数学 第二章 平面向量 2.5.1 平面几何中的向量方法1 新人教A版必修4 .ppt

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1、2.5 平面向量应用举例2.5.1 平面几何中的向量方法 由于向量的线性运算和数量积运算具有鲜明由于向量的线性运算和数量积运算具有鲜明的几何背景的几何背景,平面几何图形的许多性质平面几何图形的许多性质,如平移、如平移、全等、相似、长度、夹角等都可以由向量的线性全等、相似、长度、夹角等都可以由向量的线性运算及数量积表示出来，因此，可用向量方法解运算及数量积表示出来，因此，可用向量方法解决平面几何中的一些问题，下面我们通过几个具决平面几何中的一些问题，下面我们通过几个具体实例，说明向量方法在平面几何中的运用体实例，说明向量方法在平面几何中的运用.1.1.能运用向量的知识解决一些简单的平面解析几能运

2、用向量的知识解决一些简单的平面解析几何问题何问题.2.2.利用数量积解决长度、角度、垂直等问题利用数量积解决长度、角度、垂直等问题.3.3.建立直角坐标系利用向量坐标运算解决长度、建立直角坐标系利用向量坐标运算解决长度、角度、垂直等问题角度、垂直等问题.(重点、难点）重点、难点）1.1.长方形对角线的长度与两条邻边长度之间有何关长方形对角线的长度与两条邻边长度之间有何关系？系？提示：对角线长度的平方提示：对角线长度的平方=两邻边的平方和两邻边的平方和.平行四边形有类似的数量关系吗？平行四边形有类似的数量关系吗？探究一：（长度问题）探究一：（长度问题）思考思考1 1：如图，在平行四边形：如图，在

3、平行四边形ABCDABCD中，已知中，已知AB=2AB=2，AD=1AD=1，BD=2BD=2，那么对角线，那么对角线ACAC的长是否确定？的长是否确定？提示：确定提示：确定A AB BC CD D思考思考2:2:在平行四边形在平行四边形ABCDABCD中，设向量中，设向量 则向量则向量 等于什么？向量等于什么？向量 等于什么？等于什么？提示提示:提示提示:【即时训练即时训练】例例1.1.平行四边形是表示向量加法与减法的几何模平行四边形是表示向量加法与减法的几何模型，如图，型，如图，你能发现平行你能发现平行四边形对角线的长度与两条邻边长度之间的关系四边形对角线的长度与两条邻边长度之间的关系吗？

4、吗？A AB BC CD D注意这种求注意这种求模的方法模的方法 平行四边形两条对角线长的平方和等于两平行四边形两条对角线长的平方和等于两条邻边长的平方和的两倍条邻边长的平方和的两倍.如果不用向量方法，你能证明上述结论吗？如果不用向量方法，你能证明上述结论吗？（1 1）建立平面几何与向量的联）建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为何元素，将平面几何问题转化为向量问题向量问题.（2 2）通过向量运算，研究几何）通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角元素之间的关系，如距离、夹角等问题等问题.（3 3）把运算结果）把运算

5、结果“翻译翻译”成几成几何元素何元素.用向量方法解决平面几何问题的用向量方法解决平面几何问题的“三步法三步法”：【提升总结提升总结】几何问题向量化几何问题向量化 向量运算关系化向量运算关系化向量关系几何化向量关系几何化【变式练习变式练习】例例2.2.如图，如图，ABCDABCD中，点中，点E E，F F分别是分别是ADAD，DCDC边边的中点，的中点，BEBE，BFBF分别与分别与ACAC交于交于R R，T T两点，你能两点，你能发现发现ARAR，RTRT，TCTC之间的关系吗？之间的关系吗？A AB BD DE EF FR RT TC C猜想：猜想：AR=RT=TCAR=RT=TC由于由于

6、与与 共线，故设共线，故设因为因为又因为又因为 共线，共线，所以设所以设因为因为 所以所以 利用待定系数法，结合向量共线定理和平利用待定系数法，结合向量共线定理和平面向量基本定理，将问题转化为求面向量基本定理，将问题转化为求m m，n n的值，的值，是处理线段长度关系的一种常用手段是处理线段长度关系的一种常用手段.提升总结提升总结【变式练习变式练习】例例3.3.若正方形若正方形OABCOABC的边长为的边长为1 1，点，点D D，E E分别为分别为ABAB，BCBC的中点，试求的中点，试求A AB BC CO O解：解：以以O O为坐标原点，以为坐标原点，以OAOA，OCOC所在的直线为坐标轴

7、建立如图所在的直线为坐标轴建立如图所示的直角坐标系，所示的直角坐标系，分析：分析：建立坐标系，利用向量建立坐标系，利用向量的坐标运算求夹角的坐标运算求夹角.探究二：（角度问题）探究二：（角度问题）E ED D 建立适当的坐标系，利用向量运算的坐建立适当的坐标系，利用向量运算的坐标形式，可使解题思路明确，过程简洁标形式，可使解题思路明确，过程简洁.提升总结提升总结ABCO如图所示，已知如图所示，已知O O，ABAB为直径，为直径，C C为为O O上任意一上任意一点点.求证求证ACB=90ACB=90.分析：分析：要证要证ACB=90ACB=90，只需证向量，只需证向量 ，即即 【变式练习变式练习

8、】证明：证明：设设 则则 由此可得：由此可得：即即 ，所以，所以ACB=90ACB=90.ABCO（r r是圆的半径）是圆的半径）.B B1.1.用向量方法证明几何问题时用向量方法证明几何问题时,首先选取恰当的基首先选取恰当的基底底,用来表示待研究的向量用来表示待研究的向量,在此基础上进行运算在此基础上进行运算,进而解决问题进而解决问题.2.2.要掌握向量的常用知识：要掌握向量的常用知识：共线；共线；垂直；垂直；模；模；夹角；夹角；向量相等向量相等.用向量方法解决平面几何问题的三个步骤用向量方法解决平面几何问题的三个步骤建立平面几何与向量的联系，用建立平面几何与向量的联系，用向量向量表示问表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为为向量问题向量问题通过向量通过向量运算运算，研究几何元素之间的关系，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题如距离、夹角等问题把运算结果把运算结果“翻译翻译”成几何关系成几何关系转化转化运算运算翻译翻译一年之计，莫如树谷：十年之计，莫如树木；终身之计，莫如树人。长才靡入用，大厦失巨楹。邵谒