数学 第二章 平面向量 2.3.4 平面向量共线的坐标表示2 新人教A版必修4 .ppt

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1、2.3.4平面向量共线的坐标表示【知识提炼知识提炼】平面向量共线的坐标表示平面向量共线的坐标表示(1)(1)条件：条件：a=(x=(x1 1，y y1 1)，b=(x=(x2 2，y y2 2)，其中，其中_._.(2)(2)结论：当且仅当结论：当且仅当_时，向量时，向量a，b(b0)共线共线.b0 x1y2-x2y1=0【即时小测即时小测】1.1.思考下列问题思考下列问题.(1)(1)已知已知a=(x=(x1 1，y y1 1)，b=(x=(x2 2，y y2 2)，若，若ab，则必有，则必有x x1 1y y2 2=x=x2 2y y1 1对吗？对吗？提示：提示：对对.根据两向量共线的坐标

2、表示知正确根据两向量共线的坐标表示知正确.(2)(2)已知已知a=(x=(x1 1，y y1 1)，b=(x=(x2 2，y y2 2)，若，若ab，是否有，是否有 成立？成立？提示：提示：由于由于 的意义与的意义与x x1 1y y2 2-x-x2 2y y1 1=0=0的意义不同，前者不允许的意义不同，前者不允许x x2 2和和y y2 2为为零，而后者允许，所以当向量零，而后者允许，所以当向量a，b之一为零向量或向量之一为零向量或向量a，b与坐标轴与坐标轴平行时，该等式不适用平行时，该等式不适用.2.2.下列各组向量中，共线的是下列各组向量中，共线的是()A.A.a=(-2=(-2，3)

3、3)，b=(4=(4，6)6)B.B.a=(2=(2，3)3)，b=(3=(3，2)2)C.C.a=(1=(1，-2)-2)，b=(7=(7，14)14)D.D.a=(-3=(-3，2)2)，b=(6=(6，-4)-4)【解析解析】选选D.D.由两向量共线的坐标表示知，对于由两向量共线的坐标表示知，对于D D，(-3)(-3)(-4)-(-4)-2 26=06=0，所以共线，其他均不满足，所以共线，其他均不满足.3.3.已知已知a=(1=(1，2)2)，b=(x=(x，4)4)，若，若ab，则，则x x等于等于()A.-A.-B.B.C.-2C.-2D.2D.2【解析解析】选选D.D.因为因为

4、ab，所以，所以4-2x=04-2x=0，所以，所以x=2.x=2.4.4.已知已知A(1A(1，2)2)，B(2B(2，-1)-1)，写出一个与，写出一个与 平行且方向相反的向量平行且方向相反的向量a=_.=_.【解析解析】因为因为 =(1=(1，-3)-3)，则与，则与 平行且方向相反的向量平行且方向相反的向量a=(0)0)，则当，则当=-1=-1时，时，a=(-1=(-1，3).3).答案：答案：(-1(-1，3)(3)(答案不唯一答案不唯一)5.5.若若A(3A(3，-6)-6)，B(-5B(-5，2)2)，C(6C(6，y)y)三点共线，则三点共线，则y=_.y=_.【解析解析】=(

5、-8=(-8，8)8)，=(11=(11，y-2)y-2)，则，则 ，所以，所以-8(y-2)-8(y-2)-8 811=011=0，解得，解得y=-9.y=-9.答案：答案：-9-9【知识探究知识探究】知识点知识点 平面向量共线的坐标表示平面向量共线的坐标表示观察图形，回答下列问题：观察图形，回答下列问题：问题问题1 1：前面所学的两个向量共线的条件是什么？是否可以转化为坐：前面所学的两个向量共线的条件是什么？是否可以转化为坐标形式？标形式？问题问题2 2：两个向量：两个向量a=(x=(x1 1，y y1 1)，b=(x=(x2 2，y y2 2)平行的条件平行的条件 与与x x1 1y y

