数学 第一章 三角函数 1.5 函数y=Asin（ωx+φ）的图象（2）2 新人教A版必修4 .ppt

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1、1.5函数y=Asin(x+)的图象(二)【知识提炼知识提炼】1.1.函数函数y=y=Asin(x+Asin(x+)，A0A0，00中参数的物理意义中参数的物理意义Ax+2.2.函数函数y=y=Asin(x+Asin(x+)(A)(A00，0)0)的有关性质的有关性质名称名称性质性质定义域定义域_值域值域_周期性周期性T=_T=_R-A,A名称名称性质性质对称性对称性 对称性对称中心对称性对称中心对称轴对称轴_奇偶性奇偶性当当_(_(kZkZ)时是时是奇奇函数；函数；当当=k k+(k kZ Z)时是时是偶偶函数函数 =k名称名称性质性质单调性单调性由由2k-x+2k+2k-x+2k+，kZk

2、Z，解得单调递，解得单调递增区间增区间由由2k+x+2k+2k+x+2k+，kZkZ，解得单调递，解得单调递减区间减区间【即时小测即时小测】1.1.判断判断(1)(1)函数函数y=sin(x+y=sin(x+)(0)(0)的值域为的值域为 .().()(2)(2)函数函数y=3sin(2x-5)y=3sin(2x-5)的初相为的初相为5.()5.()(3)(3)函数函数y=sin()y=sin()的一条对称轴方程为的一条对称轴方程为x=.()x=.()【解析解析】(1)正确正确.因因为sin(x+)-1，1，故函数，故函数y=sin(x+)的的值域域为 .(2)错误.函数函数y=3sin(2x

3、-5)的初相的初相为-5.(3)错误.当当x=时y=sin()1.答案：答案：(1)(2)(3)2.2.函数函数y=Asin(x+y=Asin(x+)+1(A0)+1(A0，0)0)的最大值为的最大值为5 5，则，则A=()A=()A.5 B.-5 C.4 D.-4A.5 B.-5 C.4 D.-4【解析解析】选C.因因为A0，所以当，所以当sin(x+)=1时，ymax=A+1=5，所以，所以A=4.3.3.函数函数 的振幅为的振幅为_，周期为，周期为_，频率为，频率为_._.【解析解析】的振幅的振幅为 ，周期，周期为 ，频率率为答案：答案：4.4.函数函数y=sin x+1y=sin x+

4、1的对称中心坐标为的对称中心坐标为_._.【解析解析】函数函数y=sin x+1y=sin x+1的的对称中心坐称中心坐标为(kk，1)1)，kZkZ.答案：答案：(kk，1)1)，kZkZ5.5.函数函数f(xf(x)=)=sin(xsin(x-)-)的图象的对称轴方程是的图象的对称轴方程是_._.【解析解析】由由x-=k+，k Z得得x=k+，k Z.函数函数f(x)=sin(x-)的的图象的象的对称称轴方程是方程是x=k+，k Z.答案：答案：x=k+，k Z【知识探究知识探究】知识点知识点1 1 函数函数y=y=Asin(x+Asin(x+)(A)(A00，0)0)中参数的物理意义中参

5、数的物理意义观察如图所示内容，回答下列问题：观察如图所示内容，回答下列问题：问题问题1 1：参数：参数A A，与简谐运动中哪些物理量有关？与简谐运动中哪些物理量有关？问题问题2 2：前面所学的图象变换分别与哪些物理量的变化有关？：前面所学的图象变换分别与哪些物理量的变化有关？【总结提升总结提升】1.1.对振幅、周期、频率及相位的说明对振幅、周期、频率及相位的说明(1)A(1)A：它表示做简谐运动的物体离开平衡位置的最大距离，称为振幅：它表示做简谐运动的物体离开平衡位置的最大距离，称为振幅.(2)T(2)T：T=T=，它表示做简谐运动的物体往复运动一次所需要的时间，它表示做简谐运动的物体往复运动

6、一次所需要的时间，称为周期称为周期.(3)f(3)f：，它表示做简谐运动的物体在单位时间内往复运动的，它表示做简谐运动的物体在单位时间内往复运动的次数，称为频率次数，称为频率.(4)x+(4)x+：称为相位；当：称为相位；当x=0 x=0时的相位时的相位称为初相称为初相.2.2.简记图象变换步骤简记图象变换步骤(1)(1)由由y=sin xy=sin x到到y=y=sin(x+sin(x+)的图象的变换称为相位变换的图象的变换称为相位变换.(2)(2)由由y=sin xy=sin x到到y=sin y=sin xx的图象的变换称为周期变换的图象的变换称为周期变换.(3)(3)由由y=sin x

