数学 第二章 平面向量课 新人教A版必修4 .ppt

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1、平面向量平面向量【网络体系网络体系】【核心速填核心速填】1.1.五种常见的向量五种常见的向量(1)(1)单位向量：模为单位向量：模为_的向量的向量.(2)(2)零向量：模为零向量：模为_的向量的向量.(3)(3)平行平行(共线共线)向量：方向向量：方向_的向量的向量.(4)(4)相等向量：模相等、方向相等向量：模相等、方向_的向量的向量(5)(5)相反向量：模相等、方向相反向量：模相等、方向_的向量的向量10相同或相反相同相反2.2.两个重要定理两个重要定理(1)(1)向量共线定理：向量向量共线定理：向量_与与b共线，当且仅当有唯一一个共线，当且仅当有唯一一个实数实数，使，使_._.(2)(2

2、)平面向量基本定理：如果平面向量基本定理：如果e1 1，e2 2是同一平面内的两个是同一平面内的两个_，那么对于这一平面内的任一向量那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数，有且只有一对实数1 1，2 2，使使_，其中，其中e1 1，e2 2是一组基底是一组基底.a(a0)b=a不共线向量a=1e1+2e23.3.两个非零向量平行、垂直的充要条件两个非零向量平行、垂直的充要条件若若a=(x=(x1 1，y y1 1)，b=(x=(x2 2，y y2 2)，则：，则：(1)(1)aba=b(0)(0)_._.(2)(2)abab=0=0_._.x1y2-x2y1=0 x1x2+y1y2=

3、05.5.向量的投影向量的投影(1)(1)向量向量a在在b方向的投影为方向的投影为_._.(2)(2)向量向量b在在a方向的投影为方向的投影为_._.6.6.向量的运算律向量的运算律(1)(1)交换律：交换律：a+b=b+a，ab=ba.(2)(2)结合律：结合律：a+b+c=(=(a+b)+)+c，a-b-c=a-(-(b+c)，(a)b=(=(ab)=)=a(b).).(3)(3)分配律：分配律：(+)(+)a=_=_，(a+b)=_)=_，(a+b)c=ac+bc.(4)(4)重要公式：重要公式：(a+b)(a-b)=)=_，(ab)2 2=_.a+aa+ba2-b2a22ab+b2【易

4、错提醒易错提醒】1.1.有关向量的注意点有关向量的注意点(1)(1)零向量的方向是任意的零向量的方向是任意的.(2)(2)平行向量无传递性，即平行向量无传递性，即ab，bc时，时，a与与c不一定是平行向量不一定是平行向量.(3)(3)注意数量积是一个实数，不再是一个向量注意数量积是一个实数，不再是一个向量.2.2.向量的运算律中注意点向量的运算律中注意点(1)(1)向向量量运运算算和和实实数数运运算算有有类类似似的的地地方方也也有有区区别别：对对于于一一个个向向量量等等式式，可可以以移移项项，两两边边平平方方、两两边边同同乘乘以以一一个个实实数数，两两边边同同时时取取模模，两两边边同同乘乘以以

5、一一个个向向量量，但但不不能能两两边边同同除除以以一一个个向向量量，即即两两边边不不能能约约去去一一个个向向量，切记两向量不能相除量，切记两向量不能相除(相约相约).).(2)(2)向量的向量的“乘法乘法”不满足结合律，即不满足结合律，即(ab)ca(bc).).类型一类型一 平面向量的线性运算及应用平面向量的线性运算及应用【典例典例1 1】(1)(1)化简：化简：(2)(2)已知已知A(-2A(-2，4)4)，B(3B(3，-1)-1)，C(-3C(-3，-4).-4).求求3a+b-3c3a+b-3c；求满足求满足a=a=mb+ncmb+nc的实数的实数m m，n.n.【解析解析】(1)选

6、D.(2)由已知得由已知得a=(5，-5)，b=(-6，-3)，c=(1，8).3a+b-3c=3(5，-5)+(-6，-3)-3(1，8)=(15-6-3，-15-3-24)=(6，-42).因因为mb+nc=(-6m+n，-3m+8n)，a=mb+nc，所以解得所以解得【方法技巧方法技巧】向量线性运算的基本原则和求解策略向量线性运算的基本原则和求解策略(1)(1)基本原则：基本原则：向向量量的的加加法法、减减法法和和数数乘乘运运算算统统称称为为向向量量的的线线性性运运算算.向向量量的的线线性性运运算算的的结结果果仍仍是是一一个个向向量量，因因此此，对对它它们们的的运运算算法法则则、运运算算