6、2 2-x x2 2y y1 1=0=0的适用情况有何不同？的适用情况有何不同？【总结提升总结提升】两个向量共线条件的三种表示方法两个向量共线条件的三种表示方法已知已知a=(x=(x1 1，y y1 1)，b=(x=(x2 2，y y2 2).).(1)(1)当当b0时，时，a=b.这是几何运算，体现了向量这是几何运算，体现了向量a与与b的长度及方向之间的关系的长度及方向之间的关系.(2)x(2)x1 1y y2 2-x-x2 2y y1 1=0.=0.这是代数运算，用它解决向量共线问题的优点在于不需要引入参数这是代数运算，用它解决向量共线问题的优点在于不需要引入参数“”，从而减少未知数的个数

7、，而且使问题的解决具有代数化的特，从而减少未知数的个数，而且使问题的解决具有代数化的特点，程序化的特征点，程序化的特征.(3)(3)当当x x2 2y y2 200时，时，.即两向量的相应坐标成比例，通过这种形式较易记忆向量共线的坐标即两向量的相应坐标成比例，通过这种形式较易记忆向量共线的坐标表示，而且不易出现搭配错误表示，而且不易出现搭配错误.【题型探究题型探究】类型一类型一 共线向量的判定共线向量的判定【典典例例】1.1.已已知知向向量量a=(1=(1，2)2)，b=(=(，1)1)，若若(a+2+2b)(2)(2a-2-2b)，则则的值等于的值等于()A.A.B.B.C.1C.1D.2D

8、.22.2.已已知知a=(1=(1，2)2)，b=(-3=(-3，2)2)，当当k k为为何何值值时时，k ka+b与与a-3-3b平平行行？平平行行时它们是同向还是反向？时它们是同向还是反向？【解题探究解题探究】1.1.典例典例1 1中中a+2+2b，2 2a-2-2b的坐标怎样求出？的坐标怎样求出？提示：提示：利用向量的数乘公式及加减法的坐标表示求解利用向量的数乘公式及加减法的坐标表示求解.2.2.两向量平行时，两向量间有怎样的关系？如何判断它们是同向还是两向量平行时，两向量间有怎样的关系？如何判断它们是同向还是反向？反向？提示：提示：两向量平行时，两向量之间存在实数倍关系，当实数大于零时

9、，两向量平行时，两向量之间存在实数倍关系，当实数大于零时，两向量同向；当实数小于零时，两向量反向两向量同向；当实数小于零时，两向量反向.【解析解析】1.1.选选A.A.方法一：方法一：a+2+2b=(1=(1，2)+2(2)+2(，1)=(1+21)=(1+2，4)4)，2 2a-2-2b=2(1=2(1，2)-2(2)-2(，1)=(2-21)=(2-2，2)2)，由由(a+2+2b)(2)(2a-2-2b)可得可得2(1+2)-4(2-2)=02(1+2)-4(2-2)=0，解得解得=.=.方法二：假设方法二：假设a，b不共线，则由不共线，则由(a+2+2b)(2)(2a-2-2b)可得可

10、得a+2+2b=(2=(2a-2-2b)，从而从而 方程组显然无解，即方程组显然无解，即a+2+2b与与2 2a-2-2b不共线，这与不共线，这与a+2+2b(2(2a-2-2b)矛盾，从而假设不成立，故应有矛盾，从而假设不成立，故应有a，b共线，所以共线，所以 即即=.=.2.2.方法一：方法一：k ka+b=k(1=k(1，2)+(-32)+(-3，2)=(k-32)=(k-3，2k+2)2k+2)，a-3-3b=(1=(1，2)-3(-32)-3(-3，2)=(102)=(10，-4)-4)，当当k ka+b与与a-3-3b平行时，存在唯一实数平行时，存在唯一实数，使使k ka+b=(a

