数学 第一章 三角函数 1.4.1 正弦函数、余弦函数的图象1 新人教A版必修4 .ppt

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1、1.4 三角函数的图象与性质1.4.1 正弦函数、余弦函数的图象【知识提炼知识提炼】正弦函数、余弦函数的图象正弦函数、余弦函数的图象函数函数y=sin xy=sin xy=y=coscos x x图图象象图图象画法象画法“五点法五点法”“五点法五点法”关关键键五点五点(0(0，0)0)，_，(，0)0)，_ _，(2(2，0)0)(0(0，1)1)，_ _，(，-1)-1)，_ _，(2(2，1)1)【即时小测即时小测】1.1.判断判断(1)(1)函数函数y=y=cosxcosx，x2kx2k，2(k+1)2(k+1)，kZkZ且且k0k0的图象与函数的图象与函数y=y=cosxcosx，x0

2、 x0，2)2)的图象的形状完全一致的图象的形状完全一致.(.()(2)(2)函数函数y=y=sinxsinx，x x 的图象与函数的图象与函数y=y=cosxcosx，x0 x0，22的图的图象的形状完全一致象的形状完全一致.(.()(3)(3)五点法画函数五点法画函数y=1-cosxy=1-cosx，x0 x0，22的图象时，五个关键点坐标的图象时，五个关键点坐标依次为依次为(0(0，0)0)，()()，(，0)0)，(2(2，0).(0).()提示：提示：(1)正确正确.将函数将函数y=cosx，x 0，2)的的图象向右象向右(或左或左)平移平移2k，k0(或或k00的解集为的解集为_.

3、_.【解析解析】观察察y=cosx，x 0，2的的图象可知，当象可知，当x 时，cosx0.故故cosx0的解集的解集为答案：答案：【知识探究知识探究】知识点知识点 正弦函数、余弦函数的图象正弦函数、余弦函数的图象观察图形，回答下列问题：观察图形，回答下列问题：问题问题1 1：由：由y=y=sinxsinx，x0 x0，22的图象如何得到的图象如何得到y=y=sinxsinx，xRxR的图象的图象？问题问题2 2：正弦曲线和余弦曲线形状一致吗？位置上有什么关系？：正弦曲线和余弦曲线形状一致吗？位置上有什么关系？【总结提升总结提升】1.1.函数函数y=y=sinxsinx，x0 x0，22与与y

4、=y=sinxsinx，xRxR的图象的关系的图象的关系(1)(1)函数函数y=y=sinxsinx，x0 x0，22的图象是函数的图象是函数y=y=sinxsinx，xRxR的的图象的一部分图象的一部分.(2)(2)因为终边相同的角有相同的三角函数值，所以函数因为终边相同的角有相同的三角函数值，所以函数y=y=sinxsinx，x2kx2k，2(k+1)2(k+1)，kZkZ且且k0k0的图象与函数的图象与函数y=y=sinxsinx，x0 x0，22的图象形状完全一致，因此将的图象形状完全一致，因此将y=y=sinxsinx，x0 x0，22的图象向左、的图象向左、右平行移动右平行移动(每

5、次移动每次移动22个单位长度个单位长度)，就可得到函数，就可得到函数y=y=sinxsinx，xRxR的图象的图象.2.2.正弦曲线和余弦曲线的关系正弦曲线和余弦曲线的关系3.3.“几何法几何法”和和“五点法五点法”画正、余弦函数图象的优缺点画正、余弦函数图象的优缺点(1)(1)“几何法几何法”就是利用单位圆中正弦线和余弦线作出正、余弦函数就是利用单位圆中正弦线和余弦线作出正、余弦函数图象的方法图象的方法.该方法作图较精确，但较为烦琐该方法作图较精确，但较为烦琐.(2)(2)“五点法五点法”是画三角函数图象的基本方法，在要求精度不高的情况是画三角函数图象的基本方法，在要求精度不高的情况下常用此

6、法下常用此法.【题型探究题型探究】类型一类型一 用用“五点法五点法”画三角函数的简图画三角函数的简图【典例典例】用用“五点法五点法”画出函数画出函数y=+y=+sinxsinx，x0 x0，22的图象的图象.【解题探究解题探究】用用“五点法五点法”画函数画函数y=Asinx+b(A0)y=Asinx+b(A0)，x0 x0，22的的图象时，五个关键点的横坐标依次是什么？图象时，五个关键点的横坐标依次是什么？提示：提示：依次是依次是0，2.【解析解析】按五个关键点列表：按五个关键点列表：x x0 022sinxsinx0 01 10 0-1-10 0 描点，并将它描点，并将它们用光滑的曲用光滑的

