数学 第一章 三角函数 1.5 正弦函数的图像与性质2 北师大版必修4 .ppt

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1、1.51.5正弦函数的图像与性质正弦函数的图像与性质【知知识提提炼】1.1.正弦函数的正弦函数的图像像(1)“(1)“五点法五点法”画画图:在精确度要求不太高在精确度要求不太高时,我我们可以找出正弦曲可以找出正弦曲线上上的的(0,0),(0,0),_，_，_，(2,0)(2,0)五个关五个关键点画出正点画出正弦函数在一个周期上的弦函数在一个周期上的图像像.(，0)0)(2)(2)正弦曲正弦曲线:将函数将函数y=sinx(x0,2)y=sinx(x0,2)的的图像向左、向右平行移像向左、向右平行移动(每次平移每次平移_个个单位位长度度),),就可以得到正弦函数就可以得到正弦函数y=y=sinx(

2、xRsinx(xR)的的图像像._._的的图像叫作正弦曲像叫作正弦曲线.22正弦函数正弦函数2.2.正弦函数的性正弦函数的性质函数函数性质性质 y=sin xy=sin x 图像图像 定义域定义域 R R 值域值域 _-1,1-1,1函数函数性质性质 y=sin xy=sin x 奇偶性奇偶性 _ 周期性周期性 周期函数，最小正周期为周期函数，最小正周期为_ 单调性单调性 在每一个区间在每一个区间_上是增加的；上是增加的；在每一个区间在每一个区间_上是减少的上是减少的奇函数奇函数2 2【即即时小小测】1.1.思考下列思考下列问题(1)(1)利用利用“五点法五点法”作正、余弦函数的作正、余弦函数

3、的图像的关像的关键是什么是什么?提示提示:关键是抓住三角函数的最值点以及与关键是抓住三角函数的最值点以及与x x轴的交点轴的交点.(2)(2)正弦函数的正弦函数的单调区区间是有限个是有限个吗?提示提示:不是不是,当当k k取不同的整数值时取不同的整数值时,单调区间不同单调区间不同,所以正弦函数的单所以正弦函数的单调区间有无限个调区间有无限个.2.2.点点 在函数在函数y=y=sinxsinx的的图像上像上,则m m的的值为()【解析解析】选选B.B.因为点因为点M M在函数在函数y=y=sinxsinx的图像上的图像上,所以所以 3.3.函数函数y=sin(-x),x0,2y=sin(-x),

4、x0,2的的简图是是()【解析解析】选选B.B.由由y=sin(-x)=-y=sin(-x)=-sinxsinx知知,其图像和其图像和y=y=sinxsinx的图像关于的图像关于x x轴轴对称对称.4.4.函数函数y=3sin y=3sin 的最小正周期的最小正周期为_._.【解析解析】函数函数y=3sin y=3sin 的最小正周期的最小正周期T=T=.答案答案:5.5.用用“五点法五点法”作函数作函数y=1-sinx,xy=1-sinx,x的的图像像时,应取的五个关取的五个关键点是点是_._.【解析解析】五个关键点为五个关键点为(0,1),(0,1),(,1),(2,1),(2,1).,1

5、).答案答案:(0,1),(0,1),(,1),(2,1),(2,1),1)【知知识探究探究】知知识点点1 1 正弦函数的正弦函数的图像像观察察图形形,回答下列回答下列问题:问题:“:“五五点点法法”作作图中中的的“五五点点”是是不不是是图像像上上的的任任意意五五点点?你你能能从从正正弦函数的弦函数的图像中找出像中找出“五点五点”吗?【总结提升提升】1.1.正弦函数正弦函数图像的作法像的作法五点法五点法:它是我它是我们作三角函数作三角函数图像的基本方法像的基本方法,在要求精度不太高的情在要求精度不太高的情况下常用此法况下常用此法,作作图时要注意五个关要注意五个关键点的点的选择.2.2.利用利用

6、“五点法五点法”作作图时需要注意的三点需要注意的三点(1)(1)应用的前提条件是精确度要求不高用的前提条件是精确度要求不高.(2)(2)利用光滑的曲利用光滑的曲线连接接时,一般要最高一般要最高(低低)点的附近要平滑点的附近要平滑,不要出不要出现“拐角拐角”的的现象象.(3)“(3)“五点法五点法”作出的正弦函数一个周期上的作出的正弦函数一个周期上的图像是正弦曲像是正弦曲线的一部分的一部分.知知识点点2 2 正弦函数的性正弦函数的性质观察如察如图所示内容所示内容,回答下列回答下列问题:问题1:1:正弦函数的周期性在正弦函数的性正弦函数的周期性在正弦函数的性质中体中体现在哪里在哪里?问题2:2:正

