数学 第二章 平面向量 2.2.3 向量数乘运算及其几何意义2 新人教A版必修4 .ppt

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1、2.2.3向量数乘运算及其几何意义【知识提炼知识提炼】1.1.向量的数乘运算向量的数乘运算(1)(1)定义：规定实数定义：规定实数与向量与向量a的积是一个的积是一个_，这种运算叫做向量，这种运算叫做向量的数乘，记作：的数乘，记作：_，它的长度和方向规定如下：，它的长度和方向规定如下：|a|=|=|a|；当当00时，时，a的方向与的方向与a的方向的方向_；当当00时，时，a的方向与的方向与a的方向的方向_._.向量向量a相同相同相反相反(2)(2)运算律：设运算律：设，为任意实数，则有：为任意实数，则有：(a)=_)=_；(+)+)a=_=_；(a+b(a+b)=_)=_；特别地，有特别地，有(

2、-(-)a=_=_=_=_；(a-b)=_.)=_.2.2.向量共线的条件向量共线的条件向量向量a(a0)与与b共线，当且仅当有唯一一个实数共线，当且仅当有唯一一个实数，使，使_._.()aa+aa+b-(a)(-a)a-bb=a3.3.向量的线性运算向量的线性运算向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算.对于任意向量对于任意向量a，b及及任意实数任意实数，1 1，2 2，恒有，恒有(1 1a2 2b)=_.)=_.1a2b【即时小测即时小测】1.1.思考下列问题思考下列问题.(1)(1)实数实数与向量与向量a的乘积的乘积a是向量，那么实数是向量，那

3、么实数与向量与向量a的和的和+a与与差差-a是向量吗？是向量吗？提示：提示：+a与与-a不是向量，因为实数不是向量，因为实数与向量与向量a可以作积为可以作积为a，但，但不可以做加减法，因为不可以做加减法，因为+a与与-a是无意义的是无意义的.(2)(2)向量向量-4-4a的模是向量的模是向量2 2a的模的的模的2 2倍吗？倍吗？提示：提示：向量向量-4-4a的模是向量的模是向量2 2a的模的的模的2 2倍倍.因为因为|-4|-4a|=4|=4|a|，|2|2a|=2|=2|a|，所以，所以|-4|-4a|=2|=2|2|2a|.|.2.2.存在两个非零向量存在两个非零向量a，b满足满足b=-3

4、=-3a，则有，则有()A.A.a与与b方向相同方向相同 B.B.a与与b方向相反方向相反C.|C.|a|=|3|=|3b|D.|D.|a|=|=|b|【解析解析】选B.B.因为因为-30-31|1时，有时，有|aa|a|a|，这意味着表示向量，这意味着表示向量a的有向线段在原方的有向线段在原方向向(1)(1)或反方向或反方向(-1)(-1)上伸长到上伸长到a的的倍；倍；当当0|10|1时，有时，有|a|a|，这意味着表示向量，这意味着表示向量a的有向线段在原的有向线段在原方向方向(01)(01)或反方向或反方向(-10)(-10)上缩短到上缩短到a的的倍倍.知识点知识点2 2 向量共线的条件

5、向量共线的条件观察如图所示内容，回答下列问题：观察如图所示内容，回答下列问题：问题问题1 1：在向量共线的条件中，若向量：在向量共线的条件中，若向量a=0，则该定理是否成立？，则该定理是否成立？问题问题2 2：若向量：若向量a，b共线，则一定有共线，则一定有a=b(R(R)吗？吗？问题问题3 3：根据向量共线的条件，对于非零向量：根据向量共线的条件，对于非零向量a，b，如何确定实数，如何确定实数，使，使b=a？【总结提升总结提升】1.1.对向量共线的条件的说明对向量共线的条件的说明(1)(1)在向量共线的条件中之所以限定在向量共线的条件中之所以限定a0，是由于若，是由于若a=b=0，虽然，虽然