7、曲线连接起来接起来.(如如图)【延伸探究延伸探究】1.(1.(变换条件变换条件)将本例中将本例中“x0 x0，22”改为改为“x x ”，如，如何画函数图象何画函数图象.【解析解析】(1)(1)列表：列表：x x0 0sinxsinx-1-10 01 10 00 00 0(2)描点，并用光滑曲描点，并用光滑曲线连接可得其接可得其图象，如象，如图所示：所示：2.(2.(改变问法改变问法)用本例画图方法画出函数用本例画图方法画出函数y=-1-cosx(0 x2)y=-1-cosx(0 x2)的图象的图象.【解析解析】列表：列表：x x0 022cosxcosx1 10 0-1-10 01 1-1-

8、cosx-1-cosx-2-2-1-10 0-1-1-2-2描点作描点作图，如，如图所示：所示：【方法技巧方法技巧】用用“五点法五点法”画函数画函数y=Asinx+b(A0)y=Asinx+b(A0)或或y=Acosx+b(A0)y=Acosx+b(A0)在在00，22上简图的步骤上简图的步骤(1)(1)列表：列表：x x0 022sinxsinx(或或cosxcosx)0(0(或或1)1)1(1(或或0)0)0(0(或或-1)-1)-1-1(或或0)0)0(0(或或1)1)y yb b(或或A+bA+b)A+bA+b(或或b)b)b b(或或-A+bA+b)-A+bA+b(或或b)b)b b

9、(或或A+bA+b)(2)(2)描点：在平面直角坐标系中描出下列五个点：描点：在平面直角坐标系中描出下列五个点：(0(0，y)y)，(，y)y)，(2(2，y)y)，这里的，这里的y y是通过函数式计算得到的是通过函数式计算得到的.(3)(3)连线：用光滑的曲线将描出的五个点连接起来，不要用线段进行连连线：用光滑的曲线将描出的五个点连接起来，不要用线段进行连接接.【补偿训练补偿训练】(2015(2015上饶高一检测上饶高一检测)用用“五点法五点法”画出画出y=sinx+2y=sinx+2，xx00，22的简图的简图.【解析解析】(1)列表：列表：x x0 022sinx+2sinx+22 23

10、 32 21 12 2(2)描点：在坐描点：在坐标系内描出点系内描出点(0，2)，(，2)，(2，2).(3)作作图：将上述五点用平滑的曲：将上述五点用平滑的曲线顺次次连接起来接起来(实线).【延伸探究延伸探究】1.(1.(变换条件变换条件)将本题中将本题中x0 x0，22改为改为xx 试画函数的简试画函数的简图图.【解析解析】列表：列表：x x-0 0sinxsinx0 0-1-10 01 1sinx+2sinx+22 21 12 23 3描点作描点作图如如图所示所示2.(2.(改变问法改变问法)将本例函数改为将本例函数改为y=-sinx-1y=-sinx-1，x0 x0，22，试画其简图，

11、试画其简图.【解析解析】(1)(1)按五个关键点列表：按五个关键点列表：x x0 022-sinx-1-sinx-1-1-1-2-2-1-10 0-1-1(2)描点并用光滑曲描点并用光滑曲线连接可得其接可得其图象，如象，如图所示所示.类型二类型二 正弦函数、余弦函数图象的应用正弦函数、余弦函数图象的应用【典例典例】1.1.使不等式使不等式 -2sinx0-2sinx0成立的成立的x x的取值集合是的取值集合是()2.2.如果直线如果直线y=ay=a与函数与函数y=y=sinxsinx，x x 的图象有且只有一个交点，的图象有且只有一个交点，则则a a的取值范围是的取值范围是_._.3.3.根据

12、函数图象解不等式：根据函数图象解不等式：sinxsinx cosxcosx，x0 x0，2.2.【解题探究解题探究】1.1.典例典例1 1中，不等式应首先变形为什么形式？如何利用正中，不等式应首先变形为什么形式？如何利用正弦曲线解此不等式？弦曲线解此不等式？提示：提示：先先变形形为sinx ，正弦曲，正弦曲线在直在直线y=下方的点的横坐下方的点的横坐标的取的取值范范围.2.2.典例典例2 2中，画函数中，画函数y=y=sinxsinx，x x 有哪几个关键点？有哪几个关键点？提示：提示：3.3.典例典例3 3中，满足不等式中，满足不等式sinxsinx cosxcosx，x0 x0，22的的x

