数学 第一章 三角函数 1.5 函数y=Asin（ωx+φ）的图象（1）3 新人教A版必修4 .ppt

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1、1.5函数y=Asin(x+)的图象(一)【知识提炼知识提炼】1.1.对函数对函数y=y=sin(x+sin(x+)，xRxR的图象的影响的图象的影响左右2.(0)2.(0)对对y=y=sin(x+sin(x+)的图象的影响的图象的影响缩短伸长3.A(A0)3.A(A0)对对y=y=Asin(x+Asin(x+)的图象的影响的图象的影响伸长缩短【即时小测即时小测】1 1判断判断(1)(1)由函数由函数y=y=sin(xsin(x+)+)的图象得到的图象得到y=sin xy=sin x的图象，必须向左平移的图象，必须向左平移.(.()(2)(2)把函数把函数y=sin xy=sin x的图象上点

2、的横坐标伸长到原来的的图象上点的横坐标伸长到原来的3 3倍就得到函数倍就得到函数y=sin 3xy=sin 3x的图象的图象.().()(3)(3)在进行函数在进行函数y=y=Asin(x+Asin(x+)图象间变换的时候必须先左右平移，图象间变换的时候必须先左右平移，再进行伸缩变换再进行伸缩变换.().()【解析解析】(1)错误，向左、右平移均可得到，向左、右平移均可得到y=sin x的的图象象.(2)错误，应是是缩短到原来的短到原来的倍倍.(3)错误，进行行图象象变换既可以先左右平移，也可以先伸既可以先左右平移，也可以先伸缩变换.答案：答案：(1)(2)(3)2.2.要得到函数要得到函数y

3、=y=sin(xsin(x-)-)的图象，可以将函数的图象，可以将函数y=sin xy=sin x的图象的图象()()A.A.向左平移向左平移 个单位长度个单位长度B.B.向右平移向右平移 个单位长度个单位长度C.C.向左平移向左平移 个单位长度个单位长度D.D.向右平移向右平移 个单位长度个单位长度【解析解析】选B.将函数将函数y=sin x的的图象向右平移象向右平移 个个单位位长度得度得y=sin(x-)的的图象象.3.3.将函数将函数y=sin 3xy=sin 3x的图象上所有点的横坐标缩短到原来的的图象上所有点的横坐标缩短到原来的 倍倍(纵坐纵坐标不变标不变)可得到函数可得到函数_的图

4、象的图象.【解析解析】将函数将函数y=sin 3x的的图象上所有点的横坐象上所有点的横坐标缩短到原来的短到原来的倍倍(纵坐坐标不不变)可得，函数可得，函数y=sin(33x)=sin 9x的的图象象.答案：答案：y=sin 9x4.4.将函数将函数y=3sin xy=3sin x的图象上所有点的纵坐标的图象上所有点的纵坐标_到原来的到原来的_倍倍(横坐标不变横坐标不变)可得到函数可得到函数y=2sin xy=2sin x的图象的图象.【解析解析】将函数将函数y=3sin x的的图象上所有点的象上所有点的纵坐坐标缩短到原来的短到原来的倍倍(横坐横坐标不不变)可得到函数可得到函数y=2sin x的

5、的图象象.答案：答案：缩短短5.5.为了得到函数为了得到函数y=cos(2x-)(y=cos(2x-)(xRxR)的图象，可首先把余弦曲线上所的图象，可首先把余弦曲线上所有点向有点向_平移平移 个单位长度，再把所有点的横坐标个单位长度，再把所有点的横坐标_到原来的到原来的_倍倍.【解析解析】首先把余弦曲首先把余弦曲线上的所有点向右平移上的所有点向右平移 个个单位位长度得度得y=cos(x-)的的图象，再把所有点的横坐象，再把所有点的横坐标缩短到原来的短到原来的 倍得函数倍得函数y=cos(2x-)的的图象象.答案：答案：右右缩短短【知识探究知识探究】知知识识点点1 1 A A，对对函函数数y=