11、-3-3b)，即即(k-3(k-3，2k+2)=(102k+2)=(10，-4)-4)，所以所以 解得解得k=-.k=-.当当k=-k=-时，时，k ka+b与与a-3-3b平行，平行，这时这时因为因为=-=-0 0，所以，所以k ka+b与与a-3-3b反向反向.方法二：由方法一知方法二：由方法一知k ka+b=(k-3=(k-3，2k+2)2k+2)，a-3-3b=(10=(10，-4)-4)，因为因为k ka+b与与a-3-3b平行，平行，所以所以(k-3)(k-3)(-4)-10(2k+2)=0(-4)-10(2k+2)=0，解得，解得k=-.k=-.故故k ka+b与与a-3-3b反

12、向反向.【延伸探究延伸探究】1.(1.(变换条件变换条件)若将典例若将典例2 2中的条件中的条件“a=(1=(1，2)2)，b=(-3=(-3，2)2)”改为改为“b=(1(1，2)2)，a=(-3=(-3，2)2)”结果如何？结果如何？【解析解析】k ka+b=k(-3=k(-3，2)+(12)+(1，2)=(-3k+12)=(-3k+1，2k+2)2k+2)，a-3-3b=(-3=(-3，2)-3(12)-3(1，2)=(-62)=(-6，-4)-4)，当当k ka+b与与a-3-3b平行时，存在唯一实数平行时，存在唯一实数，使使k ka+b=(=(a-3-3b)，由由(-3k+1(-3k

13、+1，2k+2)=(-62k+2)=(-6，-4)-4)，得得 解得解得k=-.k=-.当当k=-k=-时，时，k ka+b与与a-3-3b平行，平行，这时这时 因为因为=-=-0 0，所以，所以k ka+b与与a-3-3b反向反向.2.(2.(改变问法改变问法)典例典例2 2中已知条件不变，若问题改为中已知条件不变，若问题改为“当当k k为何值时，为何值时，a+k+kb与与3 3a-b平行？平行？”又如何求又如何求k k的值？的值？【解析解析】a+k+kb=(1=(1，2)+k(-32)+k(-3，2)=(1-3k2)=(1-3k，2+2k)2+2k)，3 3a-b=3(1=3(1，2)-(

14、-32)-(-3，2)=(62)=(6，4)4)，因为因为a+k+kb与与3 3a-b平行，平行，所以所以(1-3k)(1-3k)4-(2+2k)4-(2+2k)6=06=0，解得，解得k=-.k=-.【方法技巧方法技巧】向量共线的判定方法向量共线的判定方法(1)(1)利用向量共线定理，由利用向量共线定理，由a=b(b0)0)推出推出ab.(2)(2)利用向量共线的坐标表达式利用向量共线的坐标表达式x x1 1y y2 2-x-x2 2y y1 1=0=0直接求解直接求解.【补偿训练补偿训练】已知已知A(-1A(-1，-1)-1)，B(1B(1，3)3)，C(2C(2，5)5)，那么，那么 是

15、否是否共线？如果共线，它们的方向相同还是相反？共线？如果共线，它们的方向相同还是相反？【解析解析】因为因为 =(1-(-1)=(1-(-1)，3-(-1)=(23-(-1)=(2，4)4)，=(2-(-1)=(2-(-1)，5-(-1)=(35-(-1)=(3，6)6)，所以所以2 26-36-34=04=0，所以所以 所以所以 共线共线.又又 所以所以 的方向相同的方向相同.类型二类型二 向量共线的坐标运算向量共线的坐标运算【典例典例】1.1.若点若点A(1A(1，-3)-3)，C(xC(x，1)1)三点共线，则三点共线，则x x的值为的值为_._.2.(20152.(2015张家界高一检测

