数学 第一章 三角函数 1.5 正弦函数的图像与性质1 北师大版必修4 .ppt

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1、1.5 正弦函数的图像与性质前面我们借助单位圆学习了正弦函数前面我们借助单位圆学习了正弦函数y=sin x的基的基本性质，下面画出正弦函数的图像，然后借助正本性质，下面画出正弦函数的图像，然后借助正弦函数的图像，进一步研究它的性质弦函数的图像，进一步研究它的性质.思考：思考：有什么办法画出该曲线的图象？有什么办法画出该曲线的图象？今天我们学习今天我们学习正弦函数的图像及性质正弦函数的图像及性质.1.1.理解正弦函数的性质理解正弦函数的性质.（难点）（难点）2 2.掌握正弦函数图像的掌握正弦函数图像的“五点作图法五点作图法”.(重点重点)(1)(1)列表列表.(2)(2)描点描点.按上表值作图按

2、上表值作图.(3)(3)连线连线.1.1.用描点法作出函数图像的主要步骤是怎样的？用描点法作出函数图像的主要步骤是怎样的？-探究点探究点1 1 正弦函数正弦函数y=y=sinxsinx的图像的图像(1)(1)列表列表.函数函数图像的几何作法图像的几何作法作法作法:(1)(1)等分等分.(2)(2)作正弦线作正弦线.(3)(3)平移平移.(4)(4)连线连线.2.因为终边相同的角的三角函数值相同，因为终边相同的角的三角函数值相同，所以所以y=y=sinxsinx的图像在的图像在 与与y=sinx,x0,2y=sinx,x0,2的图像相同的图像相同.3.3.正弦曲线正弦曲线正弦函数的图像叫作正弦曲

3、线正弦函数的图像叫作正弦曲线.与与x轴的交点轴的交点图像的最高点图像的最高点图像的最低点图像的最低点4.4.五点作图法五点作图法-11-1简图作法简图作法(1)(1)列表列表(列出对图像形状起关键作用的五点坐标列出对图像形状起关键作用的五点坐标).).(3)(3)连线连线(用光滑的曲线顺次连接五个点用光滑的曲线顺次连接五个点).).(2)(2)描点描点(定出五个关键点定出五个关键点).).O点不在多，五个就行点不在多，五个就行 思考思考 “五点法五点法”作图有何优、缺点作图有何优、缺点?提示提示:“五点法五点法”就是列表描点法中的一种就是列表描点法中的一种.它的优点它的优点是抓住关键点、迅速画

4、出图像的主要特征是抓住关键点、迅速画出图像的主要特征;缺点是图缺点是图像的精度不高像的精度不高.【即时训练】【即时训练】用用“五点法五点法”作作y=2sin 2xy=2sin 2x的图像时，首先描出的五的图像时，首先描出的五 个点的横坐标是个点的横坐标是()()【解析】【解析】令令2x=2x=得得B By=1y=1y=y=-1 1观察正弦函数观察正弦函数 y=sin y=sin x(xRx(xR)的图像的图像.xy1-1想一想：想一想：1.1.我们经常研究的函数性质有哪些？我们经常研究的函数性质有哪些？3.3.你能从中得到正弦函数的哪些性质？你能从中得到正弦函数的哪些性质？2.2.正弦函数的图

5、像有什么特点？正弦函数的图像有什么特点？探究点2 正弦函数y=y=sinxsinx的性质正弦函数正弦函数 y=y=sinxsinx的定义域为的定义域为R R1.1.定义域定义域2.2.值域值域从正弦函数的图像可以看出，正弦曲线夹在两条从正弦函数的图像可以看出，正弦曲线夹在两条平行线平行线y=1y=1和和y=-1y=-1之间，所以值域为之间，所以值域为-1,1-1,1当当xAxA时，函数取得最大值时，函数取得最大值1 1，反之，若函，反之，若函数取得最大值数取得最大值1 1时，时，xAxA.当当xBxB时，函数取得最小值时，函数取得最小值-1-1，反之，若函，反之，若函数取得最小值数取得最小值-