7、律律的的理理解解和和运用要注意向量的大小和方向两个方面运用要注意向量的大小和方向两个方面.(2)(2)求解策略：求解策略：向向量量是是一一个个有有“形形”的的几几何何量量，因因此此在在进进行行向向量量线线性性运运算算时时，一一定定要结合图形，这是研究平面向量的重要方法与技巧要结合图形，这是研究平面向量的重要方法与技巧.字符表示下线性运算的常用技巧字符表示下线性运算的常用技巧首首尾尾相相接接用用加加法法的的三三角角形形法法则则，如如共共起起点点两两个个向向量量作作差差用减法的几何意义，如用减法的几何意义，如平平行行向向量量(共共线线向向量量)、相相等等与与相相反反向向量量、单单位位向向量量等等，

8、理理解解向向量量的的有关概念并进行恰当地应用有关概念并进行恰当地应用.注意常见结论的应用注意常见结论的应用.如如ABCABC中，点中，点D D是是BCBC的中点，则的中点，则【变变式式训训练练】(2015(2015秦秦皇皇岛岛高高一一检检测测)已已知知向向量量a=(6=(6，4)4)，b=(0=(0，2)2)，=a+b，O O为为坐坐标标原原点点，若若点点C C在在函函数数的的图图象象上上，则则实实数数的值为的值为_._.【解析解析】由由题意得意得=(6，4)+(0，2)=(6，4+2)，故点故点C的坐的坐标为(6，4+2)，根据条件得根据条件得4+2=sin=1，解得，解得.答案：答案：【补

9、偿训练补偿训练】(2015(2015广元高一检测广元高一检测)如图，已知如图，已知用，表示，则等于用，表示，则等于()【解析解析】选C.C.类型二类型二 平面向量数量积的运算平面向量数量积的运算【典例典例2 2】(1)ABC(1)ABC的外接圆半径为的外接圆半径为1 1，圆心为，圆心为O O，且则的值为且则的值为()(2)(2015(2)(2015湖北高考湖北高考)已知向量则已知向量则=_.=_.(3)(2015(3)(2015北北京京高高一一检检测测)如如图图，正正六六边边形形ABCDEFABCDEF的的边边长长为为1 1，M M，N N分分别是别是BCBC，DEDE上的动点，且满足上的动点

10、，且满足.若若M M，N N分别是分别是BCBC，DEDE的中点，求的值；的中点，求的值；求的取值范围求的取值范围.(3)如如图，以以AB所所在在直直线为x轴，以以A为坐坐标原原点点建建立立平平面面直直角角坐坐标系系.因因为多多边形形ABCDEF是是边长为1的的正正六六边形形，且且M，N分分别是是BC，DE的中点，所以所以的中点，所以所以【延伸探究延伸探究】在典例在典例(1)(1)中，若中，若 则则BACBAC的大小是多的大小是多少？少？【解析解析】由已知可得由已知可得由向量加法的平行四由向量加法的平行四边形法形法则可可知，四知，四边形形OACBOACB是四条是四条边均均为1 1的平行四的平行

11、四边形，故形，故OACOAC为等等边三角三角形，形，OAC=2OAC=2BAC=60BAC=60，所以，所以BAC=30BAC=30.【方法技巧方法技巧】向量数量积的求解策略向量数量积的求解策略(1)(1)利用数量积的定义、运算律求解：利用数量积的定义、运算律求解：在在数数量量积积运运算算律律中中，有有两两个个形形似似实实数数的的完完全全平平方方和和(差差)公公式式在在解解题题中中的的应应用用较较为为广广泛泛，即即(a+b)2 2=a2 2+2+2ab+b2 2，(a-b)2 2=a2 2-2-2ab+b2 2，上上述述两两公公式式以以及及(a+b)(a-b)=)=a2 2-b2 2这这一一类