6、y=Asin(x+Asin(x+)(A)(A00，0)0)图图象象变变换换的的影影响响观察如图所示内容，回答下列问题：观察如图所示内容，回答下列问题：问题问题1 1：A A与函数与函数y=y=Asin(x+Asin(x+)的最大的最大(小小)值有什么关系？值有什么关系？问题问题2 2：与函数与函数y=y=Asin(x+Asin(x+)的周期有什么关系？的周期有什么关系？问题问题3 3：正弦曲线变形到：正弦曲线变形到y=y=sin(x+sin(x+)的过程与的过程与有什么关系？有什么关系？【总结提升总结提升】对对A A，的三点说明的三点说明(1)A(1)A越大，函数图象的最大值越大，最大值与越大

7、，函数图象的最大值越大，最大值与A A是正比例关系是正比例关系.(2)(2)越大，函数图象的周期越小，越大，函数图象的周期越小，越小，周期越大，周期与越小，周期越大，周期与为为反比例关系反比例关系.(3)(3)大于大于0 0时，函数图象向左平移，时，函数图象向左平移，小于小于0 0时，函数图象向右平移，时，函数图象向右平移，即即“加左减右加左减右”.知识点知识点2 2 函数函数y=y=sinxsinx到函数到函数y=y=Asin(x+Asin(x+)()(其中其中A0A0，0)0)的图象的图象变换变换观察如图所示内容，回答下列问题：观察如图所示内容，回答下列问题：问题问题1 1：正弦曲线变换到

8、函数：正弦曲线变换到函数y=y=Asin(x+Asin(x+)的图象有哪几种方法？的图象有哪几种方法？问题问题2 2：y=y=sinxsinx到到y=y=sin(x+sin(x+)和和y=y=sinxsinx到到y=y=sin(x+sin(x+)的平移量的平移量相同吗？相同吗？【总结提升总结提升】变换法作图的两种途径变换法作图的两种途径(1)y=sinx y=sin(x+(1)y=sinx y=sin(x+)y=sin(x+y=sin(x+)y=Asin(x+)y=Asin(x+)(2)y=sinx y=sinx (2)y=sinx y=sinx y=sin(x+y=sin(x+)y=Asin

9、(x+)y=Asin(x+)说明：两种途径的变换顺序不同，其中的变换量也不同，但平移的方说明：两种途径的变换顺序不同，其中的变换量也不同，但平移的方向是一致的向是一致的.【题型探究题型探究】类型一类型一 “五点法五点法”作函数作函数y=y=Asin(x+Asin(x+)+b)+b的图象的图象【典例典例】已知函数已知函数f(xf(x)=3sin()+3(xR)=3sin()+3(xR)，用五点法画出它在一，用五点法画出它在一个周期内的闭区间上的图象个周期内的闭区间上的图象.【解题探究解题探究】本例中五个关键点的纵坐标分别是什么？相应横坐标如本例中五个关键点的纵坐标分别是什么？相应横坐标如何计算？

10、何计算？提示：提示：纵坐坐标分分别是是30+3，31+3，30+3，3(-1)+3，30+3横坐横坐标由由=0，2分分别求出求出.【解析解析】(1)列表列表(2)描点画描点画图【延伸探究延伸探究】1.(1.(变换条件变换条件)将本例函数解析式中的将本例函数解析式中的 改为改为x x其他条件不变，结果如其他条件不变，结果如何？何？【解析解析】(1)列表列表(2)(2)描点画描点画图2.(2.(变换条件变换条件)将本例函数解析式中的将本例函数解析式中的 改为改为 ，其他条件不变，结果，其他条件不变，结果如何？如何？【解析解析】(1)列表列表 (2)描点画描点画图(改变问法改变问法)本例条件不变，画

11、它在本例条件不变，画它在0 0，44上的图象上的图象.【解析解析】(1)列表列表(2)(2)描点画描点画图【方法技巧方法技巧】1.1.“五点法五点法”作图的实质作图的实质利用利用“五点法五点法”作函数作函数f(xf(x)=)=Asin(x+Asin(x+)的图象，实质是利用函数的的图象，实质是利用函数的三个零点，两个最值点画出函数在一个周期内的图象三个零点，两个最值点画出函数在一个周期内的图象.2.2.用用“五点法五点法”作函数作函数f(xf(x)=)=Asin(x+Asin(x+)图象的步骤图象的步骤第一步：列表第一步：列表第二步：在同一坐标系中描出各点第二步：在同一坐标系中描出各点.第三步