13、 x的几何意义是什的几何意义是什么？么？提示：提示：y=sinx，x 0，2的的图象在象在y=cosx，x 0，2上方的点的上方的点的横坐横坐标的取的取值.【解析解析】1.选C.不等式可化不等式可化为sinx .方法一：作方法一：作图，正弦曲，正弦曲线及直及直线y=如如图所示所示.由由图知，不等式的解集知，不等式的解集为方法二：如方法二：如图所示不等式的解集所示不等式的解集为x|2k-x2k+，k Z.2.画出函数画出函数y=sinx，x 及及y=a的的图象，如象，如图所示，所示，观察察图象可象可知，知，-1acosx，x 0，2的解集的解集为x|x .【延伸探究延伸探究】若把本例若把本例1

14、1中不等式改为中不等式改为 sinxsinx ，试求，试求x x的取值集的取值集合合.【解析解析】首先作出首先作出y=sinx在在0，2上的上的图象象.如如图所示，所示，作直作直线y=，根据特殊角的正弦，根据特殊角的正弦值，可知，可知该直直线与与y=sin x，x 0，2的交点横坐的交点横坐标为和和；作直；作直线y=，该直直线与与y=sin x，x 0，2的交点横坐的交点横坐标为和和.观察察图象可知，在象可知，在0，2上，当上，当或或时，不等式，不等式sin x 成立成立.所以所以 sin x 的解集的解集为x|+2kx +2k，或，或+2kxa(a(或或cosxcosxa)a)的方法的方法(

15、1)(1)作出直线作出直线y=ay=a，作出，作出y=y=sinxsinx(或或y=y=cosxcosx)的图象的图象.(2)(2)确定确定sinx=a(sinx=a(或或cosx=a)cosx=a)的的x x值值.(3)(3)确定确定sinxa(sinxa(或或cosxa)cosxa)的解集的解集.2.2.利用三角函数线解利用三角函数线解sinxa(sinxa(或或cosxa)cosxa)的方法的方法(1)(1)找出使找出使sinx=a(sinx=a(或或cosx=a)cosx=a)的两个的两个x x值的终边所在的位置值的终边所在的位置.(2)(2)根据变化趋势，确定不等式的解集根据变化趋势

16、，确定不等式的解集.【变式训练变式训练】求函数求函数y=y=的定义域的定义域.【解解题指南指南】解解logax0型不等式，先将不等式化型不等式，先将不等式化为logaxloga1，再，再根据根据a1，或，或0a1得到得到x与与1的大小关系的大小关系.【解析解析】由由log3sinx0，得，得log3sinxlog31所以所以sinx1，又因，又因为sinx1，所以所以sinx=1，所以，所以x=2k+，k Z，所以原函数的定所以原函数的定义域域为x R|x=2k+，k Z.【补偿训练补偿训练】若若sinxsinx=2m+1=2m+1且且xRxR，则，则m m的取值范围是的取值范围是_._.【解

17、析解析】由正弦函数由正弦函数图象得象得-1sinx1，所以所以-12m+11，所以，所以m-1，0.答案：答案：-1，0易错案例易错案例 利用正弦函数、余弦函数图象判断方程根的个数利用正弦函数、余弦函数图象判断方程根的个数【典例典例】方程方程sinxsinx=lgxlgx的解有的解有_个个.【失误案例失误案例】【错解分析错解分析】分析解题过程，你知道错在哪里吗？分析解题过程，你知道错在哪里吗？提提示示：错误的的根根本本原原因因是是y=lgx的的图象象所所过特特殊殊点点，找找错，y=sinx的的图象象，分分布布区区域域找找错，实际上上，y=lgx过点点(10，1).y=sinx的的图象象在在y=

18、-1和和y=1之之间.【自自我我矫正正】如如图所所示示，y=sinx与与y=lgx的的图象象有有3个个交交点点，故故方方程程有有3个解个解.答案：答案：3【防范措施防范措施】1.1.关注数形结合思想的应用关注数形结合思想的应用方程方程f(xf(x)=)=g(xg(x)根的个数问题可转化为函数根的个数问题可转化为函数y=y=f(xf(x)与与y=y=g(xg(x)图象交点图象交点个数问题个数问题.2.2.重视函数图象中关键点和线重视函数图象中关键点和线画函数图象一方面要注意其变化趋势，另一方面要注意关键点画函数图象一方面要注意其变化趋势，另一方面要注意关键点(与坐与坐标轴交点，最高、低点等标轴交点，最高、低点等)，关键线，如，关键线，如y=y=sinxsinx，xRxR图象，在图象，在y=-1y=-1与与y=1y=1之间，之间，y=y=lgxlgx过点过点(1(1，0)0)和和(10(10，1).1).