数学 第一章 三角函数 1.2.2 同角三角函数的基本关系2 新人教A版必修4 .ppt

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1、1.2.2同角三角函数的基本关系【知识提炼知识提炼】同角三角函数的基本关系同角三角函数的基本关系【即时小测即时小测】1.1.判断判断.(1)(1)对任意角对任意角，sinsin2 2 +cos +cos2 2 =1 =1都成立都成立.(.()(2)(2)对任意角对任意角，=tan2=tan2都成立都成立.(.()(3)(3)若若sinsin=0=0，则，则coscos=1.(=1.()【解析解析】（1）正确）正确.对任意角任意角，sin2+cos2=1都成立，用都成立，用代代替替，可得，可得（2）错误.当当2=k+，k Z，即，即=，k Z时，cos 2=0.tan 2无意无意义.故故=tan

2、 2不成立不成立.（3）错误.若若sin=0，则cos=1.答案：答案：（1）（2）（3）2.2.化简化简 的结果是（的结果是（）【解析解析】选C.因因为角角是第二象限角，所以是第二象限角，所以cos 0，所以，所以3.3.已知已知coscos=，且，且是第四象限角，则是第四象限角，则sin=sin=（）【解析解析】选C.因因为是第四象限角，所以是第四象限角，所以sin 0，所以所以4.4.化简：化简：=_.=_.【解析解析】答案：答案：coscos 5.5.已知已知tan tan=-=-，(，)，则，则sin sin=_.=_.【解析解析】由已知得由已知得所以所以所以所以sin2=，由，由(

3、，)得得sin 0，所以所以sin=答案：答案：【知识探究知识探究】知识点知识点 同角三角函数的基本关系同角三角函数的基本关系观察图形，回答下列问题：观察图形，回答下列问题：问题问题1 1：同角三角函数的基本关系中：同角三角函数的基本关系中“同角同角”一词的含义是什么？一词的含义是什么？问题问题2 2：同角三角函数的基本关系式有哪些变形公式？：同角三角函数的基本关系式有哪些变形公式？【总结提升总结提升】对同角三角函数基本关系的五点说明对同角三角函数基本关系的五点说明(1)(1)同角三角函数的基本关系式揭示了同角三角函数的基本关系式揭示了“同角不同名同角不同名”的三角函数的的三角函数的运算规律，

4、这里，运算规律，这里，“同角同角”有两层含义：一是有两层含义：一是“角相同角相同”，二是对，二是对“任意任意”一个角一个角(在使函数有意义的前提下在使函数有意义的前提下).).关系式成立与角的表达形式关系式成立与角的表达形式无关，如无关，如sinsin2 23+cos3+cos2 23=1.3=1.(2)sin(2)sin2 2是是(sin)(sin)2 2的简写，不能写成的简写，不能写成sinsin2 2.(3)(3)在使用同角三角函数关系式时要注意使式子有意义，如式子在使用同角三角函数关系式时要注意使式子有意义，如式子tan90tan90=不成立不成立.(4)(4)注意公式的变形，如注意公

5、式的变形，如sinsin2 2=1-cos=1-cos2 2，coscos2 2=1-sin=1-sin2 2，sinsin=costancostan，coscos=等等.(5)(5)在应用平方关系式求在应用平方关系式求sinsin或或coscos时，其正负号是由角时，其正负号是由角所在的所在的象限决定的，不可凭空想象象限决定的，不可凭空想象.【题型探究题型探究】类型一类型一 利用同角三角函数的基本关系求值利用同角三角函数的基本关系求值【典例典例】(2015(2015淮安高一检测淮安高一检测)若若cos+2sin=-cos+2sin=-，求，求tantan的值的值.【解题探究解题探究】典例中，

6、根据题目条件能计算出典例中，根据题目条件能计算出sinsin和和coscos吗？换一吗？换一种思考方法，由已知条件是否可构建关于种思考方法，由已知条件是否可构建关于tantan的方程？的方程？提示：提示：由由sin2+cos2=1和已知等式可解出和已知等式可解出sin和和cos.由已知条件得由已知条件得 分子分母同除以分子分母同除以cos2可得关于可得关于tan的方程的方程.【解析解析】方法一：因方法一：因为cos+2sin=所以所以cos=-2sin又因又因为sin2+cos2=1，所以，所以sin2+(-2sin-)2=1，整理得整理得5sin2+4 sin+4=0，(sin+2)2=0，

7、解得解得sin=所以所以cos=所以所以方法二：因方法二：因为cos+2sin=-，所以，所以(cos+2sin)2=5，所以所以所以所以所以所以所以所以1+4tan+4tan2=5tan2+5，整理得整理得(tan-2)2=0，所以，所以tan=2.【延伸探究延伸探究】1.(1.(变换条件变换条件)将典例条件改为将典例条件改为sin+cossin+cos=，(0(0，)，结果，结果又如何？又如何？【解析解析】因因为sin+cos=，所以所以(sin+cos)2=，所以所以1+2sincos=，所以，所以2sincos=所以所以(sin-cos)2=1-2sincos=又因又因为(0，)，所以

