数学 第一章 三角函数 1.1.2 弧度制3 新人教A版必修4 .ppt

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1、1.1.2 弧度制1.度量角的两种制度单单位制位制内容内容角度制角度制周角的周角的 为为1 1度角，度角，记记作作1 1；用；用_作作为单为单位位来度量角的来度量角的单单位制叫做角度制位制叫做角度制弧度制弧度制长长度等于度等于_的弧所的弧所对对的的圆圆心角叫做心角叫做1 1弧弧度的角度的角.1.1弧度弧度记记作作1_1_，以，以_为单为单位来位来度量角的度量角的单单位制叫做弧度制位制叫做弧度制半径长rad弧度度2.角度制与弧度制的换算(1)弧度数正角的弧度数是一个_.负角的弧度数是一个_.零角的弧度数是_.正数负数0(2)弧度数的计算|=.如图：(3)角度制与弧度制的换算3.扇形的弧长和面积公

2、式设扇形的半径为R，弧长为l，(00)的角，弧AB和AB的长分别是l和l，点A和A到点O的距离(即圆的半径)分别是r(r0)和r(r0)，由初中学过的弧长公式可得：于是因此用圆心角所对的弧长与半径之比来度量这个圆心角是合理的.2.引入弧度制的意义引入了弧度制后，统一了角度与长度的单位，使角的集合与实数集之间建立了一一对应的关系即每一个角都有唯一一个实数(即这个角的弧度数)与它对应；反过来，每一个实数也都有唯一一个角(角的弧度数就等于这个实数)与它对应为下面学习三角函数做了知识上的铺垫.【微思考】(1)角1这种表达方式正确吗？提示：正确用弧度制表示角时，“弧度”二字或“rad”通常略去不写，角1

3、就表示是1 rad的角(2)单位长度的弧长所对的圆心角是1弧度吗？提示：不是.只有在以单位长度为半径的圆中，单位长度的弧所对的圆心角才是1弧度的角.【即时练】1.下列说法正确的是()A.1弧度是1度的圆心角所对的弧B.1弧度是长度为半径的弧C.1弧度是1度的弧与1度的角之和D.1弧度是长度等于半径长的弧所对的圆心角，它是角的一种度量单位【解析】选D.根据1弧度的定义，我们把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，即可判断D正确2.(2014抚顺高一检测)下列说法不正确的是()A.“度”与“弧度”是度量角的两种不同的度量单位B1度的角是圆周的 所对的圆心角，1弧度的角是圆周的 所对的圆心角

4、C.根据弧度的定义知，180度一定等于 radD不论是用角度制还是用弧度制度量角，它们都与圆的半径的长短有关【解析】选D.根据角度与弧度的定义可知，无论是角度制还是弧度制，角的大小都与半径的长短无关，所以D错误.知识点 2 弧度制下弧长公式、扇形面积公式对弧度制下弧长公式和扇形面积公式的三点说明(1)由公式可知，由，l，R，S中的两个量可以求出另外的两个量，即知二求二.(2)运用弧度制下的弧长公式及扇形的面积公式明显比角度制下的公式简单得多，但要注意它的前提是在弧度制的前提下.(3)在运用公式时，还应熟练地掌握这两个公式的变形应用：lR，【微思考】扇形的两种面积公式选择的依据是什么？提示：若已

5、知弧长时，可使用若已知圆心角时，可使用无论使用哪种公式，都必须有半径R.【即时练】1.已知扇形的半径是16，圆心角是2弧度，则扇形的弧长是_【解析】1.因为R16，2 rad，所以lR21632.答案：322.已知扇形的半径为1，圆心角为1弧度，则其面积是_.【解析】由弧长公式可得扇形的弧长为1，故其面积为答案：【题型示范】类型一 角度和弧度的互化及应用【典例1】(1)将下列角度与弧度进行互化.20=_；15=_；=_；=_.(2)把1 480写成2k(kZ)的形式，其中02；在0,4中找出与 角终边相同的角【解题探究】1.题(1)中角度和弧度换算的依据是什么？2.解题(2)的关键是什么？解题

