数学 第一章 三角函数 1.4.4 单位圆的对称性与诱导公式1 北师大版必修4 .ppt

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1、1.4.4 单位圆的对称性与诱导公式 在上几节课中，我们已经学习了任意角的正弦在上几节课中，我们已经学习了任意角的正弦函数的定义，以及终边相同的角的正弦函数值相函数的定义，以及终边相同的角的正弦函数值相等，即等，即sin(2k+)sin(kZ)，通过这个公式能，通过这个公式能把任意角的正弦函数值转化为求把任意角的正弦函数值转化为求0 0360360的角的角的正弦函数值吗？的正弦函数值吗？如果能的话，那么任意角的三角函数求值，都如果能的话，那么任意角的三角函数求值，都可以转化为锐角三角函数求值，并通过查表方法可以转化为锐角三角函数求值，并通过查表方法而得到最终解决，本课就来讨论这一问题而得到最终

2、解决，本课就来讨论这一问题1.1.理解正弦函数、余弦函数的诱导公式的推导过程理解正弦函数、余弦函数的诱导公式的推导过程.（重点）（重点）2.2.能了解诱导公式之间的关系，能相互推导能了解诱导公式之间的关系，能相互推导.（重点）（重点）3.3.能利用诱导公式解决化简、求值等问题能利用诱导公式解决化简、求值等问题.（难点）（难点）探究点探究点1 1 角角与角与角-的正弦函数、余弦函数关系的正弦函数、余弦函数关系思考思考1 1：对于任意给定的一个角对于任意给定的一个角，的终边与的终边与的终的终边有什么关系？边有什么关系？y y的终边的终边xO-的终边的终边关键看两关键看两角的对称角的对称关系关系思考

3、思考2 2：设角设角的终边与单位圆交于的终边与单位圆交于点点 P（x，y），则则-的终边与单位圆的交点坐标如何？的终边与单位圆的交点坐标如何？y的终边的终边xO-的终边的终边 P(x,y)P(x,-y)提示：提示：如图，如图，-的的终边与单位圆的交点终边与单位圆的交点坐标为坐标为P（x，-y）.公式：公式：思考思考3 3：根据三角函数的定义根据三角函数的定义，的正弦函数、余的正弦函数、余弦函数与弦函数与的正弦函数、余弦函数有什么关系？的正弦函数、余弦函数有什么关系？y的终边的终边xO-的终边的终边 P(x,y)P(x,-y)结论：结论：正弦函数正弦函数y=y=sinxsinx是奇函数是奇函数余

4、弦函数余弦函数y=y=cosxcosx是偶函数是偶函数 的终边的终边xy yO的的终边探究点探究点2 2 角角与角与角的正弦函数、余弦函数关系的正弦函数、余弦函数关系思考思考1 1：对于任意给定的一个角对于任意给定的一个角，角，角的终边与角的终边与角的的终边有什么关系？终边有什么关系？提示：提示：如图如图角角的终边与角的终边与角的终边关于原点的终边关于原点对称对称思考思考2 2：设角设角的终边与单位圆交于点的终边与单位圆交于点P（x，y），则），则角角的终边与单位圆的交点坐标如何？的终边与单位圆的交点坐标如何？的终边的终边xyO的的终边P(x，y)Q(-x，-y)提示：提示：坐标互为坐标互为相

5、反数相反数思考思考3 3：根据三角函数定义，根据三角函数定义，sinsin（），coscos（）的值分别是什么？的值分别是什么？的的终边xy yO 的终边的终边P(x，y)Q(-x，-y)sin()=-ycos()=-x 思考思考1 1：利用利用-=+（-），），结合上述公式，你合上述公式，你能得到什么能得到什么结论？探究点探究点3 3 角角与与-的正弦函数、余弦函数关系的正弦函数、余弦函数关系这两个公式也可以由前两组公式推出：这两个公式也可以由前两组公式推出：提示：提示：-，的三角函数值，等于的三角函数值，等于的同名函数值，再放上原函数的象限符号的同名函数值，再放上原函数的象限符号.简化成简

6、化成“函数名不变，符号看象限函数名不变，符号看象限”的口诀的口诀思考思考2：以上公式都叫作以上公式都叫作诱导公式公式，它，它们分分别反映了反映了，的三角函数与的三角函数与的三角函数之的三角函数之间的的关系，你能概括一下关系，你能概括一下这四四组公式的共同特点和公式的共同特点和规律律吗？诱导公式作用：转化为诱导公式作用：转化为 090的角的角(1)(1)终边相同的角的同一个三角函数值相等终边相同的角的同一个三角函数值相等.(.()(2)(2)若角若角与角与角的终边关于的终边关于y y轴对称，必有轴对称，必有=-=-成立成立.(.()(3)(3)已知已知A A，B B，C C是三角形是三角形ABC

