数学 第二章 推理与证明 2.2 直接证明与间接证明 2.2.2 反证法 新人教A版选修1-2 .ppt

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1、2.2.2 反证法 路路边边苦苦李李 王戎王戎7 7岁时岁时,与小伙伴们外出游玩与小伙伴们外出游玩,看到路边的李看到路边的李树上结满了果子树上结满了果子.小伙伴们纷纷去摘取果子小伙伴们纷纷去摘取果子,只有王戎只有王戎站在原地不动站在原地不动.伙伴问他为什么不去摘？伙伴问他为什么不去摘？王戎回答说王戎回答说:“树在道边而多子树在道边而多子,此必苦李此必苦李.”小小伙伴摘取一个尝了一下伙伴摘取一个尝了一下,果然是苦李果然是苦李.王戎是怎么知道李子是苦的呢王戎是怎么知道李子是苦的呢?他运用了怎样的他运用了怎样的推理方法推理方法?王戎的推理方法是王戎的推理方法是:假设李子不苦假设李子不苦,则因树在则因

2、树在“道道”边边,李子早就被别人采摘而没有了李子早就被别人采摘而没有了,这与这与“多李多李”产生矛盾产生矛盾.所以假设不成立所以假设不成立,李为苦李李为苦李.1.1.反反证证法的定法的定义义.2.2.反反证证法的一般步法的一般步骤骤.（重点）（重点）3.3.运用反运用反证证法的注意事法的注意事项项.（难难点）点）探究点探究点1 反反证证法的定法的定义义引例：引例：证明：在一个三角形中至少有一个角不小证明：在一个三角形中至少有一个角不小于于6060.已知：已知：A，B，C是是ABC的内角的内角.求证：求证：A，B，C中至少有一个中至少有一个 不小于不小于60.证明：证明：假设假设 的三个内角的三

3、个内角A，B，C都小于都小于60，则有则有 A 60，B 60，C 60所以所以 A+B+C180这与这与 相矛盾相矛盾.三角形内角和等于三角形内角和等于180所以假设不成立，所求证的结论成立所以假设不成立，所求证的结论成立.先假设结论的反面是正确的，然后通过逻辑推先假设结论的反面是正确的，然后通过逻辑推理，推出与公理、已证的定理、定义或已知条件相理，推出与公理、已证的定理、定义或已知条件相矛盾，说明假设不成立，从而得到原结论正确矛盾，说明假设不成立，从而得到原结论正确.这种证明方法就是这种证明方法就是反证法反证法 把这种不是直接从原命题的条件逐步推得命题把这种不是直接从原命题的条件逐步推得命

4、题成立的证明方法称为间接证明成立的证明方法称为间接证明.注：反证法是最常见的间接证法注：反证法是最常见的间接证法.一般地，假设原命题不成立（即在原命题的条一般地，假设原命题不成立（即在原命题的条件下，结论不成立），经过正确的推理，最后得出件下，结论不成立），经过正确的推理，最后得出矛盾矛盾.因此说明假设错误，从而证明了原命题成立，因此说明假设错误，从而证明了原命题成立，这样的证明方法叫做这样的证明方法叫做反证法反证法.反证法反证法 否定结论否定结论推出矛盾推出矛盾肯定结论肯定结论即分三个步骤：即分三个步骤：反设反设归谬归谬存真存真反设反设假设命题的结论不成立；假设命题的结论不成立；归谬归谬从假

5、设出发，经过一系列正确的推理，从假设出发，经过一系列正确的推理，得出矛盾；得出矛盾；反证法的证明过程反证法的证明过程存真存真由矛盾结果，断定反设不成立，从而由矛盾结果，断定反设不成立，从而肯定原结论成立肯定原结论成立.归谬归谬矛盾：矛盾：（1 1）与已知条件矛盾）与已知条件矛盾.（2 2）与假）与假设设矛盾或自相矛盾矛盾或自相矛盾.（3 3）与已有公理、定理、定）与已有公理、定理、定义义、事、事实实矛盾矛盾.反证法的思维方法：正难则反反证法的思维方法：正难则反.应用应用反证法推出矛盾的推导过程中，要把反证法推出矛盾的推导过程中，要把下列哪些下列哪些作为条件使用作为条件使用()结论相反判断，即假

6、设结论相反判断，即假设原命题的结论原命题的结论公理、定理、定义等公理、定理、定义等原命题的条件原命题的条件A AB BC C D DC C【即时训练即时训练】你能说出下列结论的反面吗你能说出下列结论的反面吗?1.ab2.d是正数是正数3.a04.aba不垂直于不垂直于bd不是正数不是正数,即即d0 a0a不平行不平行b万事开头难，让我们走好第一步！万事开头难，让我们走好第一步！探究点探究点2 2 反反证证法的法的应应用用常用的互为否定的表述方式：常用的互为否定的表述方式：至多有两个至多有两个至少有两个至少有两个至少有三个至少有三个最多有一个最多有一个原词语原词语 否定词否定词 原词语原词语 否

7、定词否定词 等于等于任意的任意的是是 至少有一个至少有一个 都是都是 至多有一个至多有一个 大于大于 至少有至少有n n个个 小于小于 至多有至多有n n个个 对所有对所有x,x,成立成立对任何对任何x x，不成立不成立 准准确确地地作作出出反反设设(即即否否定定结结论论)是是非非常常重重要要的的，下下面是一些常见的结论的否定形式面是一些常见的结论的否定形式.不是不是不都是不都是不大于不大于大于或等于大于或等于一个也没有一个也没有至少有两个至少有两个至多有（至多有（n-1)个个至少有（至少有（n+1)个个存在某存在某x，不成立不成立存在某存在某x,成立成立不等于不等于某个某个用反用反证证法法证