6、1-1时，时，xBxB.由正弦函数图像可以看出，当自变量由正弦函数图像可以看出，当自变量x x的值增加的值增加2 2的整数倍时，函数值重复出现，即的整数倍时，函数值重复出现，即正弦函数是周期正弦函数是周期函数，它的最小正周期是函数，它的最小正周期是2.2.3 3 周期性周期性由于正弦函数具有周期性，为了研究问题方便，我由于正弦函数具有周期性，为了研究问题方便，我们可以选取任意一个们可以选取任意一个x x值，讨论区间值，讨论区间 x,xx,x+2+2上的上的函数的性质，然后延拓到整个定义域上函数的性质，然后延拓到整个定义域上.思考思考1 1：观察正弦函数观察正弦函数y=y=sinx(xRsinx

7、(xR)的图像，能找的图像，能找出正弦函数的单调区间吗？出正弦函数的单调区间吗？4 4 单调性单调性选取区间选取区间 ，可知，可知在区间在区间单调性单调性在每一个区间在每一个区间_上是增加的；上是增加的；在每一个区间在每一个区间_上是减少的上是减少的.xy1-1O5 5 奇偶性奇偶性图像关于原点对称，奇函数关于原点对称图像关于原点对称，奇函数关于原点对称.根据诱导公式根据诱导公式sin(-x)=-sin xsin(-x)=-sin x，可知正弦函数是奇函，可知正弦函数是奇函数数观察正弦函数的图像，可以看到观察正弦函数的图像，可以看到【即时训练】【即时训练】下列关于函数下列关于函数y=sin x

8、-3y=sin x-3的说法中，不正确的是的说法中，不正确的是()()A.A.最小值为最小值为-4-4B.B.是奇函数是奇函数C.C.当当 kZ kZ时，函数取最大值时，函数取最大值-2-2D.D.是周期函数，且最小正周期是是周期函数，且最小正周期是22【解析】【解析】因为因为f(-x)=sin(-x)-3=-sin x-3f(-x)=sin(-x)-3=-sin x-3，显然显然f(-x)-f(x)f(-x)-f(x)，所以函数，所以函数y=sin x-3y=sin x-3不是奇函数不是奇函数.B B1-1y=-sinx,x 0,解：解：列表列表 xy例例1.1.用五点法画出用五点法画出y=

9、-y=-sinxsinx在区间在区间0,20,2上的简图上的简图.x x 0 0y=y=sinxsinx0 01 10 0-1-10 0y=-y=-sinxsinx0 0-1-10 01 10 0.Ox x0 00 01 10 0-1-10 01 12 21 10 01 1例例2.2.用五点法画出用五点法画出y=1+sinxy=1+sinx在区间在区间0,20,2上的简图上的简图.解：解：列表列表y=y=sinxsinxy=1+sinxy=1+sinxxyO-112 2.0,20,2x xsinxsinx,y y=【变式练习】【变式练习】用用“五点法五点法”画出函数画出函数y=3-sin x(

10、xy=3-sin x(x0,20,2)的图像的图像.【解析】【解析】(1)(1)列表列表.x x0 022sin xsin x0 01 10 0-1-10 03-sin x3-sin x3 32 23 34 43 3(2)(2)描点，连线，如图所示描点，连线，如图所示.对对“五点法五点法”画正弦函数图像的四点说明画正弦函数图像的四点说明:(1)(1)应用的前提条件是精确度要求不是太高应用的前提条件是精确度要求不是太高.(2)(2)五个点必须是确定的五点五个点必须是确定的五点.【特别提醒特别提醒】(3)(3)用光滑的曲线顺次连接时，要注意线的走向，一般用光滑的曲线顺次连接时，要注意线的走向，一般

11、在最高在最高(低低)点的附近要平滑，不要出现点的附近要平滑，不要出现“拐角拐角”现象现象.(4)(4)“五点法五点法”作出的是一个周期上的正弦函数图像，作出的是一个周期上的正弦函数图像，要得到整个正弦函数图像，还要要得到整个正弦函数图像，还要“平移平移”.x x0 0例例3 3 利用五点法画出函数利用五点法画出函数y=sinx-1y=sinx-1的简图的简图,并根据并根据图像讨论它的性质图像讨论它的性质.y=y=sinxsinxy=sinx-1y=sinx-1解：解：列表：列表：0 1 0 -1 00 1 0 -1 0-1 0 -1 -2 -1-1 0 -1 -2 -1x xy yO-1-11

