数学 第二章 平面向量 2.1 从位移、速度、力到向量2 北师大版必修4 .ppt

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1、第二章平面向量第二章平面向量2.12.1从位移、速度、力到向量从位移、速度、力到向量【知知识提提炼】1.1.向量的定向量的定义既有既有_又有又有_的量的量.2.2.有向有向线段段(1)(1)概念概念:具有具有_的的线段段.(2)(2)记法法:以以A A为起点起点,以以B B为终点的有向点的有向线段段记作作_._.(3)(3)长度度:线段段ABAB的的长度度,记作作|.|.大小大小方向方向方向方向3.3.向量的表示法向量的表示法(1)(1)向量可以用向量可以用_来表示来表示.有向有向线段的段的长度表示度表示_,_,即即长度度(也称也称_)._).箭箭头所指的方向表示所指的方向表示_._.(2)(

2、2)向量也可以用黑体小写字母如向量也可以用黑体小写字母如a,b,c,来表示来表示,书写用写用_,_,来表示来表示.有向有向线段段向量的大小向量的大小模模向量的方向向量的方向4.4.与向量有关的概念与向量有关的概念名称名称定定义记法法零向量零向量长度度为_的向量的向量0单位向量位向量长度度为_的向量的向量相等向量相等向量长度度_且方向且方向_的向量的向量向量向量a与与b相等相等,记作作_0 0单位位1 1相等相等相同相同a=b名称名称定定义记法法共共线向量向量(平行向平行向量量)表示两个向量的有向表示两个向量的有向线段所在段所在的直的直线_的向量的向量.规定零向量与任一向量定零向量与任一向量_向

3、量向量a与与b平行或共平行或共线,记作作_平行或重合平行或重合平行平行ab【即即时小小测】1.1.思考下列思考下列问题.(1)(1)两个向量能比两个向量能比较大小大小吗?提示提示:不能不能.向量是既有大小向量是既有大小,又有方向的量又有方向的量.(2)(2)有向有向线段是向量段是向量吗?提示提示:不是不是.有向线段只是向量的一种表现形式有向线段只是向量的一种表现形式.2.2.下列物理量下列物理量:质量量;速度速度;位移位移;力力;加速度加速度;路程路程;密密度度;功功.其中不是向量的有其中不是向量的有()A.1A.1个个 B.2B.2个个 C.3C.3个个 D.4D.4个个【解析解析】选选D.

4、D.由向量的定义知由向量的定义知速度速度;位移位移;力力;加速度既有大加速度既有大小又有方向小又有方向,其他其他4 4个不是向量个不是向量.3.3.已知向量已知向量a如如图所示所示,下列下列说法不正确的是法不正确的是()A.A.也可以用也可以用 表示表示 B.B.方向是由方向是由M M指向指向N NC.C.起点是起点是M D.M D.终点是点是M M【解析解析】选选D.D.终点是终点是N N而不是而不是M.M.4.4.如如图,在在O O中中,向量向量 是是()A.A.有相同起点的向量有相同起点的向量 B.B.共共线向量向量C.C.模相等的向量模相等的向量 D.D.相等的向量相等的向量【解析解析

5、】选选C.C.均等于均等于O O的半径的半径,大小相等大小相等.5.5.如如图,以以1cm3cm1cm3cm方格方格纸中的格点中的格点为起点和起点和终点的所有向量中点的所有向量中,以以A A为起点起点,可以写出可以写出_个不同的向量个不同的向量.【解析解析】由图可知由图可知,以以A A为起点的向量有为起点的向量有共有共有7 7个个.答案答案:7 7【知识探究知识探究】知知识点点1 1 向量的物理背景及概念向量的物理背景及概念观察察图形形,回答下列回答下列问题:问题1:1:上上图中的两个物理量有何特点中的两个物理量有何特点?问题2:2:直角坐直角坐标平面上的平面上的x x轴、y y轴是向量是向量