16、张家界高一检测)已知向量已知向量a=(2=(2，1)1)，b=(1=(1，1)1)，c=(5=(5，2)2)，m=b+c(为常数为常数).).(1)(1)求求a+b.(2)(2)若若a与与m平行，求实数平行，求实数的值的值.【解题探究解题探究】1.1.典例典例1 1中，中，A A，B B，C C三点共线会得到哪些向量平行？三点共线会得到哪些向量平行？提示：提示：以以A A，B B，C C三点任意两点为端点的两个向量平行三点任意两点为端点的两个向量平行.2.2.典例典例2 2中，求实数中，求实数的步骤是什么？的步骤是什么？提示：提示：首先根据向量坐标运算法，用首先根据向量坐标运算法，用表示出表示

17、出m的坐标，然后依据的坐标，然后依据am及向量共线的坐标表示列出关于及向量共线的坐标表示列出关于的方程的方程.最后解方程求出最后解方程求出.【解析解析】1.=(x-11.=(x-1，4)4)，因为，因为A A，B B，C C三点共线，三点共线，所以所以 共线，共线，所以所以7 74-(x-1)=04-(x-1)=0，解得，解得x=9.x=9.答案：答案：9 92.(1)2.(1)因为因为a=(2=(2，1)1)，b=(1=(1，1)1)，所以所以a+b=(2=(2，1)+(11)+(1，1)=(31)=(3，2).2).(2)(2)因为因为b=(1=(1，1)1)，c=(5=(5，2)2)，所

18、以所以m=b+c=(1=(1，1)+(51)+(5，2)=(+52)=(+5，+2).+2).又因为又因为a=(2=(2，1)1)，且，且a与与m平行，平行，所以所以2(+2)=+52(+2)=+5，解得，解得=1.=1.【方法技巧方法技巧】1.1.三点共线的实质与证明策略三点共线的实质与证明策略(1)(1)实质：三点共线问题的实质是向量共线问题两个向量共线只需实质：三点共线问题的实质是向量共线问题两个向量共线只需满足方向相同或相反，两个向量共线与两个向量平行是一致的满足方向相同或相反，两个向量共线与两个向量平行是一致的(2)(2)证明步骤：利用向量平行证明三点共线需分两步完成：证明步骤：利用

19、向量平行证明三点共线需分两步完成：证明向证明向量平行；量平行；证明两个向量有公共点证明两个向量有公共点2.2.利用向量平行的条件处理求值问题的思路利用向量平行的条件处理求值问题的思路(1)(1)利用共线向量定理利用共线向量定理a=b(b0)列方程组求解列方程组求解.(2)(2)利用向量平行的坐标表达式利用向量平行的坐标表达式x x1 1y y2 2-x-x2 2y y1 1=0=0直接求解直接求解.【变式训练变式训练】设点设点A(xA(x，1)1)，B(2xB(2x，2)2)，C(1C(1，2x)2x)，D(5D(5，3x)3x)，当，当x x为何值时，为何值时，共线且方向相同，此时，共线且方

20、向相同，此时，A A，B B，C C，D D能否在同一能否在同一条直线上？条直线上？【解析解析】=(2x =(2x，2)-(x2)-(x，1)=(x1)=(x，1)1)，=(1 =(1，2x)-(2x2x)-(2x，2)=(1-2x2)=(1-2x，2x-2)2x-2)，=(5 =(5，3x)-(13x)-(1，2x)=(42x)=(4，x)x)由由 共线，所以共线，所以x x2 2=1=14 4，所以，所以x=x=2.2.又又 方向相同，所以方向相同，所以x=2.x=2.此时，此时，=(2 =(2，1)1)，=(-3 =(-3，2)2)，而，而2 22-32-31 1，所以，所以 不共线，不