7、弦函数的区正弦函数的区间如何表示如何表示?【总结提升提升】正弦函数的性正弦函数的性质(1)(1)正弦函数的定正弦函数的定义域域为R.R.值域域为 1,11,1，奇函数奇函数,可以由函数的可以由函数的图像直像直观得到得到.(2)(2)正弦函数的正弦函数的单调性可以由性可以由图像上升、下降的特点得到像上升、下降的特点得到,一般的方法一般的方法是先写出上的是先写出上的单调区区间0,20,2再加周期再加周期2k2k即可即可.【题型探究型探究】类型一型一 用用“五点法五点法”画函数的画函数的图像像【典例典例】用用“五点法五点法”作函数作函数y=2sinx-1y=2sinx-1在在0,20,2上的上的图像

8、像.【解解题探究探究】函数函数y=2sinx-1y=2sinx-1的的“五点五点”是什么是什么?提示提示:函数函数y=2sinx-1y=2sinx-1的的“五点五点”是是 【解析解析】列表列表:描点、连线得到函数的图像描点、连线得到函数的图像:【方法技巧方法技巧】“五点法五点法”作作图中中“五点五点”的含的含义【变式式训练】用用“五点法五点法”画出函数画出函数y=3-sinx(x0,2)y=3-sinx(x0,2)的的图像像.【解析解析】(1)(1)列表列表:(2)(2)描点描点,连线连线,如图所示如图所示.类型二型二 正弦函数正弦函数图像、像、单调性的性的应用用【典例典例】1.(20151.

9、(2015西安高一西安高一检测)函数函数f(xf(x)=)=sin(x+sin(x+)在区在区间_上是减少的上是减少的.2.2.求函数求函数y=y=的定的定义域域.【解解题探究探究】1.1.题1 1中的中的单调区区间如何求如何求?提示提示:把把x+x+看作一个整体求单调区间看作一个整体求单调区间.2.2.要使函数有意要使函数有意义,需要需要满足的不等关系是什么足的不等关系是什么?提示提示:要使函数有意义要使函数有意义,需要满足的不等关系为需要满足的不等关系为2sinx-2sinx-0.0.【解析解析】1.1.因为因为y=y=sinxsinx在在 (k kZ Z)上是减少的上是减少的.所以所以

10、+2k+2kx+x+2k+2k,即即-+2kx +2k,kZ.-+2kx +2k,kZ.答案答案:,(,(kZkZ)2.2.要使函数有意义要使函数有意义,则则2sinx-0,2sinx-0,即即sinxsinx ,由正弦函数的图像如图由正弦函数的图像如图:可知可知:2k+x2k+,kZ,:2k+x2k+,kZ,故函数的定义域为故函数的定义域为 【延伸探究延伸探究】1.(1.(变换条件条件)题2 2中中,若函数解析式若函数解析式变为y=,y=,试求其定求其定义域域.【解析解析】要使函数有意义要使函数有意义,则则2sinx+2sinx+0,0,即即sinxsinx-,-,由正弦函数的图像如图由正弦

11、函数的图像如图:可知可知:2k-x2k+,kZ,:2k-x2k+,kZ,故函数的定义域为故函数的定义域为 2.(2.(变换条件条件)题2 2中中,若函数的解析式若函数的解析式变为y=,y=,试求函求函数的定数的定义域域.【解析解析】要使函数有意义要使函数有意义,则则 -2sinx-2sinx0,0,即即sinxsinx ,由正弦函数的图像如图由正弦函数的图像如图:可知可知:2k+x2k+,kZ,:2k+x2k+,kZ,故函数的定义域为故函数的定义域为 【方法技巧方法技巧】利用正弦函数的利用正弦函数的图像求范像求范围求求不不等等式式如如sinxasinxa中中未未知知量量的的范范围时,首首先先要

12、要画画出出y=y=sinx,ysinx,y=a=a的的图像像,选取取正正弦弦函函数数一一个个周周期期(一一般般选取取距距离离y y轴较近近的的),),在在这个个周周期期内内求求出出未知量的范未知量的范围,最后根据正弦函数的周期性推广到全体最后根据正弦函数的周期性推广到全体实数即可数即可.【补偿训练】(2015(2015哈哈尔尔滨高一高一检测)函数函数y=y=的定的定义域是域是_._.【解析解析】要是函数有意义要是函数有意义,则则sinxsinx0,0,由正弦函数的图像可知由正弦函数的图像可知2kx+2k,kZ,2kx+2k,kZ,则函数的定义域为则函数的定义域为 x|2kx+2k,kZ.x|2