6、仍仍然存在，可是然存在，可是不唯一不唯一.(2)(2)根据向量共线的条件，对于非零向量根据向量共线的条件，对于非零向量a，b，确定实数，确定实数，使，使b=a时，分两点：时，分两点：确定符号，确定符号，a与与b同向时，同向时，为正；为正；a与与b反向时，反向时，为为负负.确定确定的绝对值，的绝对值，2.2.向量共线条件的两个应用向量共线条件的两个应用(1)(1)对于向量对于向量a(a0)与与b，如果有一个实数，如果有一个实数，使得，使得b=a，那么由向量，那么由向量数乘的定义知，向量数乘的定义知，向量a与与b是共线的是共线的.(2)(2)向量向量a(a0)与与b共线，若向量共线，若向量b的长度

7、是的长度是a的长度的的长度的倍，倍，|b|=|=|a|，那么，当，那么，当a与与b同向时，有同向时，有b=a；当；当a与与b反向时，有反向时，有b=-aa；当；当b=0时，则时，则=0=0，总之都可以表示成，总之都可以表示成b=a(其中其中唯一确定唯一确定).).【题型探究题型探究】类型一类型一 向量的线性运算向量的线性运算【典例典例】1.1.在在 ABCDABCD中，中，=2=2a，=3=3b，则，则 等于等于()()A Aa+b B Ba-bC C2 2a+3+3b D D2 2a-3-3b2.2.化简下列各式化简下列各式(1)2(3(1)2(3a-2-2b)+3()+3(a+5+5b)-

8、5(4)-5(4b-a).).(2)(2)(a+2+2b)+3)+3a-(6-(6a-12-12b).).(3)2(5(3)2(5a-4-4b+c)-3()-3(a-3-3b+c)-7)-7a.【解题探究解题探究】1.1.典例典例1 1中在中在 ABCDABCD中中 与与 ，的关系是什么？的关系是什么？提示：提示：2.2.典例典例2 2中的化简题目一般按照怎样的顺序进行？中的化简题目一般按照怎样的顺序进行？提示：提示：简单的化简问题，把握运算顺序为：去括号、数乘向量、向量简单的化简问题，把握运算顺序为：去括号、数乘向量、向量加减加减.【解析解析】1.选C.=2a+3b.2.(1)原式原式=6a

9、-4b+3a+15b-20b+5a=14a-9b.(2)原式原式=a+b+a-a+b=a+b.(3)原式原式=10a-8b+2c-3a+9b-3c-7a=b-c.【方法技巧方法技巧】向量线性运算的基本方法向量线性运算的基本方法(1)(1)类比方法：向量的数乘运算可类似于代数多项式的运算类比方法：向量的数乘运算可类似于代数多项式的运算.例如，实例如，实数运算中的去括号、移项、合并同类项、提取公因式等变形手段在数数运算中的去括号、移项、合并同类项、提取公因式等变形手段在数与向量的乘积中同样适用，但是在这里的与向量的乘积中同样适用，但是在这里的“同类项同类项”“”“公因式公因式”指向指向量，实数看作

10、是向量的系数量，实数看作是向量的系数.(2)(2)方程方法：向量也可以通过列方程来解，把所求向量当作未知数，方程方法：向量也可以通过列方程来解，把所求向量当作未知数，利用代数方程的方法求解，同时在运算过程中要多注意观察，恰当运利用代数方程的方法求解，同时在运算过程中要多注意观察，恰当运用运算律，简化运算用运算律，简化运算.【拓展延伸拓展延伸】向量线性运算的技巧向量线性运算的技巧(1)(1)不在图形中的简单化简问题依照数乘向量的运算律进行不在图形中的简单化简问题依照数乘向量的运算律进行.(2)(2)在具体图形中的数乘向量化简一般要利用向量的加法在具体图形中的数乘向量化简一般要利用向量的加法(减法

