数学 第二章 数列 2.1 数列的概念与简单表示法（1） 新人教A版必修5 .ppt

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1、2.1数列的概念与简单表示法（1）1231.数列(1)定义:按照一定顺序排列的一列数叫做数列.(2)项:数列中的每一个数都叫做这个数列的项.数列中的每一项都和它的序号有关,排在第一位的数称为这个数列的第1项(通常也叫做首项),排在第二位的数称为这个数列的第2项排在第n位的数称为这个数列的第n项.(3)表示:数列的一般形式可以写成:a1,a2,an,简记为an.an表示数列中的第n个数.名师点拨数列的特征:(1)每一项都是数;(2)数列中的数有顺序,同一组数可组成多个不同的数列.1232.数列的分类(1)按数列的项数是否有限,分为有穷数列和无穷数列.项数有限的数列叫做有穷数列;项数无限的数列叫做

2、无穷数列.(2)按项的变化趋势分类123练一练1下列叙述正确的是()B.数列中的数由它的位置序号唯一确定C.数列1,3,5,7可表示为1,3,5,7D.同一个数在数列中不可能重复出现解析:递增数列指的是从第2项起,每一项都大于它的前一项,A错误.数列1,3,5,7与由实数1,3,5,7组成的集合1,3,5,7是两个不同的概念,C错误.同一个数在数列中可能重复出现,如2,2,2,表示由实数2构成的常数列,D错误.对于给定的数列,数列中的数由它的位置序号唯一确定,B正确.答案:B1231233.数列的通项公式如果数列an的第n项与序号n之间的关系可以用一个式子来表示,那么这个公式叫做这个数列的通项

3、公式.练一练2已知数列an的通项公式为an=n(n-1),则a3=,30是该数列的第项.解析:an=n(n-1),a3=3(3-1)=6.令an=n(n-1)=30,解得n=6或n=-5(舍去).答案:66123名师点拨(1)已知通项公式an=f(n),那么只需依次用1,2,3,代替公式中的n,就可以求出这个数列的各项.(2)一个数列的通项公式可以有不同的形式,如an=(-1)n可以写成an=(-1)n+2,还可以写成 这些通项公式形式上虽然不同,但都表示同一数列.(3)数列的通项公式也可用一个分段函数表示.例如,数列1,0,1,0,的通项公式可以表示为(4)数列的通项公式实际上就是相应函数的

4、解析式.(5)并不是所有的数列都有通项公式,就像并不是所有的函数都能用解析式表示一样.探究一探究二探究三探究四探究一数列的概念及分类探究一数列的概念及分类对数列概念的理解:(1)有序性:如1,2,3与3,2,1是不同的数列.(3)an与an是两个不同的概念,an表示数列a1,a2,an,而an只表示数列an的第n项.(4)数列与数集是两个不同的概念,它们的主要区别在于:集合中的元素具有无序性和互异性,数列中的项是有序的且可以相同,即如果组成两个数列的数相同而排列次序不同,那么它们就是不同的数列,另一方面,同一个数在数列中可以重复出现.探究一探究二探究三探究四典型例题1已知下列数列:(1)0,0

5、,0,0,0,0;(2)0,-1,2,-3,4,-5,;(4)1,0.2,0.22,0.23,;其中,是有穷数列,是无穷数列,是递增数列,是递减数列,是常数列,是摆动数列(填序号).思路分析:观察数列的项的变化趋势与规律,由数列的分类来判断.探究一探究二探究三探究四解析:(1)是常数列且是有穷数列;(2)是无穷摆动数列;(4)是无穷递减数列;(5)是无穷摆动数列.答案:(1)(2)(3)(4)(5)(3)(4)(1)(2)(5)探究一探究二探究三探究四变式训练1下列说法正确的是(填写序号).0,1,2,3,4,5是有穷数列;按从小到大排列的所有自然数构成一个无穷递增数列;-2,-1,1,3,-

6、2,4,3是一个项数为5的数列;数列1,2,3,4,2n是无穷数列.解析:紧扣数列的有关概念,验证每一个说法是否符合条件.0,1,2,3,4,5是集合,而不是数列,故错误.按从小到大排列的所有自然数构成一个无穷递增数列,故正确.同一个数在数列中可以重复出现,故此数列共有7项,故错误.数列1,2,3,4,2n,共有2n项,是有穷数列,故错误.答案:探究一探究二探究三探究四探究二根据数列的前几项写出通项公式探究二根据数列的前几项写出通项公式1.数列的通项公式表示的是项与项数之间的关系.2.根据数列的前几项写通项公式,体现了由特殊到一般的规律.解题时,一定要注意观察项与项数的关系和相邻项间的关系.具