6、吗?问题3:3:这些物理量与数量有何区些物理量与数量有何区别,与有向与有向线段有无区段有无区别?【总结提升提升】1.1.向量与数量的向量与数量的联系和区系和区别向量向量数量数量区区别方向方向有有无无表示表示方法方法可以用有向可以用有向线段表示段表示,也可以用字母符号表也可以用字母符号表示示因因为实数与数数与数轴上的点一一上的点一一对应,所以数量常常用数所以数量常常用数轴上的一上的一个点表示个点表示联系系(1)(1)向量与数量都是有大小的量向量与数量都是有大小的量(2)(2)向量的模是数量向量的模是数量2.2.向量与有向向量与有向线段的区段的区别(1)(1)向量只有大小和方向两个要素向量只有大小

7、和方向两个要素,与起点无关与起点无关.只要大小和方向相同只要大小和方向相同,这两个向量就是相同的向量两个向量就是相同的向量.(2)(2)有向有向线段是表示向量的工具段是表示向量的工具,它有起点、大小和方向三个要素它有起点、大小和方向三个要素,起起点不同点不同,尽管大小和方向相同尽管大小和方向相同,也是不同的有向也是不同的有向线段段.(3)(3)向量可自由移向量可自由移动,并且平移前后不并且平移前后不变;有向有向线段不能随意移段不能随意移动.知知识点点2 2 与向量有关的概念与向量有关的概念观察如察如图所示内容所示内容,回答下列回答下列问题:问题1:1:单位向量是否唯一位向量是否唯一?有多少个有

8、多少个单位向量位向量?问题2:2:共共线向量有几种情况向量有几种情况?共共线向量与平行向量的含向量与平行向量的含义一一样吗?【总结提升提升】1.1.对平行平行(共共线)向量的三点向量的三点说明明(1)(1)平行向量与共平行向量与共线向量是同一概念的不同名称向量是同一概念的不同名称.根据定根据定义可知可知,平行平行(共共线)向量所在的直向量所在的直线可以平行可以平行,也可以重合也可以重合.(2)(2)共共线向量所在的直向量所在的直线可以平行可以平行,与平面几何中的与平面几何中的“共共线”含含义不同不同.(3)(3)平行向量可以在同一条直平行向量可以在同一条直线上上,与平面几何中与平面几何中“直直

9、线平行平行”不同不同,平平面中两直面中两直线平行是指两直平行是指两直线没有公共点没有公共点.2.2.零向量的理解零向量的理解(1)(1)零向量的大小零向量的大小为零零,方向任意方向任意.(2)(2)零向量与任一向量平行零向量与任一向量平行.(3)(3)所有的零向量相等所有的零向量相等.3.3.关于相等向量的关注点关于相等向量的关注点(1)(1)两个向量相等必两个向量相等必须满足两个条件足两个条件:模相等模相等,方向相同方向相同,二者缺一不可二者缺一不可.例如例如,单位向量不一定是相等向量位向量不一定是相等向量.(2)(2)相等向量是平行相等向量是平行(共共线)向量向量,但是平行但是平行(共共线

10、)向量不一定是相等向向量不一定是相等向量量.【题型探究题型探究】类型一型一 向量有关概念的理解向量有关概念的理解【典例典例】1.1.下列下列结论中正确的是中正确的是()A.A.向量向量 的的长度和向量度和向量 的模的模长相等相等B.B.向量向量a与与b平行平行,则b与与a方向相同方向相同C.C.两个有共同起点而两个有共同起点而长度相等的向量度相等的向量,它它们的的终点必相同点必相同D.D.若若a与与b平行同向平行同向,且且|a|b|,|,则ab2.2.给出下列几种出下列几种说法法:(1)(1)若若|a|=|=|b|,|,则a=b或或a=-=-b.(2)(2)向量的模一定是正数向量的模一定是正数