11、减法)找到找到向量间的关系，再利用数乘向量的运算进行化简向量间的关系，再利用数乘向量的运算进行化简.(3)(3)具体图形中的数乘向量化简要结合图形的性质进行具体图形中的数乘向量化简要结合图形的性质进行.【变式训练变式训练】1.1.若向量若向量a=3=3i-4-4j，b=5=5i+4+4j，则，则(a-b)-3()-3(a+b)+(2)+(2b-a)=_.)=_.【解析解析】(a-b)-3(a+b)+(2b-a)=a-b-3a-2b+2b-a=-a-b=-(3i-4j)-(5i+4j)=-11i+j-5i-4j=-16i+j.答案：答案：-16i+j2.2.点点D D，E E，F F分别为分别为

12、ABCABC的边的边BCBC，CACA，ABAB的中点，且的中点，且BC=BC=a，CA=CA=b，给，给出下列等式：出下列等式：=-=-a-b；=a+b；=-=-a+b；=0.其中正确的序号为其中正确的序号为_._.【解析解析】如如图，=-b+=-b-a，=a+b，=-b-a，=b+(-b-a)=b-a，=b-a+a+b+b-a=0.答案：答案：类型二类型二 向量共线的条件的应用向量共线的条件的应用【典例典例】1.(20151.(2015无锡高一检测无锡高一检测)已知已知A A，B B，P P三点共线，三点共线，O O为直线外为直线外任意一点，若任意一点，若 ，则，则x+yx+y=_.=_.

13、2.2.设两个向量设两个向量a与与b不共线，若不共线，若 =a+b，=2=2a+8+8b，=3(=3(a-b)，求证：，求证：A A，B B，D D三点共线三点共线.【解题探究解题探究】1.1.典例典例1 1中中A A，B B，P P三点共线，得到三点共线，得到 有怎样的关系有怎样的关系？提示：提示：因为因为A A，B B，P P三点共线，所以存在实数三点共线，所以存在实数使得使得2 2典例典例2 2中判断三点中判断三点A A，B B，D D共线的关键是什么？共线的关键是什么？提示：提示：欲证三点欲证三点A A，B B，D D共线，关键是证存在实数共线，关键是证存在实数，使，使 ，只要，只要根

14、据已知条件找出根据已知条件找出即可即可【解析解析】1.由于由于A，B，P三点共三点共线，所以向量，所以向量在同一条直在同一条直线上，上，由向量共由向量共线的条件可知，必定存在的条件可知，必定存在实数数使使即即，所以，所以故故x=1-，y=，即，即x+y=1.答案：答案：12.因因为=a+b，=2a+8b，=3(a-b)，所以所以=2a+8b+3(a-b)=2a+8b+3a-3b=5(a+b)=5 .所以所以共共线，又因，又因为它它们有公共点有公共点B，所以，所以A，B，D三点共三点共线.【延伸探究延伸探究】若本例若本例2 2中中 =a+b，其他条件不变，且，其他条件不变，且A A，B B，D

15、D共线，共线，试求试求的值的值.【解析解析】因因为=a+b+3(a-b)=4a+(-3)b，因因为A，B，D三点共三点共线，所以存在所以存在实数数，使得，使得所以所以4a+(-3)b=(a+b)，又因又因为a，b是不共是不共线的两个向量，的两个向量，所以所以所以所以=7.【方法技巧方法技巧】用向量共线的条件证明两直线平行或重合的思路用向量共线的条件证明两直线平行或重合的思路(1)(1)若若b=a(a0)，且，且b与与a所在的直线无公共点，则这两条直线平行所在的直线无公共点，则这两条直线平行.(2)(2)若若b=a(a0)，且，且b与与a所在的直线有公共点，则这两条直线重合所在的直线有公共点，则

16、这两条直线重合.例如，若例如，若 ，则，则 与与 共线，又共线，又 与与 有公共点有公共点A A，从而，从而A A，B B，C C三点共线，这是证明三点共线的重要方法三点共线，这是证明三点共线的重要方法.【拓展延伸拓展延伸】用向量共线的条件求参数的方法用向量共线的条件求参数的方法(1)(1)三点三点A A，B B，C C共线问题：利用共线问题：利用 构造方程求参数构造方程求参数.(2)(2)已知向量已知向量m ma+n+nb与与k ka+p+pb(a与与b不共线不共线)共线求参数值的步骤共线求参数值的步骤设：设：m ma+n+nb=(k(ka+p+pb).).整：整理得整：整理得(m-k)m-

