数学 第四章 圆与方程 4.1 圆的方程 4.1.2 圆的一般方程 新人教A版必修2 .ppt

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1、 4.1.2 圆的一般方程4.1 圆的方程本节课主要学习圆的一般方程及与标准方程之间的转化。本课件在复习圆的标准方程和直线的方程的五种形式的基础上，把圆的标准方程进行展开变形引入新课的，引入自然。以学生探究为主，对二元二次方程做进一步的探究，探究出二与二次方程在什么情况下表示一个圆，并能够把圆的一般方程与标准方程进行互化。通过例1进一步用圆的一般方程研究三角形的外接圆并与标准方程对比计算量，通过动画演示讲解例2，探究动点的轨迹方程的求法，让学生体会用方程研究曲线的方法。运用几何画板让学生感受到一个点随着另一个点在运动，感受到动点形成的轨迹。运用方程思想、转化思想、数形结合思想，会用代入法求轨迹

2、，把几何问题转化为代数问题解答，体会数形结合和待定系数法和代入法求圆方程。圆的标准方程圆的标准方程xyOCM(x,y)圆心圆心C(a,b),半径半径r若圆心为O（0，0），则圆的方程为：复习引入复习引入圆心(2,4)，半径 (1)圆圆(x2)2+(y+4)2=2(2)圆圆(x+1)2+(y+2)2=m2圆心(1,2)，半径|m|（m0）分别说出下列圆的圆心与半径分别说出下列圆的圆心与半径:问题引入：问题引入：直线方程有五种不同的形式，它们之间可以相互变通，每一种形式都是关于x,y的一次方程，我们学习了圆的标准方程，它的方程形式具备什么特点呢？还有其他形式吗？xyOCM(x,y)展开得任何一个圆

3、的方程都是二元二次方程结论：任何一个圆方程可以写成下面形式：圆的一般方程圆的一般方程1.1.圆的标准方程圆的标准方程2.是不是任何一个形如是不是任何一个形如方程表示的曲线是圆呢？方程表示的曲线是圆呢？配方得不一定是不一定是圆圆以（1，-2）为圆心，以2为半径的圆配方得不是圆结论：结论：（1）当 时，表示圆，（2）当 时，表示点（3）当 时，不表示任何图形圆心圆的一般方程圆的一般方程配方，得圆的一般方程圆的一般方程，其中，其中圆心圆心注：注：圆的一般方程的特点圆的一般方程的特点:(2)没有xy项(3)D2+E2-4F0(1)x2,y2 的系数为1思考问题:当D=0，E=0或F=0时，圆 的位置分

4、别有什么特点？CxOyD=0=0E=0=0F=0=0CxyOCxyO(1)x2+y2-2x+4y-4=0(2)2x2+2y2-12x+4y=0(3)x2+2y2-6x+4y-1=0(4)x2+y2-12x+6y+50=0(5)x2+y2-3xy+5x+2y=0是是圆心（圆心（1 1，-2-2）半径）半径3 3是是圆心（圆心（3 3，-1-1）半径）半径不是不是不是不是不是不是判断下列方程能否表示圆的方程判断下列方程能否表示圆的方程,若能若能,写出圆心与半径写出圆心与半径.练习练习:例例1.1.ABC的三个顶点的坐标分别的三个顶点的坐标分别A(5,1),(5,1),B(7,(7,3)3)，C(2

5、,(2,8)8)，求它的外接圆的方程，求它的外接圆的方程典例展示典例展示xyODA(5,1)B(7,-,-3)C(2,-,-8)回顾：回顾：方法一：设圆方程为待定系数法方法二：由两条弦的中垂线的交点得到圆心，由圆心到圆上一点得到半径几何法 解：设所求圆的方程为：因为A(5,1),B(7,-3),C(2,-8)都在圆上所求圆的方程为方法三：待定系数法即待定系数法待定系数法练习练习1 1：把点A，B，C的坐标代入得方程组所求圆的方程为：解：设所求圆的方程为：归纳：用待定系数法求圆方程的大致步骤：(1)根据题意，选择标准方程或一般方程。(2)根据条件列出关于a,b,r或D,E,F的方程组；(3)解出

6、 a,b,r或D,E,F，代入标准方程或一般方程。练习练习2.2.证明证明A(2,2)(2,2)、B(5,3)(5,3)、C(3,-1)(3,-1)、D(6,0)(6,0)四点共圆四点共圆,并求出此圆的圆心和半径并求出此圆的圆心和半径.解法一:设所共圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0.将A、B、D三点坐标代入得故过A、B、D三点的圆的方程为x2+y2-8x-2y+12=0.把点C(3,-1)代入方程的左边=9+1-24+2+12=0.将方程配方，得(x+1)2+y2=4.练习练习3：【解析】在给定的坐标系中，设M(x，y)是曲线上的任意一点，点M在曲线上的条件是由两点的距离公式，上式用坐

7、标表示为两边平方并化简，得曲线方程 x2+y2+2x-3=0.所求曲线是圆心为C(-1，0)，半径为2的圆.已知一曲线是与两个定点已知一曲线是与两个定点O(0(0，0)0)、A(3(3，0)0)距离的比为距离的比为 的点的点的轨迹，求出曲线的轨迹的轨迹，求出曲线的轨迹.一、基本知识一、基本知识1.1.圆的标准方程圆的标准方程.2.2.圆的一般方程圆的一般方程.3.3.求圆的标准方程的方法：求圆的标准方程的方法：待定系数法；代入法（几何法）.（圆心C(a,b),半径r），其中其中几何方法几何方法求圆心坐标求圆心坐标 （两条直线的交点）（两条直线的交点）（常用弦的中垂线）（常用弦的中垂线）求求 半径半径 （圆心到圆上一点距离）（圆心到圆上一点距离）写出圆的标准方程写出圆的标准方程待定系数法待定系数法列关于列关于a a，b b，r r（或（或D D，E E，F F）的方程组）的方程组解出解出a a，b b，r r（或或D D，E E，F F），），写出标准方程（或一般方程）写出标准方程（或一般方程）二、数学思想二、数学思想数形结合思想、方程思想、待定系数法、代入法数形结合思想、方程思想、待定系数法、代入法