数学 第四章 圆与方程 4.1 圆的方程 4.1.1 圆的标准方程 新人教A版必修2 .ppt

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1、4.1.1 圆的标准方程4.1 圆的方程 本节课主要学习圆的标准方程和点与圆的位置关系。本课件在复习直线的倾斜角、斜率的概念、斜率公式和直线的点斜式方程、斜截式方程、两点式方程、截距式方程和直线的一般式方程的基础上，以苏轼的著名诗词，水调歌头 明月几时有引入新课，场景处处刻画出圆，激起学生们对圆的研究热情。以学生探究为主，运用对直线的研究思路，从圆的定义入手推导出圆的标准方程，并用方程研究点与圆的位置关系。通过例1熟悉圆的标准方程和点与圆的位置关系，通过例2、例3探究圆的标准方程的求法，让学生体会待定系数法和代入法求圆方程。自古以来人们期盼花好月圆，祈求万事圆圆满满，圆是怎么定义的？直线的方程

2、有五种不同的表示形式，那么如何求圆的方程呢？圆的标准方程圆的标准方程1 1、圆的定义、圆的定义平面内到定点的距离等于定长的点的集合。定点定点定长定长圆心圆心半径半径当圆心位置与半径大小确定后，圆就唯一确定了因此一个圆最基本的要素是圆心和半径xy|MC|=r则P=M|MC|=r 圆上所有点的集合OCM(x,y)如图，在直角坐标系中，圆心C 的位置用坐标(a,b)表示，半径r的大小等于圆上任意点M(x,y)与圆心C(a,b)的距离圆的标准方程 把 称为圆心为A(a,b)，半径长为r 的圆的方程，把它叫做圆的标准方程.2.三个独立条件a、b、r确定一个圆的方程.1.特点：明确给出了圆心和半径。说明：

3、说明：特别地,若圆心为O（0，0），则圆的方程为：点与圆的位置关系点与圆的位置关系在平面几何中，如何确定点与圆的位置关系？O|OM|rMM点点M0 0(x0 0,y0 0)在圆在圆(x-a)2 2+(+(y-b)2 2=r2 2上上、内内、外外的条件是什么？的条件是什么？点点M0 0在圆上在圆上点点M0 0在圆内在圆内(x0 0-a)2 2+(+(y0 0-b)2 2=r2 2(x0 0-a)2 2+(+(y0 0-b)2 2 r2 2点点M0 0在圆外在圆外例例1.1.写出圆心为写出圆心为 ，半径长等于，半径长等于5 5的圆的方程，并的圆的方程，并判断点判断点 ，是否在这个圆上是否在这个圆上

4、解：圆心是 ，半径长等于5的圆的标准方程是：把 的坐标代入方程 左右两边相等，点 的坐标适合圆的方程，所以点 在这个圆上；把点 的坐标代入此方程，左右两边不相等，点 的坐标不适合圆的方程，所以点 不在这个圆上典例展示典例展示解：由P1P2为直径可知圆心的坐标为(4,6)，半径为 ，圆方程为(x4)2(y6)25，把M、Q两点坐标代入圆的方程(64)2(36)2135,(84)2(16)2415，M、Q两点均在圆外例例2.2.的三个顶点的坐标分别的三个顶点的坐标分别A(5,1),(5,1),B(7,(7,3)3)，C(2,(2,8)8)，求它的外接圆的方程，求它的外接圆的方程分析：分析：不在同一

5、条直线上的三不在同一条直线上的三个点可以确定一个圆，三角形个点可以确定一个圆，三角形有唯一的外接圆有唯一的外接圆因为A(5,1),B(7,3)，C(2,8)都在圆上，所以它们的坐标都满足方程。xyODA(5,1)B(7,-,-3)C(2,-,-8)解：解：设圆方程为设圆方程为则则 所以所以得得 所以，所求圆的方程为关键：确定关键：确定圆心和半径圆心和半径xyODA(5,1)B(7,-,-3)C(2,-,-8)用待定系数法求圆方程的基本步骤：（1）设圆方程；（2）列方程组；（3）求系数；（4）代入系数写出方程。几何几何法法 圆心：两条弦的中垂线的交点圆心：两条弦的中垂线的交点半径：圆心到圆上一点

6、半径：圆心到圆上一点xyODA(5,1)B(7,-,-3)C(2,-,-8)例例3:3:已知圆心为已知圆心为C的圆经过点的圆经过点A(1(1，1)1)，B(2(2，-2)-2)，且圆心，且圆心C在直线在直线l：x-y+1=0+1=0上，求圆心为上，求圆心为C C的圆的标准方程的圆的标准方程.解：因为A(1,1),B(2，-2),所以AB的中点所以AB的垂直平分线的方程为即由得所以C(-3,-2)所以所求圆的标准方程为 练习练习2.根据下列条件，求圆的方程。根据下列条件，求圆的方程。（1）圆心在点）圆心在点C（-2,1），并过点），并过点A（2，-2）；）；（2）圆心在点）圆心在点C（1，3），

7、并与直线），并与直线3x-4y-6=0相切相切;（3）过点）过点(0,1)和点和点(2,1),半径为半径为 。解：(1)(x+2)2+(y-1)2=25(2)(x-1)2+(y-3)2=9(3)(x-1)2+(y+1)2=5 或 (x-1)2+(y-3)2=5求圆的标准方程可分为两种：求圆的标准方程可分为两种：几何法几何法和和待定系数法待定系数法 1.几何法几何法它是利用图形的几何性质，如圆的性质等，直接求出圆的圆心和半径，代入圆的标准方程，从而得到圆的标准方程常用的几何性质有：圆心与切点的连线垂直于切线；圆心到切点的距离等于圆的半径；圆的弦垂直平分线过圆心；两条弦的垂直平分线的交点为圆心等2.2.待定系数法待定系数法由三个独立条件得到三个方程，解方程组以得到圆的标准方程中三个参数，从而确定圆的标准方程它是求圆的方程最常用的方法，一般步骤是：先设方程，再列式，后求解1.圆的标准方程.2.点与圆的位置关系的判定.3.求圆的标准方程的方法：待定系数法；代入法（几何法）.（圆心C(a,b),半径r）