数学 第二章 平面向量 2.3 从速度的倍数到数乘向量 2.3.2 平面向量基本定理2 北师大版必修4 .ppt

《数学 第二章 平面向量 2.3 从速度的倍数到数乘向量 2.3.2 平面向量基本定理2 北师大版必修4 .ppt》由会员分享，可在线阅读，更多相关《数学 第二章 平面向量 2.3 从速度的倍数到数乘向量 2.3.2 平面向量基本定理2 北师大版必修4 .ppt（39页珍藏版）》请在淘文阁 - 分享文档赚钱的网站上搜索。

1、2.3.22.3.2平面向量基本定理平面向量基本定理【知知识识提提炼炼】平面向量基本定理与基底平面向量基本定理与基底(1)(1)平面向量基本定理：平面向量基本定理：(2)(2)基底：成为基底的条件：向量基底：成为基底的条件：向量e1 1,e2 2_._.条件条件 结论结论 e1 1,e2 2是同一平面内的两是同一平面内的两个个_向量向量a是该平面内的是该平面内的_向量向量 存在唯一一对实数存在唯一一对实数1 1,2 2，使得，使得a=_ 不共线不共线任一任一1 1e1 1+2 2e2 2不共线不共线【即即时时小小测测】1.1.思考下列思考下列问题问题:(1)(1)0能与另外一个向量能与另外一个

2、向量a构成基底构成基底吗吗?提示提示:不能不能.基向量是不共线的基向量是不共线的,而而0与任意向量是共线的与任意向量是共线的.(2)(2)平面向量的基底是唯一的平面向量的基底是唯一的吗吗?提示提示:不是不是.平面内任何不共线的两个向量都可以作为基底平面内任何不共线的两个向量都可以作为基底,当基底一当基底一旦确定后旦确定后,平面内任何一向量都可以用这一基底唯一表示平面内任何一向量都可以用这一基底唯一表示.2.2.在在ABCABC中中,则则 等于等于()【解析解析】选选A.A.如图如图,3.3.在平面向量基本定理中在平面向量基本定理中,若若a=0,则则1 1=2 2=_.=_.【解析解析】当当a=

3、0,即即1 1e1 1+2 2e2 2=0时时,因为因为0 0e1 1+0+0e2 2=0,所以根据实数所以根据实数1 1,2 2相对于基底相对于基底e1 1,e2 2唯一性知唯一性知1 1=2 2=0.=0.答案答案:0 04.4.在平面向量基本定理中在平面向量基本定理中,若若ae1 1,则则2 2=0;=0;若若ae2 2,则则1 1=_.=_.【解析解析】当当ae1 1时时,a=e1 1=1 1e1 1+2 2e2 2,所以根据实数所以根据实数1 1,2 2相对于基底相对于基底e1 1,e2 2唯一性知唯一性知1 1=,=,2 2=0.=0.同理可知当同理可知当ae2 2时时1 1=0.

4、=0.答案答案:0 0【知知识识探究探究】知知识识点点 平面向量基本定理平面向量基本定理观观察如察如图图所示内容所示内容,回答下列回答下列问题问题:问题问题1:1:平面向量基本定理的内容是什么平面向量基本定理的内容是什么?问题问题2:2:如何用已知向量表示指定向量如何用已知向量表示指定向量?【总结总结提升提升】1.1.对对平面向量基本定理的四点平面向量基本定理的四点说说明明(1)(1)实质实质:平面向量基本定理的平面向量基本定理的实质实质是向量的分解是向量的分解,即平面内任意向量即平面内任意向量都可以沿两个不共都可以沿两个不共线线的方向分解成两个向量和的形式的方向分解成两个向量和的形式.(2)