12、：用光滑曲线连接这些点，形成图象第三步：用光滑曲线连接这些点，形成图象.【补偿训练补偿训练】已知函数已知函数f(xf(x)=2sin(2x-)+1)=2sin(2x-)+1，用，用“五点法五点法”画出该函画出该函数在一个周期内的简图数在一个周期内的简图.【解析解析】(1)(1)列表列表(2)描点画描点画图【延伸探究延伸探究】1.(1.(变换条件变换条件)将本题函数解析式中将本题函数解析式中“2x2x”改为改为“x x”，其他条件不变，其他条件不变，结果如何？结果如何？【解析解析】(1)列表列表(2)(2)描点画描点画图2.(2.(变换条件变换条件)将本题函数解析式中的将本题函数解析式中的-改为

13、改为 ，其他条件不变，其他条件不变，结果又如何？结果又如何？【解析解析】(1)列表列表(2)(2)描点画描点画图3.(3.(改变问法改变问法)本题条件不变，画它在本题条件不变，画它在0 0，上的图象上的图象.【解析解析】(1)列表列表(2)描点画描点画图 类型二类型二 三角函数图象的平移变换三角函数图象的平移变换【典例典例】1.(20141.(2014四川高考四川高考)为了得到函数为了得到函数y=sin(2x+1)y=sin(2x+1)的图象，只需的图象，只需把函数把函数y=sin 2xy=sin 2x的图象上所有的点的图象上所有的点()()A.A.向左平行移动向左平行移动 个单位长度个单位长

14、度B.B.向右平行移动向右平行移动 个单位长度个单位长度C.C.向左平行移动向左平行移动1 1个单位长度个单位长度D.D.向右平行移动向右平行移动1 1个单位长度个单位长度2.(20152.(2015苏州高一检测苏州高一检测)要得到函数要得到函数y=sin(-2x)y=sin(-2x)，只需将函数，只需将函数y=y=coscos 2x 2x的图象向的图象向_平移平移_个单位长度个单位长度.【解题探究解题探究】1.1.典例典例1 1中，为确定平移方向和平移量，需对中，为确定平移方向和平移量，需对y=sin(2x+1)y=sin(2x+1)进行怎样的变形？进行怎样的变形？提示：提示：y=sin(2

15、x+1)=sin2(x+).2 2典例典例2 2中，为确定平移方向和平移量需对中，为确定平移方向和平移量需对y=sin(-2x)y=sin(-2x)进行怎样的进行怎样的变形？变形？提示：提示：【解析解析】1.选A.因因为y=sin(2x+1)=sin2(x+)，故可由函数，故可由函数y=sin 2x的的图象上所有的点向左平行移象上所有的点向左平行移动 个个单位位长度得到度得到.2.因因为只需将函数只需将函数y=cos 2x的的图象向左平移象向左平移 个个单位位长度，可得到此函数度，可得到此函数的的图象象.答案：答案：左左【延伸探究延伸探究】若把本例若把本例2 2中的中的“-2x -2x”改为改

16、为“+2x +2x”，其他条件不，其他条件不变，应如何变换？变，应如何变换？【解析解析】因因为所以所以y=cos 2x的的图象向右平移象向右平移个个单位位长度，可得度，可得y=sin(+2x)的的图象象.【方法技巧方法技巧】1.1.图象平移变换的依据图象平移变换的依据(1)(1)左右平移左右平移将函数将函数y=y=f(xf(x)的图象沿的图象沿x x轴方向平移轴方向平移|a|a|个单位后，得到函数个单位后，得到函数y=f(x+a)(a0)y=f(x+a)(a0)的图象，当的图象，当a0a0时，向左平移，当时，向左平移，当a0a0b0时，向上平移，当时，向上平移，当b0b0)0)y=sin(x+