6、(2)的关键是什么？【探究提示】1.角度与弧度换算的关键是1=2.解题(2)时关键是将角度换算为弧度；解题(2)时关键是将弧度换算为角度【自主解答】(1)20答案：15答案：答案：105答案：-396(2)因为1 480所以其中因为所以终边与角相同的角为72k360(kZ)，当k0时，72=当k1时，432=所以在0,4中与角终边相同的角为【方法技巧】角度制与弧度制的互化的原则、方法以及注意点(1)原则：牢记180=rad，充分利用1=和1 rad=进行换算.(2)方法：设一个角的弧度数为，角度数为n，则 rad=(3)注意点：以“弧度”为单位度量角时，“弧度”二字或“rad”可以省略不写.以

7、“弧度”为单位度量角时，常常把弧度数写成多少的形式，如无特别要求，不必把写成小数.度化弧度时，应先将分、秒化成度，再化成弧度.【变式训练】将下列各角化成2k(02，kZ)的形式，并指出它们是第几象限角(1)1 725.(2)870.【解析】(1)因为1 725536075，所以所以1 725与的终边相同，故1 725是第一象限角(2)870角870与终边相同，故870是第二象限角【补偿训练】设集合 N|，则MN_.【解析】分别取k1,0,1,2，得所以MN=答案：类型二 弧长公式及扇形面积公式的应用【典例2】(1)(2014福州高一检测)已知扇形的圆心角为120，半径为 cm，则此扇形的面积为

8、_.(2)已知扇形的周长为10 cm，面积为4 cm2，求扇形圆心角的弧度数【解题探究】1.题(1)中据已知条件，可利用扇形的哪个面积公式求面积？2.题(2)中需选用扇形的哪个面积公式？【探究提示】1.由于已知扇形的圆心角和半径，可利用、扇形面积公式S2.已知周长与面积，故可选用公式【自主解答】(1)设扇形弧长为l，因为120所以所以答案：cm2(2)设扇形圆心角的弧度数为(02 rad舍去当R4时，l2(cm)，此时，【延伸探究】在本题(2)中，若扇形的周长10 cm改为40 cm，又如何求它的半径和圆心角取什么值时，才能使扇形的面积最大？最大面积是多少？【解析】设扇形的圆心角为，半径为R，

9、弧长为l，面积为S，则l2R40,所以l402R，所以所以当半径R10 cm时，扇形的面积最大这个最大值为100 cm2，这时【方法技巧】弧度制下有关弧长、扇形面积问题的解题策略(1)明确弧度制下弧长公式l=R，扇形的面积公式是S其中l是扇形的弧长，是扇形的圆心角.(2)涉及扇形的周长、弧长、圆心角、面积等的计算,关键是先分析题目已知哪些量求哪些量,然后灵活运用弧长公式、扇形面积公式直接求解或列方程(组)求解.【变式训练】已知扇形AOB的圆心角为 半径长为6，求：(1)弧AB的长.(2)扇形所含弓形的面积【解题指南】(1)将角度化为弧度，再根据公式求解弧长.(2)利用扇形面积减去三角形面积.【

10、解析】(1)lR所以弧AB的长为4.(2)S扇形OAB如图所示，过点O作ODAB，交AB于D点，所以AOD=60,于是有SOAB所以弓形的面积为S扇形OABSOAB所以弓形的面积是【补偿训练】已知一扇形的圆心角为 半径为R，则该扇形的内切圆面积与扇形面积之比为_【解题指南】先求出圆的半径r与扇形半径R的比为13，再求它们的面积的比【解析】据题意，设内切圆的半径为r,则故3r=R,即故内切圆面积为S内切=r2=扇形面积S扇=故故面积之比为23.答案：23【易错误区】运算时角度制和弧度制混用而致错【典例】(2014西安高一检测)将1 485化成2k(02，kZ)的形式为_【解析】因为1 48543

11、60454360(360315)5360315，又5360=10，315=所以1 485可以表示为答案：【常见误区】错解错解错因剖析错因剖析-10+315-10+315若在阴影处只考虑了将若在阴影处只考虑了将-1 485-1 485写成了写成了“2k+2k+”的组合形式，而忽视了对的组合形式，而忽视了对的的要求，忽视了角度和弧度的统一，这是初学要求，忽视了角度和弧度的统一，这是初学者极易犯的一个错误者极易犯的一个错误【防范措施】角度制与弧度制互化中的要求在同一式子中，两种单位不能混用，即表示角时，要么全用角度制，要么全用弧度制，如本例中错解就是由于单位混用而致错.【类题试解】把角-690化为2k+(02，kZ)的形式为_.【解析】方法一：因为-690=所以即-690=方法二：因为-690=-2360+30，所以-690=答案：