17、k)a=(=(p-n)p-n)b，故，故解：解方程组得参数值解：解方程组得参数值.【变式训练变式训练】1.(20151.(2015全国卷全国卷)设向量设向量a，b不平行，向量不平行，向量a+b与与a+2+2b平行，则实数平行，则实数=_=_【解题指南解题指南】由向量由向量a+b与与a+2+2b平行，得到平行，得到a+b=k(=k(a+2+2b)，利用向，利用向量相等求解量相等求解.【解析解析】因因为向量向量a+b与与a+2b平行，平行，所以所以a+b=k(a+2b)，则所以所以=答案：答案：2.(20152.(2015蚌埠高一检测蚌埠高一检测)设设a a，b b是两个不共线向量，已知是两个不共

18、线向量，已知 =2 2a+m+mb，=a+3+3b，若，若A A，B B，C C三点共线，求三点共线，求m m的值的值.【解题指南解题指南】由于由于A A，B B，C C三点共线，则两向量三点共线，则两向量 共线，根据向量共共线，根据向量共线的条件可得，一定存在一个实数线的条件可得，一定存在一个实数使得使得 ，利用向量相等求，利用向量相等求m m的的值值.【解析解析】因为因为A A，B B，C C三点共线，所以三点共线，所以 共线，即共线，即 ，所以，所以2 2a+m+mb=(=(a+3+3b)，故，故=2=2，m=3m=3，解得，解得m=6.m=6.【补偿训练补偿训练】对于对于ABCABC内

19、部的一点内部的一点O O，存在实数，存在实数使得使得=()=()成立，则成立，则OBCOBC与与ABCABC的面积比为的面积比为()()A.12 B.13 A.12 B.13 C.23 C.23 D.D.与与有关有关【解析解析】选A.如如图所示，所示，设D，E分分别是是AB，AC的中点，以的中点，以OA，OB为邻边作平行四作平行四边形形OAGB，以，以OA，OC为邻边作平行四作平行四边形形OAFC，则因因为=()，所以所以所以点所以点O在直在直线DE上上.又因又因为D，E分分别是是AB，AC的中点，所以的中点，所以OBC与与ABC的面的面积比是比是1 2.【延伸探究延伸探究】若把本题中的条件改

20、为若把本题中的条件改为 ，则，则AOBAOB与与AOCAOC的面积之比为的面积之比为_._.【解析解析】如如图，由平行四，由平行四边形法形法则，知，知其中其中E为AC的中点的中点.所以所以所以所以设点点A到到BD的距离的距离为h，则S AOB=|h，S AOC=2S AOE=|h，所以，所以答案：答案：1 3类型三类型三 用已知向量表示未知向量用已知向量表示未知向量【典例典例】1.1.设设D D，E E，F F分别是分别是ABCABC的三边的三边BCBC，CACA，ABAB上的点，且上的点，且 则则 与与 ()()A A反向平行反向平行 B B同向平行同向平行C C互相垂直互相垂直 D D既不

21、平行也不垂直既不平行也不垂直2.2.如图所示，四边形如图所示，四边形OADBOADB是以向量是以向量 =a，=b为邻边的平行四边形为邻边的平行四边形又又 试用试用a，b表示表示【解题探究解题探究】1.1.典例典例1 1中，判断中，判断 与与 之间的关系的解题之间的关系的解题思路是什么？思路是什么？提示：提示：看看 能否用能否用 来表示来表示.2.2.典例典例2 2中利用已知条件可以找到哪些与所求向量和已知向量有关的中利用已知条件可以找到哪些与所求向量和已知向量有关的等量关系？等量关系？提示提示：【解析解析】1.选A.因因为所以所以 与与 平行且方向相反平行且方向相反2.所以所以=b+a-b=a