7、体思路为:(1)先统一项的结构,如都化成分数、根式等.(2)分析这一结构中变化的部分与不变的部分,探索变化部分的规律与对应序号间的关系.(3)对于符号交替出现的情况,可先观察其绝对值,再用(-1)k处理符号.(4)对于周期出现的数列,考虑拆成几个简单数列和的形式,或者利用周期函数的知识解答.探究一探究二探究三探究四3.常见数列的通项公式(1)数列-1,1,-1,1,的通项公式是an=(-1)n,数列1,-1,1,-1,的通项公式是an=(-1)n+1或(-1)n-1.(2)数列1,2,3,4,的通项公式是an=n.(3)数列1,3,5,7,的通项公式是an=2n-1.(4)数列2,4,6,8,

8、的通项公式是an=2n.(5)数列1,2,4,8,的通项公式是an=2n-1.(6)数列1,4,9,16,的通项公式是an=n2.探究一探究二探究三探究四思路分析:经过观察、分析寻找每一项与其项数的统一规律.探究一探究二探究三探究四解:(1)数列的项有的是分数,有的是整数,可将各项都统一成分数再观察:,所以,它的一个通项公式为 (2)数列各项的绝对值分别为1,3,5,7,9,是连续的正奇数,其通项公式为2n-1;考虑(-1)n+1具有转换符号的作用,所以数列的一个通项公式为an=(-1)n+1(2n-1).(3)各项加1后,分别变为10,100,1 000,10 000,此数列的通项公式为10

9、n,可得原数列的一个通项公式为an=10n-1.探究一探究二探究三探究四(4)数列中每一项均由三部分组成,分母是从1开始的奇数列,其通项公式为2n-1;分子的前一部分是从2开始的自然数的平方,其通项公式为(n+1)2,分子的后一部分是减去一个自然数,其通项公式为n,综合得原数列的一个通项公式为(5)这个数列的前4项的绝对值都等于序号与序号加1的积的倒数,且奇数项为负,偶数项为正,所以它的一个通项公式是探究一探究二探究三探究四方法总结此类问题主要靠观察(观察规律)、比较(比较已知数列)、归纳、转化(转化为特殊数列)、联想(联想常见的数列)等方法.具体方法为:(1)分式中分子、分母的特征;(2)相

10、邻项的变化特征;(3)拆项后的特征;(4)各项的符号特征和绝对值特征;(5)化异为同.对于分式,还可以考虑对分子、分母各个击破,或寻找分子、分母之间的关系.探究一探究二探究三探究四探究一探究二探究三探究四探究一探究二探究三探究四探究三数列通项公式的应用探究三数列通项公式的应用1.数列是特殊的函数,特殊性表现在它的定义域为正整数集N*(或它的有限子集).当自变量n从小到大依次取值时,对应的函数值就构成数列,因此数列的通项公式就是相应函数的解析式,即an=f(n).2.判断给定的项是否是数列中的项,实质就是一个解方程的过程.若解得的n是正整数,则该项是此数列中的项;否则,就不是该数列中的项.探究一

11、探究二探究三探究四典型例题3已知数列(1)求这个数列的第10项;(2)是不是该数列中的项,为什么?(3)求证:数列中的各项都在区间(0,1)内.思路分析:对于(1)(2)将n代入或列方程求解;对于(3),将通项化简,根据n1求出项的取值范围.探究一探究二探究三探究四探究一探究二探究三探究四探究一探究二探究三探究四探究一探究二探究三探究四探究一探究二探究三探究四探究一探究二探究三探究四1 2 3 4 51.下列叙述正确的是()A.数列1,3,5,7与7,5,3,1是相同的数列B.数列0,1,2,3,可以表示为nC.数列0,1,0,1,是常数列D.数列2n是递增数列解析:数列中的项是有序的,故A错

12、;B中数列可以表示为n-1;C中数列为摆动数列,故选D.答案:D1 2 3 4 51 2 3 4 53.已知数列an的通项公式为an=log3(2n+1),则a3=.解析:an=log3(2n+1),a3=log3(23+1)=log39=2.答案:21 2 3 4 54.已知数列的项与项数的关系如下表:则a+b=.解析:由表可知,当项数为奇数时,an=n,当项数为偶数时,an=2n.则a=5,b=10,所以a+b=15.答案:151 2 3 4 55.已知数列an的通项公式为an=3n2-28n.(1)写出数列的第4项和第6项;(2)-49是不是该数列的一项?如果是,是哪一项?68是不是该数列的一项呢?1 2 3 4 5