11、.(3)(3)起点不同起点不同,但方向相同且模相等的几个向量是相等向量但方向相同且模相等的几个向量是相等向量.(4)(4)向量向量 是共是共线向量向量,则A,B,C,DA,B,C,D四点必在同一直四点必在同一直线上上.其中正确的序号是其中正确的序号是_._.【解解题探究探究】1.1.相等向量有何特征相等向量有何特征?提示提示:模长相等模长相等,方向相同方向相同.2.2.向量共向量共线与向量同向有何区与向量同向有何区别与与联系系?提示提示:共线不一定同向共线不一定同向,但同向一定共线但同向一定共线.【解析解析】1.1.选选A.A.选项选项解析解析结论结论A A模长是表示向量的有向线段的长度模长是

12、表示向量的有向线段的长度正确正确B B平行向量包括方向相同和相反平行向量包括方向相同和相反错误错误C C共起点长度相等的向量方向不一定相同共起点长度相等的向量方向不一定相同错误错误D D向量不能比较大小向量不能比较大小错误错误2.(1)2.(1)错误错误.由由|a|=|=|b|仅说明仅说明a与与b模相等模相等,但不能说明它们方向的关系但不能说明它们方向的关系.(2)(2)错误错误.0的模的模|0|=|=0 0.(3)(3)正确正确.对于一个向量只要不改变其大小和方向对于一个向量只要不改变其大小和方向,是可以任意移动的是可以任意移动的,因此相等向量可以起点不同因此相等向量可以起点不同.(4)(4

13、)错误错误.共线向量即平行向量共线向量即平行向量,只要求方向相同或相反即可只要求方向相同或相反即可,并不要求并不要求两个向量两个向量 必须在同一直线上必须在同一直线上.答案答案:(3)(3)【方法技巧方法技巧】理解向量有关概念理解向量有关概念时的四个关注点的四个关注点(1)(1)理解向量的理解向量的问题时不可忽不可忽视向量的大小与方向向量的大小与方向.(2)(2)理解向量的平行理解向量的平行问题时不可忽不可忽视零向量的大小零向量的大小为零零,方向任意方向任意;零零向量与任一向量平行向量与任一向量平行.(3)(3)共共线向量包括同向和反向向量包括同向和反向,向量相等指向量的大小相等方向相同向量相

14、等指向量的大小相等方向相同.(4)(4)向量向量a的的单位向量有两个位向量有两个,这两个两个单位向量方向相反位向量方向相反.【拓展延伸拓展延伸】判定一个量是否判定一个量是否为向量的方法向量的方法(1)(1)看大小看大小,即看其是否具有大小特征即看其是否具有大小特征.(2)(2)看方向看方向,即看其是否具有方向性即看其是否具有方向性.【变式式训练】下列下列说法正确的是法正确的是()A.A.向量向量a与与b共共线,向量向量b与与c共共线,则向量向量a与与c共共线B.B.向量向量a与与b不共不共线,向量向量b与与c不共不共线,则向量向量a与与c不共不共线C.C.向量向量 是共是共线向量向量,则A,B

15、,C,DA,B,C,D四点可构成平行四四点可构成平行四边形形D.D.向量向量a与与b不共不共线,则a与与b都是非零向量都是非零向量【解析解析】选选D.D.当当b=0时时,A,A不对不对;如图如图,b与与a,b与与c均不共线均不共线,但但a与与c共线共线,所以所以B B错错.当当A,B,C,DA,B,C,D四点共线时四点共线时 也是共线向量也是共线向量,所以所以C C错错.若若a与与b有有一一个个为为零零向向量量,则则a与与b一一定定共共线线,所所以以a,b不不共共线线时时,一一定定有有a与与b都是非零向量都是非零向量,故故D D正确正确.类型二型二 向量的表示向量的表示【典例典例】在如在如图所

16、示的坐所示的坐标纸中中,用直尺与用直尺与圆规画出下列向量画出下列向量.(1)|=3,(1)|=3,点点A A在点在点O O的正的正东方向方向.(2)|=3,(2)|=3,点点B B在点在点O O的正西方向的正西方向.【解解题探究探究】如何确定如何确定题中的向量中的向量?提示提示:根据模长定长度根据模长定长度,根据上北下南左西右东的原则定方向即可确定根据上北下南左西右东的原则定方向即可确定.【解析解析】如图所示如图所示:【延伸探究延伸探究】1.(1.(改改变问法法)若本例的前提条件不若本例的前提条件不变,试画出画出满足下列条件的向量足下列条件的向量.(1)(1)点点C C在点在点O O的的东北方