21、共线，所以所以A A，B B，C C三点不在同一条直线上三点不在同一条直线上所以所以A A，B B，C C，D D不在同一条直线上不在同一条直线上类型三类型三 共线向量在几何中的应用共线向量在几何中的应用【典例典例】1.1.已知已知P P1 1(2(2，-1)-1)，P P2 2(-1(-1，3)3)，P P在直线在直线P P1 1P P2 2上，且上，且则则P P点的坐标为点的坐标为_2.2.在在AOBAOB中，已知点中，已知点O(0O(0，0)0)，A(0A(0，5)5)，B(4B(4，3)3)，ADAD与与BCBC交于点交于点M M，求点，求点M M的坐标的坐标【解题探究解题探究】1.1

22、.典例典例1 1中由中由 如何确定如何确定P P点的坐标？点的坐标？提示：提示：设设P P点坐标为点坐标为(x(x，y)y)，由，由 建立建立 x x，y y之间的等量关系之间的等量关系.2.2.典例典例2 2中由中由ADAD与与BCBC交于点交于点M M，能够确定哪两对向量是共线的？，能够确定哪两对向量是共线的？提示：提示：由由ADAD与与BCBC交于点交于点M M，可以得到，可以得到 共线，共线，共线共线.【解析解析】1.1.因为因为 设设P P点坐标为点坐标为(x(x，y)y)，则则 =(x-2 =(x-2，y+1)y+1)，=(-1-x =(-1-x，3-y)3-y)所以所以(x-2(

23、x-2，y+1)=(-1-xy+1)=(-1-x，3-y)3-y)，所以所以 即即 故故P P点坐标为点坐标为 .答案：答案：2.2.因为点因为点O(0O(0，0)0)，A(0A(0，5)5)，B(4B(4，3)3)，所以所以 =(0=(0，5)5)，=(4=(4，3).3).因为因为所以点所以点C C的坐标为的坐标为 .同理可得点同理可得点D D的坐标为的坐标为 .设点设点M M的坐标为的坐标为(x(x，y)y)，则，则 =(x=(x，y-5)y-5)，而，而因为因为A A，M M，D D三点共线，三点共线，所以所以 共线共线.所以所以-x-2(y-5)=0.-x-2(y-5)=0.即即7x

24、+4y=20.7x+4y=20.而而因为因为C C，M M，B B三点共线，所以三点共线，所以 共线共线.所以所以即即7x-16y=-20.7x-16y=-20.由由得得x=x=，y=2.y=2.所以点所以点M M的坐标为的坐标为(，2).2).【延伸探究延伸探究】若典例若典例1 1中条件中条件“”变为变为“”，则则P P点的坐标如何？点的坐标如何？【解析解析】(1)(1)当当 同向时，同向时，P P点坐标为点坐标为(2)(2)当当 反向时，则有反向时，则有设设P P点坐标为点坐标为(x(x，y)y)，所以所以(x-2(x-2，y+1)=-(-1-xy+1)=-(-1-x，3-y)3-y)，所

25、以所以 即即 故故P P点坐标为点坐标为(8(8，-9)-9)综上可得，综上可得，P P点坐标为点坐标为 或或(8(8，-9).-9).【方法技巧方法技巧】应用向量共线的坐标表示求解几何问题的步骤应用向量共线的坐标表示求解几何问题的步骤【变式训练变式训练】已知已知A(-1A(-1，0)0)，B(3B(3，-1)-1)，C(1C(1，2)2)，并且，并且 求证：求证：【证明证明】设设E(xE(x1 1，y y1 1)，F(xF(x2 2，y y2 2)，依题意有依题意有因为因为 所以所以所以所以因为因为 【补偿训练补偿训练】1.ABC1.ABC的三个内角的三个内角A A，B B，C C所对的边的

26、长分别为所对的边的长分别为a a，b b，c c，设向量，设向量p=(=(a+ca+c，b)b)，q=(b=(b，c-a)c-a)，若，若pq，则角，则角C C的大小为的大小为()【解析解析】选选C.C.因为因为pq，所以，所以(a+c)(c-a)-ba+c)(c-a)-bb b=0=0，即，即c c2 2=a=a2 2+b+b2 2，所以所以C=.C=.2.2.已已知知直直角角坐坐标标平平面面上上四四点点A(1A(1，0)0)，B(4B(4，3)3)，C(2C(2，4)4)，D(0D(0，2)2)，求证：四边形求证：四边形ABCDABCD是等腰梯形是等腰梯形【证明证明】由已知得，由已知得，=

