数学 第一章 解三角形 1.1 正弦定理和余弦定理 1.1.2 余弦定理 新人教A版必修5 .ppt

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1、1 1.1 1.2 2余弦定理121.余弦定理 12名师点拨由余弦定理可得,在ABC中,若A为锐角,则cos A0,有b2+c2-a20,即b2+c2a2;若A为直角,则cos A=0,有b2+c2-a2=0,即b2+c2=a2;若A为钝角,则cos A0,有b2+c2-a20,即b2+c2a2.因此可得:A为锐角a2b2+c2.12练一练1在ABC中,AB=1,BC=2,B=60,则AC=.解析:由条件已知三角形的两边及其夹角,故可以直接利用余弦定理求得边AC,即AC2=AB2+BC2-2ABBCcos B=1+4-212 =3,所以AC=答案:122.利用余弦定理及其推论解三角形的类型(1

2、)已知三角形的三边求三角;(2)已知三角形的两边及夹角求第三边及两角.12探究一探究二探究三探究四探究一已知三边解三角形探究一已知三边解三角形已知三角形的三边求三角时,一般利用余弦定理的推论先求出两角,再根据三角形内角和定理求出第三个角.利用余弦定理的推论求角时,应注意余弦函数在(0,)上是单调的.当余弦值为正时,角为锐角;当余弦值为负时,角为钝角.探究一探究二探究三探究四典型例题1已知ABC中,abc=2 (+1),求ABC的各内角度数.思路分析:根据三边比例关系设出三边,然后用余弦定理的推论求出两个内角,再用三角形内角和定理求出第三个内角.探究一探究二探究三探究四探究一探究二探究三探究四探

3、究一探究二探究三探究四探究二已知两边及一角探究二已知两边及一角,解三角形解三角形在三角形中,已知两边及一角有两种情况,一是已知两边及夹角;二是已知两边及一边所对的角.若已知角是两边的夹角,先直接利用余弦定理求另一边,然后根据三边的大小关系,利用正弦定理解三角形;若已知角是两边中一边的对角,有两种解题思路:一种思路是利用余弦定理列出方程,运用解方程的方法求出另一边长;另一种思路是直接运用正弦定理,先求角再求边.探究一探究二探究三探究四典型例题2在ABC中,根据下列条件解三角形:思路分析:(1)利用余弦定理求边b,然后用正弦定理或余弦定理求A和C;(2)方法一:用余弦定理得关于c的方程,求出c,再

4、利用余弦定理求B和C;方法二:先用正弦定理求出B,再求角C和边c.探究一探究二探究三探究四探究一探究二探究三探究四探究一探究二探究三探究四温馨提示已知两边及一边的对角解三角形有两种解法,可根据情况选择合适的解法,但无论用哪一种解法,都要注意不能漏解.探究一探究二探究三探究四探究一探究二探究三探究四探究三判断三角形的形状探究三判断三角形的形状判断三角形的形状应围绕三角形的边角关系进行思考,可用正、余弦定理将已知条件转化为边边关系,通过因式分解、配方等方式得出边的相应关系,从而判断三角形的形状,也可利用正、余弦定理将已知条件转化为角与角之间的关系,通过三角变换,得出三角形各内角之间的关系,从而判断

5、三角形的形状.探究一探究二探究三探究四典型例题3在ABC中,已知(a+b+c)(a+b-c)=3ab,且2cos Asin B=sin C,试确定ABC的形状.思路分析:要判断ABC的形状,可利用正、余弦定理将角的关系化为边的关系,也可将边的关系化为角的关系.探究一探究二探究三探究四探究一探究二探究三探究四即c2=b2+c2-a2,a=b.又(a+b+c)(a+b-c)=3ab,(a+b)2-c2=3b2.4b2-c2=3b2,b=c.a=b=c,ABC为等边三角形.探究一探究二探究三探究四解法二:(边化角)A+B+C=180,sin C=sin(A+B).又2cos Asin B=sin C

6、,2cos Asin B=sin Acos B+cos Asin B,sin(A-B)=0.又A与B均为ABC的内角,A=B.又由(a+b+c)(a+b-c)=3ab,得(a+b)2-c2=3ab,a2+b2-c2+2ab=3ab,即a2+b2-c2=ab,由余弦定理,得cos C=0C90,a2+b2-c20,即1+4-t2c这个隐含条件,导致t的取值范围变大.正解:a,b,c是三角形的三边,ca+b,t1+2=3.ABC是钝角三角形,且C是最大角,90C0),由余弦定理,得AC2=AB2+BC2-2ABBCcos B,则()2=9+x2-6xcos 60,解得x=1或x=2.答案:1或21 2 3 4 55.在ABC中,已知BC=7,AC=8,AB=9,试求AC边上的中线长.解:由余弦定理的推论,得设AC边上的中线长为x,由余弦定理,得x=7.即AC边上的中线长为7.