17、向北方向.(2)|=2,(2)|=2,点点D D在点在点O O的西南方向的西南方向.【解析解析】如图所示如图所示:2.(2.(改改变问法法)如果将如果将题中的中的“|=3”|=3”改改为“1|2”,1|2”,试求求点点A A构成的构成的图形的面形的面积.【解析解析】因为因为1|2,1|2,所以点所以点A A在以点在以点O O为圆心为圆心,半径为半径为2 2的圆内的圆内,在以点在以点O O为圆心为圆心,半径为半径为1 1的圆外的圆外.所以点所以点A A构成的图形是一个圆环构成的图形是一个圆环,其面其面积为积为2 22 2-1 12 2=3=3.【方法技巧方法技巧】用用“四定一四定一标”法来表示向

18、量法来表示向量(1)(1)所所谓“四定四定”,即定向量即定向量长度、定向量的起点、定向量方向及度、定向量的起点、定向量方向及终点点.(2)(2)所所谓“一一标”,即用箭即用箭头标明向量的方向性明向量的方向性.注注意意:任任意意两两个个相相等等的的非非零零向向量量,都都可可用用同同一一条条有有向向线段段来来表表示示,并并且且与有向与有向线段的起点无关段的起点无关.【补偿训练】一一辆汽汽车从从A A点点出出发向向西西行行驶了了100100千千米米到到达达点点B,B,然然后后又又改改变方方向向向向西西偏偏北北6060行行驶了了200200千千米米到到达达点点C,C,最最后后又又改改变方方向向,向向东

19、行行驶了了100100千米到达点千米到达点D.D.作出向量作出向量 【解析解析】如图所示如图所示:【延伸探究延伸探究】1.(1.(改改变问法法)本本题条件不条件不变,求求|.|.【解析解析】由题意由题意,易知易知 方向相反方向相反,故故 所以在四边形所以在四边形ABCDABCD中中,AB,AB CD.CD.所以四边形所以四边形ABCDABCD为平行四边形为平行四边形.所以所以 =200 =200千米千米.2.(2.(改改变问法法)本本题条件不条件不变,点点D D在点在点B B的什么位置的什么位置?【解析解析】由题意知由题意知,点点B,C,DB,C,D构成直角三角形构成直角三角形,所以所以 所以

20、点所以点D D在点在点B B的正北方向的正北方向 千米千米.类型三型三 相等向量与共相等向量与共线向量向量【典典例例】如如图所所示示,ABC,ABC的的三三边均均不不相相等等,E,F,D,E,F,D分分别是是AC,AB,BCAC,AB,BC的的中中点点.(1)(1)写出与写出与 共共线的向量的向量.(2)(2)写出与写出与 的模相等的向量的模相等的向量.(3)(3)写出与写出与 相等的向量相等的向量.【解解题探究探究】1.1.题(1)(1)中判断向量共中判断向量共线的依据是什么的依据是什么?提示提示:依据是看两个向量的方向是否相同或相反依据是看两个向量的方向是否相同或相反.2.2.题(2)(2

21、)中判断向量的模是否相等的依据是什么中判断向量的模是否相等的依据是什么?提示提示:判断表示向量的有向线段的长度是否相等判断表示向量的有向线段的长度是否相等.3.3.题(3)(3)中判断向量相等的依据是什么中判断向量相等的依据是什么?提示提示:判断两个向量的方向是否相同判断两个向量的方向是否相同,模是否相等模是否相等.【解析解析】因为因为E,FE,F分别是分别是AC,ABAC,AB的中点的中点,所以所以EFBC,EFBC,且且EF=BC.EF=BC.又因为又因为D D是是BCBC的中点的中点,所以所以EF=BD=DC.EF=BD=DC.(1)(1)与与 共线的向量有共线的向量有:(2)(2)与与