7、y=sin x到到y=y=AsinAsin x x的图象的变换称为振幅变换的图象的变换称为振幅变换.因此函数因此函数y=sin xy=sin x到到y=y=Asin(x+Asin(x+)的图象的变换途径一般为：的图象的变换途径一般为：相位变换相位变换周期变换周期变换振幅变换振幅变换.周期变换周期变换相位变换相位变换振幅变换振幅变换.知识点知识点2 2 函数函数y=y=Asin(x+Asin(x+)(A)(A0)0)的性质的性质观察如图所示内容，回答下列问题：观察如图所示内容，回答下列问题：问题问题1 1：研究周期函数的性质的基本原则是什么？：研究周期函数的性质的基本原则是什么？问题问题2 2：

8、y=y=Asin(x+Asin(x+)的单调性、值域与的单调性、值域与u=u=x+x+，t=sin ut=sin u，y=Aty=At的单调性、值域有什么关系？的单调性、值域有什么关系？【总结提升总结提升】研究函数研究函数y=y=Asin(x+Asin(x+)性质的基本策略性质的基本策略(1)(1)借助周期性：研究函数的单调区间、对称性等问题时，可以先研借助周期性：研究函数的单调区间、对称性等问题时，可以先研究在一个周期内的单调区间、对称性，再利用周期性推广到全体实数究在一个周期内的单调区间、对称性，再利用周期性推广到全体实数.(2)(2)整体思想：研究当整体思想：研究当xx，时的函数的值域时

9、，应将时的函数的值域时，应将x+x+看看作一个整体作一个整体，利用，利用xx，求出求出的范围，再结合的范围，再结合y=sin y=sin 的的图象求值域图象求值域.【题型探究题型探究】类型一类型一 由图象求三角函数的解析式由图象求三角函数的解析式【典例典例】1.(20151.(2015合肥高一检测合肥高一检测)如图所示为函数如图所示为函数y=y=Asin(x+Asin(x+)+k)+k在在一个周期内的图象，则这个函数的一个解析式为一个周期内的图象，则这个函数的一个解析式为()()2.2.已知函数已知函数f(xf(x)=)=Asin(x+Asin(x+)(A)(A00，00，|)|)在一个周期内

10、在一个周期内的图象如图所示的图象如图所示.(1)(1)求函数的解析式求函数的解析式.(2)(2)设设0 x0 x且方程且方程f(xf(x)=m)=m有两个不同的实数根，求实数有两个不同的实数根，求实数m m的取值范围的取值范围和这两个根的和和这两个根的和.【解题探究解题探究】1.1.典例典例1 1中，中，A A，k k的值与最大的值与最大(小小)值有什么关系？该函值有什么关系？该函数的周期是多少？数的周期是多少？提示：提示：周期周期2.2.典例典例2 2中，中，A A的值是多少？为求的值是多少？为求，可利用哪两个关系？可利用哪两个关系？提示：提示：A=2，可依据点，可依据点(0，1)和和(，0

11、)在函数在函数图象上列方程象上列方程组求求，.【解析解析】1.选D.由由图象可知象可知由由得得=2.所以所以y=2sin(2x+)-1.因因为点点在函数在函数图象上，象上，所以所以所以所以，k Z.可取可取=.故故D正确正确.2.(1)显然然A=2，又，又图象象过(0，1)点，点，所以所以f(0)=1，所以，所以sin=，因，因为|，所以，所以=所以所以f(x)=2sin(x+).又因又因为在在f(x)的的图象上，象上，所以所以所以所以=k(k Z)，=(k Z).又因又因为 所以所以故故=2.所以所求的函数的解析式所以所求的函数的解析式为：f(x)=2sin(2x+).(2)如如图所示，在同

12、一坐所示，在同一坐标系中画出系中画出y=2sin(2x+)和和y=m(m R)的的图象，象，由由图可知，当可知，当-2m1或或1m2时，直，直线y=m与曲与曲线有两个不同的交点，有两个不同的交点，即原方程有两个不同的即原方程有两个不同的实数根，数根，所以所以m的取的取值范范围为：-2m1或或1m2；当当-2m1时，两根和，两根和为当当1m00，|).|).【解析解析】易知易知A=2，k=-1.设函数的周期函数的周期为T，则 故故所以所以点点P(1，1)的坐的坐标代入上式，得代入上式，得所以所以 (k Z)，=2k+(k Z)，又又|0)(0，-)00，00，00)的的部分图象如图所示，则部分图

13、象如图所示，则A=_A=_，=_=_，=_.=_.【解析解析】由由图象知象知A=2，故故所以所以y=2sin(+)，又因又因为点点(，2)在函数在函数图象上，所以象上，所以所以所以，k Z，即，即=2k+，k Z，又，又00A0，00，00 )的周期为的周期为，且图象上一个最低点为，且图象上一个最低点为M(M(，-2).-2).求求f(xf(x)的解析式的解析式.【解析解析】由函数由函数f(x)图象上一个最低点象上一个最低点为M(，-2)，得，得A=2，由周期，由周期T=，得，得由点由点M(，-2)在在图象上，得象上，得2sin(+)=-2，即即sin(+)=-1，所以，所以 +=2k-(k