5、(2)唯一性唯一性:平面向量基本定理中平面向量基本定理中,平面内任意两个不共平面内任意两个不共线线的向量都可的向量都可以作以作为为基底基底,一旦一旦选选定一定一组组基底基底,则给则给定向量沿着基底的分解是唯一的定向量沿着基底的分解是唯一的.只要是同一平面内两个不共只要是同一平面内两个不共线线的向量都可以作的向量都可以作为为一一组组基底基底,故基底的故基底的选选取不唯一取不唯一.(3)(3)特殊性特殊性:零向量与任意向量都共零向量与任意向量都共线线,因此零向量不能作因此零向量不能作为为基底基底.(4)(4)体体现现的数学思想的数学思想:这这个定理体个定理体现现了了转转化与化化与化归归的数学思想的

6、数学思想,用向量用向量解决几何解决几何问题时问题时,可以可以选择选择恰当的基底恰当的基底,将将问题问题中涉及的向量用基底化中涉及的向量用基底化归归,使使问题问题得以解决得以解决.2.2.平面向量基本定理与向量共平面向量基本定理与向量共线线定理的定理的联联系系由平面向量共由平面向量共线线定理可知定理可知,任意一个向量可以用一个与它共任意一个向量可以用一个与它共线线的非零的非零向量来向量来线线性表示性表示,而且而且这这种表示是唯一的种表示是唯一的,故平面向量基本定理是向量故平面向量基本定理是向量共共线线定理从一定理从一维维到二到二维维的推广的推广.【题题型探究型探究】类类型一型一 对对基底的正确理

7、解基底的正确理解【典例典例】1.1.设设e1 1,e1 1是不共是不共线线的两个向量的两个向量,给给出下列四出下列四组组向量向量:e1 1与与e1 1+e2 2;e1 1-2-2e2 2与与e2 2-2-2e1 1;e1 1-2-2e2 2与与4 4e2 2-2-2e1 1;e1 1+e2 2与与e1 1-e2 2.其其中中,不不能能作作为为平平面面内内所所有有向向量量的的一一组组基基底底的的是是_(_(写写出出满满足足条条件件的序号的序号).).2.2.如如图图所示所示,OMAB,OMAB,点点P P在由射在由射线线OMOM、线线段段OBOB及及ABAB的延的延长线围长线围成的阴成的阴影区域

8、内影区域内(不含不含边边界界)运运动动,且且 则则x x的取的取值值范范围围是是_;_;当当x=-x=-时时,y,y的取的取值值范范围围是是_._.【解解题题探究探究】1.1.典例典例1 1中判断两个向量是否中判断两个向量是否为为一一组组基底的依据是什么基底的依据是什么?提示提示:不共线即两个向量不是零向量并且方向不相同也不相反不共线即两个向量不是零向量并且方向不相同也不相反.2.2.典例典例2 2中中 满满足什么条件足什么条件时时,点点P,A,BP,A,B三点共三点共线线?提示提示:当当x+yx+y=1=1时三点共线时三点共线.【解析解析】1.1.中中,设设e1 1+e2 2=e1 1,则则

9、 无解无解.所以所以e1 1+e2 2与与e1 1不共线不共线,故故e1 1与与e1 1+e2 2可作为一组基底可作为一组基底;同理同理,可得可得中的两个向量不共线中的两个向量不共线,可作为可作为一组基底一组基底;中的两个向量共线中的两个向量共线,不可作为一组基底不可作为一组基底.答案答案:2.2.由题意得由题意得:由由-aa0,0,得得x(-,0).x(-,0).又由又由 则有则有00 x+yx+y1,1,当当 答案答案:(-(-,0),0)【方法技巧方法技巧】对对基底的正确理解基底的正确理解(1)(1)两个向量能否构成基底两个向量能否构成基底,主要看两向量是否主要看两向量是否为为非零向量且