22、 的模相等的向量有的模相等的向量有:(3)(3)与与 相等的向量有相等的向量有:【延伸探究延伸探究】在本例条件不在本例条件不变的情况下的情况下,写出与写出与 共共线的向量和与的向量和与 相等的向量相等的向量.【解析解析】与与 共线的向量有共线的向量有:与与 相等的向量有相等的向量有:【方法技巧方法技巧】判断相等向量与共判断相等向量与共线向量的注意点向量的注意点(1)(1)两两个个向向量量平平行行与与两两条条直直线平平行行是是两两个个不不同同的的概概念念:两两个个向向量量平平行行包包含两个向量所在直含两个向量所在直线共共线,但两条直但两条直线平行不包含两条直平行不包含两条直线重合重合.(2)(2

23、)平行平行(共共线)向量无向量无传递性性(因因为有有0).).(3)(3)共共线向量一般在一条直向量一般在一条直线上或分上或分别在两条平行直在两条平行直线上上.【变式式训练】如如图所示所示,O,O是正六是正六边形形ABCDEFABCDEF的中心的中心,且且 (1)(1)与与a的的长度相等、方向相反的向量有哪些度相等、方向相反的向量有哪些?(2)(2)与与a共共线的向量有哪些的向量有哪些?【解析解析】(1)(1)与与a的长度相等、方向相反的向量有的长度相等、方向相反的向量有 (2)(2)与与a共线的向量有共线的向量有 易易错案例案例 对向量的相关概念的正确理解向量的相关概念的正确理解【典例典例】

24、下列四个下列四个说法法:若若|a|=0,|=0,则a=0 0;两个两个单位向量一定相等位向量一定相等;若若ab,则|a|=|=|b|;|;若若ab,bc,则ac.其中正确的个数是其中正确的个数是()()A.0 B.1A.0 B.1C.2C.2D.3D.3【失失误案例案例】【错解分析解分析】分析上面的解析分析上面的解析过程程,你知道你知道错在哪里在哪里吗?提提示示:错错误误的的根根本本原原因因在在于于对对向向量量的的相相关关概概念念理理解解不不透透彻彻.认认为为正正确确是是忽忽略略了了0和和0 0的的区区别别.认认为为正正确确是是忽忽视视只只由由两两个个向向量量平平行行,可可以以得得到到它它们们

25、的的方方向向相相同同或或相相反反,而而未未必必得得到到它它们们的的模模相相等等;认认为为正正确确,是是因因为忽视了零向量与任何向量平行为忽视了零向量与任何向量平行.【自自我我矫正正】选A.A.错误,由由|a|=0|=0可可知知a是是零零向向量量,即即a=0;错误,单位位向向量量模模为1,1,但但方方向向不不一一定定相相同同,故故单位位向向量量不不一一定定相相等等;错误,两两个个向向量量平平行行,可可以以得得到到它它们的的方方向向相相同同或或相相反反,而而未未必必得得到到它它们的的模模相相等等;错误,若若b=0,则a与与c不一定平行不一定平行.【防范措施防范措施】1.1.正确理解向量的相关概念正

26、确理解向量的相关概念解解答答有有关关向向量量的的概概念念辨辨析析问题时,要要紧扣扣向向量量的的相相关关定定义,从从向向量量的的大大小和方向两个角度去分析小和方向两个角度去分析.2.2.明确向量共明确向量共线和平行与平面几何中共和平行与平面几何中共线、平行的区、平行的区别共共线向向量量和和平平行行向向量量是是同同一一概概念念,都都是是指指方方向向相相同同或或相相反反的的向向量量,并并不不一定在同一条直一定在同一条直线上上,要注意与平面几何中的要注意与平面几何中的“共共线”“”“平行平行”的区的区别.3.3.重重视零向量的特殊性零向量的特殊性要要特特别注注意意零零向向量量的的方方向向的的任任意意性性,它它与与任任意意向向量量平平行行,本本题若若忽忽视这一点一点,对的判断就会出的判断就会出错.