14、Z)，故，故=2k-(k Z)，又，又00)0)个单位长度后，得到一个奇函数的图象，则个单位长度后，得到一个奇函数的图象，则m m的最小值的最小值为为()()【解题探究解题探究】若函数若函数y=y=sin(x+sin(x+)是奇函数，则是奇函数，则是什么样的角？是什么样的角？提示：提示：=kk，kZkZ.【解析解析】选A.函数函数y=sin(2x+)的的图象向左平移象向左平移m个个单位位长度，得到度，得到函数函数y=sin2(x+m)+=sin(2x+2m+)的的图象，象，由于所得函数是一个奇函数，所以由于所得函数是一个奇函数，所以2m+=k，k Z.所以所以m=，k Z，故当，故当k=1时，

15、m取最小取最小值【延伸探究延伸探究】本例条件中本例条件中“奇奇”改为改为“偶偶”其他条件不变，结果如何其他条件不变，结果如何？【解析解析】所得函数所得函数y=sin(2x+2m+)是偶函数，是偶函数，则2m+=k+，k Z，故，故m=，k Z，当，当k=0时，m取最小取最小值角度角度2 2：三角函数的单调性：三角函数的单调性【典例典例】(2015(2015镇江高一检测镇江高一检测)f(xf(x)=sin 2x+1(0)=sin 2x+1(0)在区间在区间 上为增函数，则上为增函数，则的最大值为的最大值为_._.【解题探究解题探究】本例中函数本例中函数f(xf(x)的单调递增区间与区间的单调递增

16、区间与区间 有什有什么关系？么关系？提示：提示：区区间 包含于包含于f(x)单调递增区增区间.【解析解析】因因y=sin x在每个在每个闭区区间 (k Z)上上为增函数，增函数，f(x)=sin2x+1(0)在每个在每个闭区区间 (k Z)上上为增函数，依增函数，依题意知意知 对某个某个k Z成立，此成立，此时必有必有k=0，于是，于是解得解得 ，故，故的最大的最大值为 .答案：答案：角度角度3 3：三角函数的最大：三角函数的最大(小小)值问题值问题【典例典例】(2015(2015南昌高一检测南昌高一检测)若若f(xf(x)=2sin(x+)=2sin(x+)+m)+m，对任意实，对任意实数数

17、t t都有都有f(+t)=f(-t)f(+t)=f(-t)，且，且f()=-3f()=-3，则实数，则实数m m的值等于的值等于_._.【解题探究解题探究】本例中，由本例中，由f(+t)=f(-t)f(+t)=f(-t)可知函数可知函数f(xf(x)图象具有什图象具有什么特征？么特征？提示：提示：x=x=是函数是函数f(xf(x)图象的象的对称称轴.【解析解析】因因为f(+t)=f(-t)，所以，所以x=是函数是函数f(x)图象的象的对称称轴，所以，所以当当x=时，f(x)取最大取最大值或最小或最小值.所以所以f()=2+m或或f()=-2+m，又，又f()=-3，所以，所以m=-5或或m=-

18、1.答案：答案：-5或或-1【方法技巧方法技巧】1.1.正弦余弦型函数奇偶性的判断方法正弦余弦型函数奇偶性的判断方法正弦型函数正弦型函数y=y=Asin(x+Asin(x+)和余弦型函数和余弦型函数y=y=Acos(x+Acos(x+)不一定具备不一定具备奇偶性奇偶性.对于函数对于函数y=y=Asin(x+Asin(x+)，当，当=k(kZk(kZ)时为奇函数，当时为奇函数，当=kk (kZkZ)时为偶函数；对于函数时为偶函数；对于函数y=y=Acos(x+Acos(x+)，当，当=k(kZk(kZ)时为偶函数，当时为偶函数，当=kk (kZkZ)时为奇函数时为奇函数.2.2.与正弦、余弦函数

19、有关的单调区间的求解技巧与正弦、余弦函数有关的单调区间的求解技巧(1)(1)结合正弦、余弦函数的图象，熟记它们的单调区间结合正弦、余弦函数的图象，熟记它们的单调区间.(2)(2)确定函数确定函数y=y=Asin(x+Asin(x+)(A)(A00，0)0)单调区间的方法：采用单调区间的方法：采用“换换元元”法整体代换，将法整体代换，将x+x+看作一个整体，可令看作一个整体，可令“z=z=x+x+”，即通，即通过求过求y=y=AsinAsin z z的单调区间而求出函数的单调区间的单调区间而求出函数的单调区间.若若00，则可利用，则可利用诱导公式先将诱导公式先将x x的系数转变为正数，再求单调区

