y=，然后把横坐标扩大为原来的3倍，得到函数的图象，则解析式为答案：