10、不共非零向量且不共线线.(2)(2)一个平面的基底一旦确定一个平面的基底一旦确定,那么平面内任意一个向量都可以由那么平面内任意一个向量都可以由这组这组基底唯一表示基底唯一表示.【拓展延伸拓展延伸】正确正确应应用基底的几个关注点用基底的几个关注点(1)(1)若若a=0,则则有且只有有且只有1 1=2 2=0,=0,使使a=1 1e1 1+2 2e2 2.(2)(2)若若a与与e1 1(e2 2)共共线线,则则2 2=0(=0(1 1=0),=0),使使a=1 1e1 1+2 2e2 2.(3)(3)若若e1 1,e2 2不共不共线线,1 1e1 1+2 2e2 2=1 1e1 1+2 2e2 2

11、,则则1 1=1 1且且2 2=2 2.(4)(4)若若e1 1,e2 2不共不共线线,1 1e1 1+2 2e2 2=0,=0,则则恒有恒有1 1=2 2=0.=0.【变变式式训练训练】设设O O是平行四是平行四边边形形ABCDABCD两两对对角角线线的交点的交点,下列向量下列向量组组:其中可作其中可作为这为这个平行个平行四四边边形所在平面的基底的是形所在平面的基底的是()A.A.B.B.C.C.D.D.【解析解析】选选B.B.共线共线;则则 共线共线;不共线不共线;共线共线.由平面向量基底的由平面向量基底的概念知概念知向量组可以作为平面的基底向量组可以作为平面的基底.类类型二型二 用基底表

12、示向量用基底表示向量【典例典例】已知已知e1 1,e2 2是平面内两个不共是平面内两个不共线线的向量的向量,a=3=3e1 1-2-2e2 2,b=-2-2e1 1+e2 2,c=7=7e1 1-4-4e2 2,试试用向量用向量a和和b表示表示c.【解解题题探究探究】向量向量a和和b能表示能表示c的的实质实质是什么是什么?提示提示:其实质是向量其实质是向量a和和b不共线不共线,能够作为一组基底能够作为一组基底.【解析解析】因为因为a,b不共线不共线,所以可设所以可设c=x xa+y+yb,则则x xa+y+yb=x(3=x(3e1 1-2-2e2 2)+)+y(-2y(-2e1 1+e2 2)

13、=(3x-2y)=(3x-2y)e1 1+(-2x+y)+(-2x+y)e2 2=7=7e1 1-4-4e2 2.又因为又因为e1 1,e2 2不共线不共线,所以所以c=a-2-2b.【延伸探究延伸探究】1.(1.(改改变变问问法法)本本例例的的条条件件不不变变,是是否否存存在在实实数数,使使得得d=d=a+ba+b与与c c共共线线?说说明理由明理由.【解析解析】因为因为a=3=3e1 1-2-2e2 2,b=-2=-2e1 1+e2 2,d=a+b=(3=(3e1 1-2-2e2 2)+(-2)+(-2e1 1+e2 2)=(3-2)=(3-2)e1 1+(-2+)+(-2+)e2 2,所

14、以如果所以如果d,c共线共线,则则c=k kd(kR(kR),),即即 所以所以=-2.=-2.故存在实数故存在实数,当当=-2=-2时时,d,c共线共线.2.(2.(变换变换条件条件)本例的条件本例的条件“a=3=3e1 1-2-2e2 2,b=-2=-2e1 1+e2 2,c=7=7e1 1-4-4e2 2”变为变为“=3=3e1 1-2-2e2 2,=,=e1 1+e2 2,=7,=7e1 1-4-4e2 2,若若A,B,DA,B,D三点共三点共线线”试试求求实实数数的的值值.【解析解析】因为因为 =(7e =(7e1 1-4e-4e2 2)-()-(e e1 1+e+e2 2)=(7-

15、)e=(7-)e1 1-5e-5e2 2,且且A,B,DA,B,D三点共线三点共线,所以所以 共线共线,即存在实数即存在实数,使得使得 所以所以3e3e1 1-2e-2e2 2=(7-)e=(7-)e1 1-5e-5e2 2=(7-)e=(7-)e1 1-5e-5e2 2,因为因为e e1 1,e,e2 2是平面内两个不共线的向量是平面内两个不共线的向量,【方法技巧方法技巧】应应用平面向量基本定理用平面向量基本定理时时的关注点的关注点(1)(1)充分利用向量的加法、减法的法充分利用向量的加法、减法的法则则,在平行四在平行四边边形、三角形中确定形、三角形中确定向量的关系向量的关系.(2)(2)应