17、y=sin(x+)=)=sin(x+).sin(x+).【变式训练变式训练】1.(20151.(2015山东高考山东高考)要得到函数要得到函数y=sin(4x-)y=sin(4x-)的图象，的图象，只需将函数只需将函数y=sin 4xy=sin 4x的图象的图象()()A.A.向左平移向左平移 个单位长度个单位长度B.B.向右平移向右平移 个单位长度个单位长度C.C.向左平移向左平移 个单位长度个单位长度D.D.向右平移向右平移 个单位长度个单位长度【解析解析】选B.要得到要得到y=sin(4x-)=sin4(x-)的的图象，只需将象，只需将y=sin 4x的的图象向右平移象向右平移 个个单位

18、位长度度.2.2.将函数将函数y=sin(2x+)y=sin(2x+)的图象向左平移的图象向左平移 个单位长度，再向上平移个单位长度，再向上平移2 2个个单位长度，则所得图象的解析式为单位长度，则所得图象的解析式为_._.【解析解析】函数函数y=sin(2x+)的的图象向左平移象向左平移 个个单位得位得y=sin2(x+)+=sin2(x+)的的图象，再向上平移象，再向上平移2个个单位位长度，度，得得y=sin(2x+)+2的的图象象.答案：答案：y=sin(2x+)+2【补偿训练补偿训练】要得到函数要得到函数y=sin xy=sin x的图象，只需将函数的图象，只需将函数y=y=cos(xc

19、os(x-)-)的图象的图象()()A.A.向右平移向右平移 个单位长度个单位长度B.B.向右平移向右平移 个单位长度个单位长度C.C.向左平移向左平移 个单位长度个单位长度D.D.向左平移向左平移 个单位长度个单位长度【解析解析】选A.y=sin x=cos(-x)=cos(x-)=cos(x-)-，所以将函数所以将函数y=cos(x-)的的图象向右平移象向右平移个个单位位长度可得到函数度可得到函数y=sin x的的图象象类型三类型三 三角函数图象的伸缩变换三角函数图象的伸缩变换【典例典例】1.(20151.(2015承德高一检测承德高一检测)将函数将函数f(xf(x)=)=coscos 2

20、x 2x的图象横坐标不的图象横坐标不变，纵坐标伸长到原来的变，纵坐标伸长到原来的2 2倍，再向左平移倍，再向左平移 个单位长度后，得到函数个单位长度后，得到函数g(xg(x)的图象，则的图象，则g()=_.g()=_.2.(20142.(2014重庆高考重庆高考)将函数将函数f(xf(x)=)=sin(x+sin(x+)()(00，-)图图象上每一点的横坐标缩短为原来的一半，纵坐标不变，再向右平移象上每一点的横坐标缩短为原来的一半，纵坐标不变，再向右平移 个单位长度得到个单位长度得到y=sin xy=sin x的图象，则的图象，则f()=_.f()=_.【解题探究解题探究】1.1.典例典例1

21、1中，如何求中，如何求g(xg(x)的解析式？的解析式？提示：提示：f(x)=cos 2x y=2cos 2x y=2cos2(x+)=2cos(2x+).2.2.典例典例2 2中的函数中的函数y=sin xy=sin x的图象如何变换到的图象如何变换到f(xf(x)的图象？的图象？提示：提示：先向左平移先向左平移 个个单位位长度，再将每一个点的横坐度，再将每一个点的横坐标伸伸长为原来原来的的2倍倍纵坐坐标不不变可得可得f(x)的的图象象.【解析解析】1.函数函数f(x)=cos 2x的的图象横坐象横坐标不不变纵坐坐标伸伸长到原来的到原来的2倍得倍得y=2cos 2x的的图象，再向左平移象，再