20、间的系数转变为正数，再求单调区间.3.3.求三角函数值域的常用方法求三角函数值域的常用方法(1)(1)求解形如求解形如y=y=asinasin x+bx+b(或或y=y=acosacos x+bx+b)的函数的最值或值域问题时，的函数的最值或值域问题时，利用正、余弦函数的有界性利用正、余弦函数的有界性(-1sin(-1sin x(cosx(cos x)1)x)1)求解求解.求三角函数求三角函数取最值时相应自变量取最值时相应自变量x x的集合时，要注意考虑三角函数的周期性的集合时，要注意考虑三角函数的周期性.(2)(2)求解形如求解形如y=asiny=asin2 2x+bsin x+bsin x

21、+cx+c(或或y=acosy=acos2 2x+bcos x+bcos x+cx+c)，xDxD的函数的函数的值域或最值时，通过换元，令的值域或最值时，通过换元，令t=sin x(t=sin x(或或coscos x)x)，将原函数转化为，将原函数转化为关于关于t t的二次函数，利用配方法求值域、最值即可的二次函数，利用配方法求值域、最值即可.求解过程中要注意求解过程中要注意t=sin x(t=sin x(或或coscos x)x)的有界性的有界性.【变式训练变式训练】1.(20151.(2015全国卷全国卷)函数函数f(xf(x)=)=cos(x+cos(x+)的部分图象如图所示，的部分图

22、象如图所示，则则f(xf(x)的单调递减区间为的单调递减区间为()()【解解题指南指南】根据根据图象，利用五点法求出象，利用五点法求出，的的值，确定，确定f(xf(x)的解的解析式，求出析式，求出f(xf(x)的的单调递减区减区间.【解析解析】选D.由五点作由五点作图知，知，解得解得=，=，所以，所以f(x)=cos(x+)，令令2kx+2k+，k Z，解得，解得2k-x0)+1(0，|)|)对任意实数对任意实数t t，都有，都有f(tf(t+)=+)=f(-tf(-t+)+)，记，记g(xg(x)=Acos(x+)=Acos(x+)-1)-1，则，则g()=()g()=()【解析解析】选C.

23、C.由由题意知函数意知函数f(xf(x)的一条的一条对称称轴为x=x=，因此，因此sin(sin(+)=1 1，coscos(+)=0=0，因此因此g()=g()=AcosAcos(+(+)-1=-1.-1=-1.规范解答规范解答 函数函数y=y=Asin(x+Asin(x+)的图象和性质的图象和性质【典例典例】(12(12分分)(2015)(2015南昌高一检测南昌高一检测)设函数设函数f(xf(x)=sin(2x+)=sin(2x+)(-(-0)0)，y=y=f(xf(x)图象的一条对称轴是图象的一条对称轴是x=.x=.(1)(1)求函数求函数y=y=f(xf(x)的单调增区间的单调增区间

24、.(2)(2)画出函数画出函数y=y=f(xf(x)在区间在区间0 0，上的图象上的图象.【审题指指导】(1)依据依据x=是一条是一条对称称轴，求，求；依据正弦函数；依据正弦函数y=sin x的的单调递增区增区间为2k-，2k+k Z，求，求f(x)的的单调增区增区间.(2)用五点法画函数用五点法画函数y=f(x)在在0，上的上的图象象.【规范解答范解答】(1)因因为x=是函数是函数y=f(x)图象的象的对称称轴.【题后悟道题后悟道】1.1.“五点法五点法”作图的实质作图的实质利用利用“五点法五点法”作函数作函数y=y=Asin(x+Asin(x+)的图象，实质是利用函数的三的图象，实质是利用

25、函数的三个零点，两个最值点画出函数在一个周期内的图象个零点，两个最值点画出函数在一个周期内的图象.如本例先令如本例先令2x-2x-取取 ，画出，画出 的图象，再依据图象变化的周的图象，再依据图象变化的周期性适当期性适当“割割”“”“补补”得到得到0 0，上的图象上的图象.2.2.函数函数y=y=Asin(x+Asin(x+)性质的应用性质的应用(1)(1)应用的范围：函数的单调性、最值、奇偶性、图象的对称性等方应用的范围：函数的单调性、最值、奇偶性、图象的对称性等方面都有体现和考查面都有体现和考查.(2)(2)解决的方法：有关函数解决的方法：有关函数y=y=Asin(x+Asin(x+)的性质的运用问题，充分的性质的运用问题，充分利用三角函数的基本性质，要特别注意整体代换思想的运用利用三角函数的基本性质，要特别注意整体代换思想的运用.如本例如本例求求f(xf(x)的单调递增区间由的单调递增区间由 kZkZ解得解得.