12、类似似于于实实数数平平方方差差的的公公式式在在解解题题过程中可以直接应用过程中可以直接应用.(2)(2)借助零向量：借助零向量：即即借借助助“围围成成一一个个封封闭闭图图形形且且首首尾尾相相接接的的向向量量的的和和为为零零向向量量”，再再合合理使用向量的移项以及平方等变形，求解数量积理使用向量的移项以及平方等变形，求解数量积.(3)(3)借助平行向量与垂直向量：借助平行向量与垂直向量：即即借借助助向向量量的的拆拆分分，将将待待求求的的数数量量积积转转化化为为有有垂垂直直条条件件关关系系或或平平行行向向量关系的向量数量积，借助量关系的向量数量积，借助ab，则，则ab=0=0等解决问题等解决问题.

13、(4)(4)建立坐标系，利用坐标运算求解数量积建立坐标系，利用坐标运算求解数量积.【变式训练变式训练】如图所示，如图所示，P P为为AOBAOB所在平面内一点，向量所在平面内一点，向量且且P P在在线线段段ABAB的的垂垂直直平平分分线线上上，向向量量若若|a|=3|=3，|b|=2|=2，则则c(a-b)的的值为值为()A.5A.5B.3B.3C.C.D.D.【解析解析】选C.C.设ABAB中点中点为D D，【补补偿偿训训练练】如如图图所所示示，在在RtABCRtABC中中，已已知知BC=aBC=a，若若长长为为2a2a的的线线段段PQPQ以以点点A A为为中中点点，问问：的的夹夹角角取取何

14、何值值时时，的的值值最最大大？并求出这个最大值并求出这个最大值.【解解题指指南南】解解答答本本题的的关关键是是要要结合合图形形，利利用用向向量量的的三三角角形形法法则找找出出向向量量之之间的的关关系系；或或建建立立适适当当的的坐坐标系系，利利用用向向量量的的坐坐标形形式式来来解答解答.【解解析析】以以直直角角顶点点A为坐坐标原原点点，两两直直角角边所所在在直直线为坐坐标轴建建立立平面直角坐平面直角坐标系系.设B(b，0)，C(0，c)，所以，所以b2+c2=a2.设P点坐点坐标为(x，y)，则Q点坐点坐标为(-x，-y)，且且x2+y2=a2，则=(x-b，y)，=(-x，-y-c).又又而而

15、所以所以所所以以当当cos=1时，有有最最大大值0，即即当当=0(即即的的方方向向相相同同)时，最大，最大，最大，最大值为0.类型三类型三 平面向量的平行与垂直问题平面向量的平行与垂直问题【典典例例3 3】(1)(1)已已知知向向量量a=(1=(1，2)2)，b=(1=(1，0)0)，c=(3=(3，4).4).若若为为实实数数，(a+b)c，则，则=(=()A.A.B.B.C.1C.1D.2D.2(2)(2)在平面直角坐标系在平面直角坐标系xOyxOy中，已知中，已知若若ABO=90ABO=90，则实数，则实数t t的值为的值为_._.(3)(3)已知平面内已知平面内A A，B B，C C三

16、点共线，三点共线，O O为原点，为原点，且求实数且求实数m m，n n的值的值.【解析解析】(1)选B.因因为向量向量a=(1，2)，b=(1，0)，可得，可得a+b=(1+，2)，由，由(a+b)c得得(1+)4-32=0，所以所以=.(2)因因为ABO=90，易知，易知所以即所以即32+2(2-t)=0，所以，所以t=5.答案：答案：5(3)因因为A，B，C三点共三点共线，所以，所以【延伸探究延伸探究】在典例在典例(1)(1)的条件下，是否存在非零常数的条件下，是否存在非零常数，使，使a+b与与a-c平行，若平行，是同向还是反向？平行，若平行，是同向还是反向？【解析解析】因因为a+b=(1

17、+，2)，a-c=(1-3，2-4)，若，若a+b与与a-c平行，平行，则(1+)(2-4)-2(1-3)=0.解解得得=1.所以所以a+b=(2，2)，a-c=(-2，-2)，a+b与与a-c反向反向.即存在即存在=1使使a+b与与a-c平行且反向平行且反向.【方法技巧方法技巧】1.1.证明共线问题常用的方法证明共线问题常用的方法(1)(1)向量向量a，b(a0)共线共线存在唯一实数存在唯一实数，使，使b=a.(2)(2)向量向量a=(x=(x1 1，y y1 1)，b=(x=(x2 2，y y2 2)共线共线x x1 1y y2 2-x-x2 2y y1 1=0.=0.(3)(3)向量向量