22、+b.因因为所以所以=()=(a+b)，=(a+b)-a-b=a-b.【延伸探究延伸探究】1.(1.(改变问法改变问法)在本例在本例2 2条件中，试用条件中，试用a，b表示表示【解析解析】方法一方法一：又又=(a+b)，=a+b，所以所以=a+b-a-b=-a+b.方法二：因方法二：因为所以所以=(b-a)=-a+b.2.(2.(变换条件变换条件)若本例若本例2 2中中 =a，=b，其他条件不变，试用，其他条件不变，试用a，b表示表示【解析解析】【方法技巧方法技巧】用已知向量表示其他向量的两种方法用已知向量表示其他向量的两种方法(1)(1)直接法直接法(2)(2)方程法方程法当直接表示比较困难

23、时，可以首先利用三角形法则和平行四边形法则当直接表示比较困难时，可以首先利用三角形法则和平行四边形法则建立关于所求向量和已知向量的等量关系，然后解关于所求向量的方建立关于所求向量和已知向量的等量关系，然后解关于所求向量的方程程.【补补偿偿训训练练】1.1.如如图图，设设ABCABC的的重重心心为为G G，O O是是ABCABC所所在在平平面面内内的的一一点，且点，且 =a，=b，=c，则，则 =_.=_.【解题指南解题指南】由由OGOG是是OGAOGA的一条边，所以的一条边，所以 因此，只要能求得因此，只要能求得向量向量 即可即可.又因为又因为G G为为ABCABC的重心，所以的重心，所以 ，

24、只要能求得向量，只要能求得向量 即可即可.【解析解析】易知，易知，所以所以又因又因为所以所以故故答案：答案：2.2.如如图图所所示示，D D，E E分分别别是是ABCABC中中边边ABAB，ACAC的的中中点点，M M，N N分分别别是是DEDE，BCBC的中点，已知的中点，已知 =a，=b，试用，试用a，b分别表示分别表示【解析解析】由三角形中位由三角形中位线定理定理，知，知DE BC，故，故即即 =-a+b+a=-a+b.=-a-b+a=a-b.规范解答规范解答 向量共线的条件的应用向量共线的条件的应用【典例典例】(12(12分分)(2015)(2015合肥高一检测合肥高一检测)如图所如图

25、所示，在示，在ABCABC中，中，D D，F F分别是分别是BCBC，ACAC的中点，的中点，且且(1)(1)用用a，b表示向量表示向量(2)(2)求证：求证：B B，E E，F F三点共线三点共线.【审题指指导】(1)要用要用a，b表示向量表示向量，只需根据，只需根据题目中的目中的条件，把所表示的向量放在三角形中，用三角形法条件，把所表示的向量放在三角形中，用三角形法则联系起来求解系起来求解.(2)要要证B，E，F三点共三点共线，只需，只需证明明【规范解答范解答】(1)延延长AD到到G，使，使，连接接BG，CG，因，因为D是是BC和和AG的中点，的中点，【题后悟道题后悟道】1.1.熟练应用加

26、法和减法法则熟练应用加法和减法法则用已知向量表示未知向量可借助三角形法则或平行四边形法则用已知向量表示未知向量可借助三角形法则或平行四边形法则.将未将未知向量与已知向量纳入同一个三角形中，或将已知向量和未知向量纳知向量与已知向量纳入同一个三角形中，或将已知向量和未知向量纳入到同一个平行四边形中，再根据向量的加、减法和数乘运算建立已入到同一个平行四边形中，再根据向量的加、减法和数乘运算建立已知向量与未知向量间的关系，实现已知向量与未知向量间的沟通知向量与未知向量间的关系，实现已知向量与未知向量间的沟通.2.2.把握向量共线的条件的应用把握向量共线的条件的应用利用向量共线判断三点共线是判断三点共线常用的方法利用向量共线判断三点共线是判断三点共线常用的方法.在本题中可在本题中可以先作图，通过观察图形得到三点共线的猜想，再将平面几何中判断以先作图，通过观察图形得到三点共线的猜想，再将平面几何中判断三点共线的方法转化为用向量共线证明三点共线三点共线的方法转化为用向量共线证明三点共线.