12、 12 2 2.y=sinx-1y=sinx-1画出简图：画出简图：-2-2【解析】【解析】(1)k(1)k0 0时，当时，当sin x=1sin x=1时，函数时，函数y=ksin x+by=ksin x+b取取得最大值，得最大值，sin x=-1sin x=-1时，时，y=ksin x+by=ksin x+b取得最小值取得最小值.所以所以 解得解得【变式练习】【变式练习】函数函数y=ksin x+by=ksin x+b的最大值为的最大值为2,2,最小值为最小值为-4-4，求，求k,bk,b的值的值.(2)k(2)k0 0时，当时，当sin x=1sin x=1时，函数时，函数y=ksin

13、x+by=ksin x+b取得最小取得最小值，值，sin x=-1sin x=-1时，时，y=ksin x+by=ksin x+b取得最大值取得最大值.所以所以 解得解得综上可知，综上可知，k=3,b=-1k=3,b=-1或或k=-3,b=-1.k=-3,b=-1.函数函数y=sinx-1y=sinx-1定义域定义域值域值域奇偶性奇偶性周期性周期性单调性单调性最值最值R R-2,0-2,0既不是奇函数也不是偶函数既不是奇函数也不是偶函数22从图像观察从图像观察y=sinx-1y=sinx-1的性质并填写下表的性质并填写下表【解析】【解析】选选B.B.由由y=sin(-x)=-sin xy=si

14、n(-x)=-sin x知，其图像和知，其图像和y=sin x y=sin x 的图像关于的图像关于x x轴对称轴对称.1.1.函数函数y=sin(-x),xy=sin(-x),x0,20,2的简图是的简图是()()B B【解析】【解析】因为因为cos =cos =-sinx,cos =cos =-sinx,所以函数所以函数f(x)f(x)为奇函数为奇函数.2 2.函数函数f(x)=cos f(x)=cos 的奇偶性为的奇偶性为()A.A.偶函数偶函数B.B.奇函数奇函数C.C.非奇非偶函数非奇非偶函数 D.D.既是奇函数又是偶函数既是奇函数又是偶函数B B3.3.函数函数y=sin(x-1)

15、y=sin(x-1)的最小正周期是的最小正周期是()A.2A.2B.2B.2C.C.D.-1D.-1【解析】【解析】T=2.T=2.A A4 4.求函数求函数 的最大值及取得最大值时自变的最大值及取得最大值时自变量量x x的集合的集合.解：解：5 5.用五点法画出用五点法画出y=sin2xy=sin2x一个周期的简图一个周期的简图.1-1y=sin2x解：解：xy x 02x0y=sin2x010-10.O6.f(x)=6.f(x)=的最大值为的最大值为_,_,此时此时x x=_ _.=_ _.【解题关键】【解题关键】利用正弦函数的值域求解利用正弦函数的值域求解.【解析】【解析】因为因为-1

16、1,-1 1,所以所以-1 1,-1 1,所以所以-1+5 1+5,-1+5 1+5,即即 4,64,6,所以所以f(x)f(x)的最大值为的最大值为6.6.此时此时 即即 (kZ),(kZ),所以所以x=9+12k(kZ).x=9+12k(kZ).6 69+12k(kZ)9+12k(kZ)回顾本节课的收获回顾本节课的收获正弦函数正弦函数y=y=sinxsinx的图像的图像正弦函数正弦函数y=y=sinxsinx的性质的性质 正弦正弦函数函数的图的图像与像与性质性质 周期性周期性奇偶性奇偶性值域值域定义域定义域单调性单调性最值最值五点法五点法几何作法几何作法观察观察图象图象性质的应用性质的应用冰山在海里移动,它之所以显得庄严宏伟,是因为只有 露出水面.海明威老人与海