16、应用数乘向量用数乘向量时时特特别别注意注意线线段的比例关系段的比例关系,如中点、三等分点等如中点、三等分点等.(3)(3)一个重要一个重要结论结论:设设a,ba,b是同一平面内的两个不共是同一平面内的两个不共线线的向量的向量,若若x x1 1a+a+y y1 1b=xb=x2 2a+ya+y2 2b,b,则则有有【补偿训练补偿训练】如如图图,已知在已知在OABOAB中中,延延长长BABA到到C,C,使使AB=AC,DAB=AC,D是将是将分成分成2121的一个分点的一个分点,DC,DC和和OAOA交于点交于点E,E,设设 试试用用a,b表示向量表示向量 【解析解析】因为点因为点A A为为BCB

17、C的中点的中点,所以所以 【延伸探究延伸探究】1.(1.(变换变换条件条件)本本题题条件不条件不变变,若若 求求实实数数的的值值.【解析解析】如图如图,因为因为 =a-2-2a+b=(-2)=(-2)a+b.因为因为 共线共线,所以存在实数所以存在实数m,m,使得使得 即即 即即(+2m-2)(+2m-2)a+b=0.=0.因为因为a,b不共线不共线,所以所以 2.(2.(改改变问变问法法)本本题题条件不条件不变变,试试用用a,b表示向量表示向量 .【解析解析】设设 因为因为 共线共线,所以存在实数所以存在实数m,m,使得使得 即即(-2)(-2)a+b=即即(+2m-2)(+2m-2)a+b

18、=0.=0.因为因为a,b不共线不共线,所以所以 所以所以 所以所以 规规范解答范解答 平面向量基本定理的平面向量基本定理的应应用用【典例典例】已知已知 设设tRtR,如果如果3 3a=c,2 2b=d,e=t(t(a+b),),那么那么t t为为何何值时值时,C,D,E,C,D,E三点在一条直三点在一条直线线上上?【审题审题指指导导】(1)(1)要使要使C,D,EC,D,E三点在一条直三点在一条直线线上上,则则存在存在实实数数k,k,使得使得 可以想到用向量可以想到用向量a,b,c,d,e表示表示 (2)(2)由由3a=c,2b=d,e=t(a+b),),可以用向量可以用向量a,b表示表示

19、进进而而联联想到想到平面向量基本定理平面向量基本定理,需要考需要考虑虑向量向量a,b是否共是否共线线.(3)(3)分向量分向量a,b共共线线、不共、不共线线两种情况两种情况讨论讨论.【规规范解答范解答】【题题后悟道后悟道】1.1.合理的合理的选择选择基底基底用基底表示向量是解决向量用基底表示向量是解决向量问题问题的基的基础础,应应根据已知条件灵活根据已知条件灵活选择选择,通通常以与待求向量密切相关的两个不共常以与待求向量密切相关的两个不共线线的向量作的向量作为为基底基底,如本如本题题,可以可以用向量用向量a,b表示表示 2.2.关注平面向量基本定理成立的条件关注平面向量基本定理成立的条件对对基基底底的的正正确确理理解解是是应应用用平平面面向向量量基基本本定定理理的的关关键键,忽忽视视作作为为基基底底的的两两个个向向量量应应不不共共线线这这个个条条件件,将将会会造造成成解解题题考考虑虑不不周周全全而而出出现现错错解解或或漏漏解解,如如本本题题,如如果果忽忽视视对对向向量量a,b是是否否共共线线进进行行讨讨论论将将使使解解题题考考虑虑不不周全周全.