22、向左平移个个单位位长度得度得g(x)=2cos2(x+)=2cos(2x+)的的图象，象，所以所以g()=2cos(2 +)=2cos =-1.答案：答案：-12.将将y=sin x的的图象向左平移象向左平移 个个单位位长度可得度可得y=sin(x+)的的图象，保象，保持持纵坐坐标不不变，横坐，横坐标变为原来的原来的2倍可得倍可得y=sin()的的图象，故象，故f(x)=sin()，所以，所以答案：答案：【方法技巧方法技巧】三角函数图象伸缩变换的方法三角函数图象伸缩变换的方法【变式训练变式训练】(2015(2015温州高一检测温州高一检测)将函数将函数y=y=sin(xsin(x-)-)的图象

23、上所有的图象上所有点的横坐标缩短为原来的点的横坐标缩短为原来的 (纵坐标不变纵坐标不变)，再将所得函数的图象向左，再将所得函数的图象向左平移平移 个单位长度，则最终所得函数图象对应的解析式为个单位长度，则最终所得函数图象对应的解析式为()()【解析解析】选D.y=sin(x-)的的图象上所有点的横坐象上所有点的横坐标缩短短为原来的原来的 (纵坐坐标不不变)得得y=sin(2x-)的的图象，再向左平移象，再向左平移 个个单位位长度得度得y=sin(2x+)-=sin(2x+)=cos 2x的的图象象.【补偿训练补偿训练】将将y=sin xy=sin x的图象怎样变换可得到函数的图象怎样变换可得到

24、函数y=2sin(2x+)y=2sin(2x+)+4+4的图象？的图象？【解析解析】方法一：方法一：把把y=sin x的的图象上所有点的象上所有点的纵坐坐标伸伸长到原来的到原来的2倍，得倍，得y=2sin x的的图象；象；将所得将所得图象上所有点的横坐象上所有点的横坐标缩短到原来短到原来的的 倍，得倍，得y=2sin 2x的的图象；象；将所得将所得图象沿象沿x轴向左平移向左平移个个单位位长度，得度，得y=2sin 2(x+)=2sin(2x+)的的图象；象；将所得将所得图象沿象沿y轴向上平移向上平移4个个单位位长度，得度，得y=2sin(2x+)+4的的图象象.方法二：方法二：将将y=sin

25、x的的图象沿象沿x轴向左平移向左平移 个个单位位长度，得度，得y=sin(x+)的的图象；象；将所得将所得图象上所有点的横坐象上所有点的横坐标缩短到原来的短到原来的 倍，得倍，得y=sin(2x+)的的图象；象；把所得把所得图象上所有点的象上所有点的纵坐坐标伸伸长到原来的到原来的2倍，得到倍，得到y=2sin(2x+)的的图象；象；将所得将所得图象沿象沿y轴向上平向上平移移4个个单位位长度，得度，得y=2sin(2x+)+4的的图象象.易错案例易错案例 函数图象的平移变换和伸缩变换函数图象的平移变换和伸缩变换【典例典例】(2015(2015镇江高一检测镇江高一检测)将函数将函数y=sin(3x

26、+)y=sin(3x+)的图象向右平移的图象向右平移 个单位长度，再将图象上各点的横坐标扩大到原来的个单位长度，再将图象上各点的横坐标扩大到原来的3 3倍倍(纵坐标不变纵坐标不变)，则所得的函数解析式是，则所得的函数解析式是_._.【失误案例失误案例】【错解分析错解分析】分析解题过程，你知道错在哪里吗？分析解题过程，你知道错在哪里吗？提示：提示：错误的根本原因是左右平移的根本原因是左右平移变换出出错.实际上上y=f(x)的的图象向右象向右平移平移个个单位位长度，可得度，可得y=f(x-)的的图象象.【自我自我矫正正】y=sin(3x+)y=sin3(x-)+=sin(3x-)y=sin(x-)，故所得的函数解析式是故所得的函数解析式是y=sin(x-).答案：答案：y=sin(x-)【防范措施防范措施】平移、伸缩变换的两个关注点平移、伸缩变换的两个关注点(1)(1)图象的左右平移是针对图象的左右平移是针对x x而言的，应遵循而言的，应遵循“左加右减左加右减”的法则，可的法则，可借助二次函数对称轴位置的变化记忆此法则借助二次函数对称轴位置的变化记忆此法则.(2)(2)图象的伸缩变换即周期变换图象的伸缩变换即周期变换.