8、证明命明命题题“三角形中最多有一个是直角三角形中最多有一个是直角”时时，应应假假设设_.三角形中有两个或三个角是直角三角形中有两个或三个角是直角【即时训练即时训练】证明：证明：因为因为abab 所以经过直线所以经过直线a,ba,b确定一个平确定一个平面面 .因为因为 ,而而 ，所以所以 与与 是两个不同的平面是两个不同的平面.因为因为 ，所以所以 .例例1 已知直线已知直线a a，b b和和平面平面 ,如果如果 ,且且 ,求证求证:.abP下面用反证法证明直线下面用反证法证明直线a a与平面与平面 没有公共点，假设没有公共点，假设直线直线a a与平面与平面 有公共点有公共点P P，则，则P P

9、 ，即点，即点P P是是直线直线a a与与b b的公共点，这与的公共点，这与a abb矛盾，所以矛盾，所以a a .如图，在如图，在ABCABC中中,若若C C是直角，那么是直角，那么B B一定是锐一定是锐角角.【变式练习变式练习】证明：证明：假设结论不成立假设结论不成立,则则B B是直角或钝角是直角或钝角.当当B B是直角时，则是直角时，则B+C=180B+C=180，这与三角形的三个内角和等于这与三角形的三个内角和等于180180矛盾；矛盾；当当B B是钝角时，则是钝角时，则B+CB+C180180，这与三角形的三个内角和等于这与三角形的三个内角和等于180180矛盾；矛盾；综上所述综上所

10、述,假设不成立假设不成立.所以所以BB一定是锐角一定是锐角.分析：分析：直接证明一个数是无理数比较困难，我们直接证明一个数是无理数比较困难，我们采用反证法采用反证法.假设假设 不是无理数，那么它就是有理数不是无理数，那么它就是有理数.我们我们知道，任一有理数都可以写成形如知道，任一有理数都可以写成形如 （m,nm,n互质，互质，mZ,nNmZ,nN*)的形式的形式.下面我们看看能否由此推出矛下面我们看看能否由此推出矛盾盾.证明：证明：假设假设 不是无理数，那么它就是有理数不是无理数，那么它就是有理数.于是，存在互质的正整数于是，存在互质的正整数m,nm,n使得使得 ，从而有，从而有反证法的一般

11、步骤反证法的一般步骤先假设命题的结论不成立先假设命题的结论不成立从假设出发，经过推理从假设出发，经过推理得出矛盾得出矛盾否定假设否定假设肯定原命题肯定原命题分清条件和结论分清条件和结论【总结提升总结提升】宜用反证法证明的题型宜用反证法证明的题型（1 1）以否定性判断作为结论的命题）以否定性判断作为结论的命题.（2 2）某些定理的逆命题）某些定理的逆命题.（3 3）以）以“至多至多”、“至少至少”或或“不多于不多于”等形式陈等形式陈述的命题述的命题.（4 4）关于）关于“唯一性唯一性”结论的命题结论的命题.（8 8）涉及各种）涉及各种“无限无限”结论的命题等结论的命题等.（7 7）有些基本定理或

12、某一知识体系的初始阶段）有些基本定理或某一知识体系的初始阶段.（6 6）一些不等量命题的证明）一些不等量命题的证明.（5 5）解决整除性问题）解决整除性问题.证证:假设假设 M,则则|f(1)|=|1+a+b|,|f(0)|=|b|,|1+a+b|+|-2b|+|1-a+b|+2 +=2,即即|1+a+b|+|-2b|+|1-a+b|2.又又|1+a+b|+|-2b|+|1-a+b|(1+a+b)-2b+(1-a+b)|=2,即即|1+a+b|+|-2b|+|1-a+b|2,与与式式矛盾矛盾.假设不成立假设不成立.M .|f(-1)|=|1-a+b|.|f(-1)|=|1-a+b|B,则则ab

13、”的的结论结论的否定的否定应应该该是是()A.a180+C180,这这与三角形内与三角形内角和角和为为180180矛盾矛盾,故假故假设错误设错误;所以一个三角形不能有两个直角所以一个三角形不能有两个直角;假假设设ABCABC中有两个直角中有两个直角,不妨不妨设设A=90A=90,B=90,B=90.上述步上述步骤骤的正确的正确顺顺序序为为_(_(填序号填序号).).6.6.已知已知p p3 3+q+q3 3=2,=2,求求证证p+q2.p+q2.【证明证明】假设假设p+qp+q2,2,那么那么p2-q,p2-q,所以所以p p3 3(2-q)(2-q)3 3=8-12q+6q=8-12q+6q

14、2 2-q-q3 3,将将p p3 3+q+q3 3=2=2代入消去代入消去p,p,得得6q6q2 2-12q+60,-12q+60,即即6(q-1)6(q-1)2 20.0.这与这与6(q-1)6(q-1)2 200矛盾矛盾,故假设错误故假设错误.所以所以p+q2.p+q2.反证法的一般步骤反证法的一般步骤:假假设设命命题题不不成成立立引引出出矛矛盾盾假假设设不不成成立立求求证证的的命命题题正正确确假设假设归谬归谬结论结论从假设从假设出发出发得出得出结论结论与假设、已知、定与假设、已知、定义、定理、公理或义、定理、公理或者事实矛盾等者事实矛盾等 沟潭之水，凝滞沉闷，飞瀑之流，奋迅高亢同是为水，性却异，前者满足安逸，后者进取不已.