7、ABC的三个内角，则的三个内角，则cos(A+B)=cos(A+B)=-cos C.(-cos C.()【即时训练即时训练】判断判断解：解：(1)(1)结合三角函数线可知，终边相同，三角函数值相等结合三角函数线可知，终边相同，三角函数值相等.(2)(2)当角当角与与终边关于终边关于y y轴对称时，那么角轴对称时，那么角与与-终边相终边相同，故应有同，故应有=2k+-(kZ)=2k+-(kZ)，所以结论错误，所以结论错误.(3)(3)在在ABCABC中，中，A+B+C=A+B+C=，所以，所以cos(A+B)=cos(-C)=-cos cos(A+B)=cos(-C)=-cos C C，结论正确

8、，结论正确.例例1 1求下列各角的三角函数值：求下列各角的三角函数值：解：解：一般步骤：一般步骤：变号变号转化转化求值求值 探究点探究点4 4 角角与与 的正弦函数、余弦函数关系的正弦函数、余弦函数关系如图，利用单位圆作出任意锐角如图，利用单位圆作出任意锐角与单位圆相交与单位圆相交于点于点 角角 的终边与单位圆交于点的终边与单位圆交于点PP，由平面几何知识可知由平面几何知识可知,思考：思考：如何得到下列两个等式如何得到下列两个等式以上两组诱导公式口诀以上两组诱导公式口诀:“函数名改变函数名改变,符号看象限符号看象限.”提示提示:对于任意角对于任意角，下列关系式成立：，下列关系式成立：（1.81

9、.8）（1.91.9）（1.101.10）（1.111.11）（1.121.12）（1.131.13）（1.141.14）公式公式1.81.81.141.14叫作正弦函数、余弦函数的诱导公叫作正弦函数、余弦函数的诱导公式式.任意负角的正弦函数、余弦函数任意负角的正弦函数、余弦函数任意正角的正弦函数、余弦函数任意正角的正弦函数、余弦函数0 02 2 角的正弦函数、余弦函数角的正弦函数、余弦函数锐角的正弦函数、余弦函数锐角的正弦函数、余弦函数用公式用公式1.81.8或或1.91.9用公式用公式1.81.8用公式用公式1.101.101.141.14例例2 2 求下列函数值：求下列函数值：例例3 3

10、 化简化简解：解：原式原式【变式练习变式练习】1.1.求下列三角函数值：求下列三角函数值：2.2.求求sin(-60sin(-60)+cos120)+cos120+sin390+sin390+cos210+cos210.解：解：sin(-60sin(-60)+cos120)+cos120+sin390+sin390+cos210+cos210=-sin60=-sin60+cos(180+cos(180-60-60)+sin(360)+sin(360+30+30)+cos(180+cos(180+30+30)=-sin60=-sin60-cos60-cos60+sin30+sin30-cos30

11、-cos30=3.3.已知已知coscos(+(+)=,)=,且且 是第二象限角是第二象限角,求求sin(sin(-)-)的值的值.解：解：因为因为 是第二象限角，是第二象限角，所以所以【特别提醒特别提醒】解答这类给值求值的问题，首先应把所给的值进行解答这类给值求值的问题，首先应把所给的值进行化简，再结合被求值的式子的特点，观察所给值的化简，再结合被求值的式子的特点，观察所给值的式子与被求式的特点，找出它们之间的内在联系，式子与被求式的特点，找出它们之间的内在联系，特别是角之间的关系，恰当地选择诱导公式特别是角之间的关系，恰当地选择诱导公式4.4.化简化简 =_.=_.【解题关键】【解题关键】

12、1 4401 440=4=4360360,1 080,1 080=3=3360360.【解析】【解析】(1)(1)原式原式=1 15.5.已知已知为第三象限角，为第三象限角，f()=f()=（1 1）化简化简f()f()；（2 2）若）若 求求f()f()的值的值.解解:f()=f()=因为因为=cos=cos，所以，所以 即即【特别提醒】【特别提醒】化简三角函数式的策略化简三角函数式的策略(1)(1)化简时要使函数类型尽量少化简时要使函数类型尽量少,角的弧度数角的弧度数(或角度数或角度数)的绝对值尽量小的绝对值尽量小,特殊角的正弦、余弦函数要求出值特殊角的正弦、余弦函数要求出值.(2)(2)要认真观察有关角之间的关系要认真观察有关角之间的关系,根据需要合理选择诱根据需要合理选择诱导公式变角导公式变角.正弦函数和余弦函数的诱导公式正弦函数和余弦函数的诱导公式sin cos-sin cos-sin cos sin-cos-sin-cos cos-sin cos sin 把希望建筑在意欲和心愿上面的人们，二十次中有十九次都会失望.大仲马