8、，所以sin-cos0，所以所以sin-cos=，联立解得立解得所以所以2.(2.(变换条件，改变问法变换条件，改变问法)典例中，若已知典例中，若已知tantan=3=3，试求，试求cos+2sin.cos+2sin.【解析解析】方法一：因方法一：因为tan=3，所以，所以=3，sin=3cos，又因又因为sin2+cos2=1，所以，所以9cos2+cos2=1，所以，所以cos2=因因为tan=3，所以，所以为第一象限角或第三象限角，第一象限角或第三象限角，当当为第一象限角第一象限角时，所以所以cos+2sin=当当为第三象限角第三象限角时，所以所以cos+2sin=方法二：方法二：(co

9、s+2sin)2=由由tan=3，知，知为第一象限角或第三象限角，第一象限角或第三象限角，所以所以cos+2sin=【方法技巧方法技巧】1.1.求三角函数值的方法求三角函数值的方法(1)(1)已知已知sinsin(或或coscos)求求tantan常用以下方式求解常用以下方式求解(2)(2)已知已知tantan求求sinsin(或或coscos)常用以下方式求解常用以下方式求解当角当角的范围不确定且涉及开方时，常因三角函数值的符号问题而对的范围不确定且涉及开方时，常因三角函数值的符号问题而对角角分区间分区间(象限象限)讨论讨论.2.2.已知角已知角的正切求关于的正切求关于sinsin，cosc

10、os的齐次式的方法的齐次式的方法(1)(1)关于关于sinsin，coscos的齐次式就是式子中的每一项都是关于的齐次式就是式子中的每一项都是关于sinsin，coscos的式子且它们的次数之和相同，设为的式子且它们的次数之和相同，设为n n次，将分子，分母同除以次，将分子，分母同除以coscos的的n n次幂，其式子可化为关于次幂，其式子可化为关于tantan的式子，再代入求值的式子，再代入求值.(2)(2)若无分母时，把分母看作若无分母时，把分母看作1 1，并将，并将1 1用用sinsin2 2+cos+cos2 2来代换，将分来代换，将分子、分母同除以子、分母同除以coscos2 2，可

11、化为关于，可化为关于tantan的式子，再代入求值的式子，再代入求值.3.sin3.sincoscos与与sincossincos的应用的应用(sin+cos)(sin+cos)2 2=1+2sincos=1+2sincos，(sin-cos)(sin-cos)2 2=1-2sincos=(sin+cos)=1-2sincos=(sin+cos)2 2-4sincos-4sincos，sin+cossin+cos，sin-cossin-cos与与sincossincos三个式子，可以由其中一个，三个式子，可以由其中一个，求出另外两个的值求出另外两个的值.求值时，注意求值时，注意sin+coss

12、in+cos与与sin-cossin-cos整体的符号的判断整体的符号的判断.【补偿训练补偿训练】已知已知tantan=2=2，求，求 的值的值.【解析解析】因因为tan=2，所以，所以类型二类型二 利用同角三角函数基本关系化简利用同角三角函数基本关系化简【典例典例】1.(20151.(2015六安高一检测六安高一检测)已知已知是第一象限角，则是第一象限角，则 =(=()2.2.化简：化简：(1)(1)(2)(2)是第二象限角是第二象限角.【解题探究解题探究】1.1.典例典例1 1中，中，和和 如何化为平方的形式？如何化为平方的形式？提示：提示：2.2.典例典例2 2中，中，(1)(1)有有“

13、弦弦”有有“切切”如何处理？如何处理？(2)sin(2)sin，coscos的符号的符号分别是什么？分别是什么？提示：提示：(1)切化弦切化弦.(2)sin0，cos0.【解析解析】1.选D.原式原式=因因为是第一象限角，所以是第一象限角，所以0sin1，0cos0，cos0，所以所以sincos0，所以原式所以原式=-sincos.【延延伸伸探探究究】若若把把典典例例1 1中中根根号号下下的的“coscos”改改为为“sinsin”，“第第一象限角一象限角”改为改为“第二象限角第二象限角”，其他不变，化简结果是什么？，其他不变，化简结果是什么？【解析解析】原式原式=因因为是第二象限角，所以是

14、第二象限角，所以0sin1，-1cos0，所以原式所以原式=【方法技巧方法技巧】化简三角函数式的一般要求及化简技巧化简三角函数式的一般要求及化简技巧(1)(1)一般要求：一般要求：函函数数种种类类最最少少；项项数数最最少少；函函数数次次数数最最低低；能能求求值值的的求求值值；尽量使分母不含三角函数；尽量使分母不含三角函数；尽量使分母不含根式尽量使分母不含根式.(2)(2)化简技巧：化简技巧：化化切切为为弦弦，即即把把正正切切函函数数都都化化为为正正、余余弦弦函函数数，从从而而减减少少函函数数名名称称，达到化繁为简的目的达到化繁为简的目的.对对于于含含有有根根号号的的，常常把把根根号号里里面面的的部部分分化化成成完完全全平平方方式式，然然后后去去根根号达到化简的目的号达到化简的目的.对对于于化化简简含含高高次次的的三三角角函函数数式式，往往往往借借助助于于因因式式分分解解，或或构构造造sinsin2 2+cos+cos2 2=1=1，以降低函数次数，达到化简的目的，以降低函数次数，达到化简的目的.【变式训练变式训练】化简：化简：其中其中00【解析解析】因因为00，cos00，coscos000，coscos 130 13000，故故 =sin 130=sin 130-cos 130-cos 130，|cos 130|cos 130|=|=-cos 130-cos 130.