27、(4=(4，3)-(13)-(1，0)=(30)=(3，3)3)，=(0 =(0，2)-(22)-(2，4)=(-24)=(-2，-2)-2)因为因为3 3(-2)-3(-2)-3(-2)=0(-2)=0，所以，所以 与与 共线共线 =(-1 =(-1，2)2)，=(2=(2，4)-(44)-(4，3)=(-23)=(-2，1)1)，因为因为(-1)(-1)1-21-2(-2)0(-2)0，所以，所以 与与 不共线不共线所以四边形所以四边形ABCDABCD是梯形是梯形因为因为 =(-2 =(-2，1)1)，=(-1 =(-1，2)2)，所以所以 即即BC=AD.BC=AD.故四边形故四边形AB

28、CDABCD是等腰梯形是等腰梯形 巧思妙解巧思妙解 利用共线向量的坐标表示求点的坐标利用共线向量的坐标表示求点的坐标【典例典例】(2015(2015淄博高一检测淄博高一检测)如图，已知点如图，已知点A(4A(4，0)0)，B(4B(4，4)4)，C C(2(2，6)6)，则，则ACAC与与OBOB的交点的交点P P的坐标为的坐标为_._.【常常规规解解法法】设设P(xP(x，y)y)，分分别别过过点点C C，P P作作x x轴轴的的垂垂线线，垂垂足足为为E E，F F，如图所示如图所示.因为因为B(4B(4，4)4)，PFABPFAB，又又C(2C(2，6)6)，PFCEPFCE，所以，所以

29、即即 解得解得x=y=3x=y=3所以所以P(3P(3，3).3).答案：答案：(3(3，3)3)【巧妙解法巧妙解法】设设P(xP(x，y)y)，则，则 =(x=(x，y)y)，且，且 =(4=(4，4)4)，又又 与与 共线，所以共线，所以x=y.x=y.又又 =(x-4=(x-4，y)y)，=(-2 =(-2，6)6)，因为因为 共线，所以共线，所以(x-4)(x-4)6-y6-y(-2)=0(-2)=0，解得解得x=y=3x=y=3，所以，所以P(3P(3，3)3)即为所求即为所求答案：答案：(3(3，3)3)【巧妙解法巧妙解法】设设P(xP(x，y)y)，则，则 =(x=(x，y)y)

30、，且且 =(4=(4，4)4)，又又 共线，所以共线，所以x=y.x=y.又又 =(x-4=(x-4，y)y)，=(-2=(-2，6)6)，因为因为 与与 共线，所以共线，所以(x-4)(x-4)6-y6-y(-2)=0(-2)=0，解得解得x=y=3x=y=3，所以，所以P(3P(3，3)3)即为所求即为所求答案：答案：(3(3，3)3)【方法指导方法指导】利用向量共线的坐标运算求点的坐标利用向量共线的坐标运算求点的坐标(1)(1)共线向量的坐标运算：解题时，两向量共线的坐标运算是解决三共线向量的坐标运算：解题时，两向量共线的坐标运算是解决三点共线的关键，利用向量共线的坐标运算，会使问题的解决更直观、点共线的关键，利用向量共线的坐标运算，会使问题的解决更直观、方便方便.(2)(2)方程思想的应用：在求点或向量的坐标运算中注意方程思想的应方程思想的应用：在求点或向量的坐标运算中注意方程思想的应用，解题时充分利用向量共线、向量相等等条件作为列方程的依据用，解题时充分利用向量共线、向量相等等条件作为列方程的依据.