18、a与与b共线共线|ab|=|=|a|b|.|.(4)(4)向量向量a与与b共线共线存在不全为零的实数存在不全为零的实数1 1，2 2，使，使1 1a+2 2b=0.=0.2.2.证明平面向量垂直问题的常用方法证明平面向量垂直问题的常用方法abab=0=0 x x1 1x x2 2+y+y1 1y y2 2=0=0，其中其中a=(x=(x1 1，y y1 1)，b=(x=(x2 2，y y2 2).).【变式训练变式训练】(1)(1)已知向量已知向量a=(1=(1，-1)-1)，b=(1=(1，2)2)，向量，向量c满足满足(c+b)a，(c-a)b，则，则c等于等于()A.(2A.(2，1)1

19、)B.(1B.(1，0)0)C.C.D.(0D.(0，-1)-1)【解析解析】选A.A.设c=(x=(x，y)y)，由，由(c+b)a，(c-a)b可得可得解得解得因此因此c=(2=(2，1).1).(2)(2)已知向量已知向量a=(2=(2，3)3)，b=(-1=(-1，2)2)，若，若(m(ma+n+nb)()(a-2-2b)，则等于则等于_._.【解析解析】m ma+n+nb=(2m=(2m，3m)+(-n3m)+(-n，2n)2n)=(2m-n=(2m-n，3m+2n)3m+2n)，a-2-2b=(2=(2，3)-(-23)-(-2，4)=(44)=(4，-1).-1).由由(m(ma

20、+n+nb)()(a-2-2b)-(2m-n)=4(3m+2n)-(2m-n)=4(3m+2n)，整理得整理得14m=-7n14m=-7n，则则=-=-.答案：答案：-【补偿训练补偿训练】已知向量已知向量a，b不共线，不共线，c=k ka+b，d=d=a-b.(1)(1)若若cd，求，求k k的值，并判断的值，并判断c，d是否同向是否同向.(2)(2)若若|a|=|=|b|，a与与b的夹角为的夹角为6060，当，当k k为何值时，为何值时，cd？【解析解析】(1)c d，故，故c=d，即，即ka+b=(a-b).又又a，b不共不共线，所以得，所以得即即c=-d，故，故c与与d反向反向.(2)c

21、d=(ka+b)(a-b)=ka2-kab+ab-b2=(k-1)a2+(1-k)|a|2cos60，又又c d，故，故(k-1)a2+a2=0.即即(k-1)+=0.解得解得k=1.类型四类型四 平面向量的模与夹角平面向量的模与夹角【典典例例4 4】(1)(1)向向量量a，b满满足足(a-b)(2(2a+b)=-4)=-4，且且|a|=2|=2，|b|=4|=4，则则a，b的夹角等于的夹角等于_._.(2)(2)已知已知|a|=4|=4，|b|=8|=8，a与与b的夹角是的夹角是120120.计算计算|a+b|，|4|4a-2-2b|；当当k k为何值时，为何值时，(a+2+2b)(k)(k

22、a-b)？【解析解析】(1)设a与与b的的夹角角为，因，因为|a|=2，|b|=4，由由(a-b)(2a+b)=-4得，得，2|a|2-ab-|b|2=-4，即，即ab=-4，所以所以cos所以所以=120.答案：答案：120(2)由已知，由已知，因因为|a+b|2=a2+2ab+b2=16+2(-16)+64=48，所以所以|a+b|=4.因因为|4a-2b|2=16a2-16ab+4b2=1616-16(-16)+464=3162，所以所以|4a-2b|=16.若若(a+2b)(ka-b)，则(a+2b)(ka-b)=0，所以所以ka2+(2k-1)ab-2b2=0，即即16k-16(2k