13、kx+2k,kZ.答案答案:x|2kx|2kx x+2k+2k,k,kZZ 类型三型三 正弦函数的最正弦函数的最值的的应用用【典例典例】1.(20151.(2015亳州高一亳州高一检测)函数函数y=y=sinxsinx在区在区间 上的上的值域域为_._.2.(20152.(2015海口高一海口高一检测)已知函数已知函数y=3sin ,y=3sin ,则当当x=_x=_时,函数取得最大函数取得最大值为_._.【解解题探究探究】1.1.函数函数y=y=sinxsinx在区在区间 上是上是单调函数函数吗?提示提示:不是不是,在在 上是增加的上是增加的,在在 上是减少的上是减少的.2.2.当函数当函数

14、y=3sin y=3sin 时,如何求如何求x x值?提示提示:令令x+=2kx+=2k+,k+,kZ Z求解求解.【解析解析】1.1.函数函数y=y=sinxsinx在在 上是增加的上是增加的,在在 上是减少上是减少的的,结合函数的图像可知函数的值域为结合函数的图像可知函数的值域为答案答案:2.2.因为当因为当x=+2k(kZ)x=+2k(kZ)时时,函数函数y=y=sinxsinx取得最大值为取得最大值为1,1,所以当所以当x+=+2k,x+=+2k,即即x=+2k(kZ)x=+2k(kZ)时时,函数函数y=3sin y=3sin 取得最取得最大值为大值为3.3.答案答案:+2k(kZ)+

15、2k(kZ)3 3【方法技巧方法技巧】1.1.关于正弦函数在定区关于正弦函数在定区间上的上的值域域求求正正弦弦函函数数在在定定区区间上上的的值域域时,首首先先要要考考查正正弦弦函函数数在在该区区间上上是是否否单调,若若是是单调函函数数,则直直接接代代入入端端点点值即即可可;若若不不是是单调函函数数,则要要结合合图像像,确定正弦函数在确定正弦函数在该区区间上的最高点、最低点后再求最上的最高点、最低点后再求最值.2.2.求正弦型函数最求正弦型函数最值的常用方法的常用方法(1)(1)形如形如y=y=asinxasinx的函数的最的函数的最值要注意要注意对a a的的讨论.(2)(2)可可化化为y=y=

16、Asin(x+Asin(x+)的的函函数数,将将x+x+看看成成一一个个整整体体,用用整整体体思思想求最想求最值.【变式式训练】(2015(2015日日照照高高一一检测)函函数数y=y=sinx-1sinx-1的的最最大大值与与最最小小值的和是的和是()【解析解析】选选D.D.因为因为sinxsinx-1,1,-1,1,所以所以 【补偿训练】函数函数y=sin x-1,x0,2y=sin x-1,x0,2的的值域是域是_._.【解析解析】因为因为x x0,20,2,所以所以 所以所以sin x0,1,sin x0,1,所以所以sin x-1-1,0.sin x-1-1,0.答案答案:-1,0-

17、1,0规范解答范解答 分分类讨论思想在求函数最思想在求函数最值的的应用用【典例典例】(12(12分分)已知已知y=a-bsin3x(b0)y=a-bsin3x(b0)的最大的最大值为 ,最小最小值为-,-,求函数求函数y=-4asin(3bx)y=-4asin(3bx)的最的最值及取得最及取得最值时的的x,x,并判断其奇偶性并判断其奇偶性.【审题指指导】1.1.要要求求函函数数的的最最值,首首先先利利用用已已知知函函数数的的最最值,求求出出a,ba,b的的值,再利用正弦函数的性再利用正弦函数的性质求最求最值.2.2.要判断函数的奇偶性要判断函数的奇偶性,可由函数奇偶性的定可由函数奇偶性的定义判

18、断判断.【规范解答范解答】【题后悟道后悟道】1.1.增增强强分分类讨论意意识当当题目目中中含含有有范范围不不确确定定的的参参数数时,需需要要对参参数数进行行讨论,讨论时注注意意把握分把握分类依据依据.如本如本题中中对参数参数b b分大于零、小于零两种情况分大于零、小于零两种情况讨论.2.2.准确准确应用正弦函数的性用正弦函数的性质利用正弦函数的性利用正弦函数的性质,可以与正弦函数相关的函数的性可以与正弦函数相关的函数的性质相相结合合,解解题的关的关键是准确是准确应用正弦函数的性用正弦函数的性质.如本如本题利用正弦函数在利用正弦函数在x=2k+x=2k+时取最大取最大值,求出所求的函数的最大求出所求的函数的最大值及取最大及取最大值时的的x x值.