23、-1)-264=0，所以，所以k=-7.【方法技巧方法技巧】1.1.解决向量模的问题常用的策略解决向量模的问题常用的策略(1)(1)应用公式：应用公式：|a|=|=(其中其中a=(x=(x，y).y).(2)(2)应用三角形或平行四边形法则应用三角形或平行四边形法则.(3)(3)应用向量不等式应用向量不等式|a|-|-|b|ab|a|+|+|b|.|.(4)(4)研究模的平方研究模的平方|ab|2 2=(=(ab)2 2.2.2.求向量的夹角求向量的夹角设设非非零零向向量量a=(xa=(x1 1，y y1 1)，b=(xb=(x2 2，y y2 2)，两两向向量量夹夹角角(0)(0)的的余余弦

24、弦【变式训练变式训练】平面向量平面向量a与与b的夹角为的夹角为6060，a=(2=(2，0)0)，|b|=1|=1，则则|a+2+2b|等于等于()A.2A.2B.2B.2C.4C.4 D.D.【解析解析】选B.由已知得由已知得|a|=2，|a+2b|2=a2+4ab+4b2=4+421cos60+4=12，所以所以|a+2b|=2.【补补偿偿训训练练】(2015(2015安安阳阳高高一一检检测测)已已知知非非零零向向量量a，b满满足足|a|=1|=1，且且(a-b)(a+b)=)=.(1)(1)求求|b|.|.(2)(2)当当ab=时，求向量时，求向量a与与b的夹角的夹角的值的值.【解析解析

25、】(1)因因为(a-b)(a+b)=，所以所以a2-b2=，所以，所以|b|2=|a|2-=1-=，故故|b|=.(2)因因为又又0180，所以，所以=45.类型五类型五 平面向量在解析几何和物理方面的应用平面向量在解析几何和物理方面的应用【典典例例5 5】(1)(1)已已知知O O是是平平面面上上的的一一定定点点，A A，B B，C C是是平平面面上上不不共共线线的的三三个个动动点点，若若动动点点P P满满足足则则点点P P的的轨轨迹迹一一定通过定通过ABCABC的的()A.A.外心外心B.B.内心内心C.C.垂心垂心D.D.重心重心(2)(2)已知向量已知向量a表示表示“向东航行向东航行1

26、km1km”，向量，向量b表示表示“向北航行向北航行kmkm”，则向量则向量a+b表示表示()A.A.向东北方向航行向东北方向航行2 km2 kmB.B.向北偏东向北偏东3030方向航行方向航行2 km2 kmC.C.向北偏东向北偏东6060方向航行方向航行2 km2 kmD.D.向东北方向航行向东北方向航行(1+(1+)km)km【解析解析】(1)选D.由原等式得根据平行四由原等式得根据平行四边形法形法则，知知是是ABC的的中中线所所对应向向量量的的2倍倍，所所以以点点P的的轨迹迹必必过ABC的重心的重心.(2)选B.a与与b的的夹角角为90，则ab=0，则a(a+b)=|a|2+ab=1.

27、设a与与a+b的的夹角角为，则所以所以=60，即，即a+b表示向北偏表示向北偏东30方向航行方向航行2km.【方法技巧方法技巧】平面向量两个方面的应用平面向量两个方面的应用(1)(1)平面几何应用：平面几何应用：（2 2）物理应用：速度、位移、力、功）物理应用：速度、位移、力、功.向量向量几何几何问题问题共共线线向量向量点共点共线问题线问题、直、直线线与直与直线线平行平行数乘向量数乘向量求求线线段段长长度之比度之比数量数量积积线线段的段的长长度、直度、直线线与直与直线线的的夹夹角角【变式训练变式训练】(2015(2015韶关高一检测韶关高一检测)作用于同一点的两个力作用于同一点的两个力F1 1

28、，F2 2的夹角为，且的夹角为，且|F1 1|=3|=3，|F2 2|=5|=5，则，则F1 1+F2 2的大小为的大小为_【解析解析】【补补偿偿训训练练】如如图图，已已知知甲甲、乙乙两两人人同同时时从从O O出出发发，甲甲行行走走10km10km到到达达B B处处，乙乙出出发发的的方方向向与与甲甲的的方方向向的的夹夹角角为为6060，乙乙走走了了14km14km后后到到A A处处，求此时甲、乙两人之间的距离求此时甲、乙两人之间的距离.【解析解析】设向量向量 又因又因为 所以所以=100+196-21014cos60=156，所以所以 所以甲、乙两人此所以甲、乙两人此时之之间的距离的距离为 km.