数学五 立体几何 5.3 立体几何中的向量方法 理 .ppt
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1、5.35.3立体几何中的向量方法立体几何中的向量方法-2-3-命题热点一命题热点二命题热点三用空间向量证明空间的平行与垂直【思考】如何用空间向量证明空间的平行与垂直?例1已知直三棱柱ABC-A1B1C1中,ACBC,D为AB的中点,AC=BC=BB1.(1)求证:BC1AB1;(2)求证:BC1平面CA1D.-4-命题热点一命题热点二命题热点三证明:如图,以C1为原点,C1A1,C1B1,C1C所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系.由AC=BC=BB1,设AC=2,则A(2,0,2),B(0,2,2),C(0,0,2),A1(2,0,0),B1(0,2,0),C1(0,0,0),D
2、(1,1,2).-5-命题热点一命题热点二命题热点三-6-命题热点一命题热点二命题热点三题后反思用向量方法证明空间线面位置关系的方法:设直线l1,l2的方向向量分别为a,b,平面,的法向量分别为e1,e2,A,B,C分别为平面内的相异且不共线的三点(其中l1与l2不重合,与不重合),则(1)l1l2ab存在实数,使b=a(a0);l1l2abab=0.(2)l1ae1存在实数,使e1=a(a0);l1ae1=0存在非零实数1,2,使a=1(3)e1e2存在实数,使e2=e1(e10);e1e2e1e2=0.-7-命题热点一命题热点二命题热点三对点训练1在直三棱柱ABC-A1B1C1中,ABC=
3、90,BC=2,CC1=4,点E在线段BB1上,且EB1=1,D,F,G分别为CC1,C1B1,C1A1的中点.求证:(1)B1D平面ABD;(2)平面EGF平面ABD.证明:(1)以B为坐标原点,BA,BC,BB1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系,如图.则B(0,0,0),D(0,2,2),B1(0,0,4),设BA=a,则A(a,0,0),-8-命题热点一命题热点二命题热点三即B1DEG,B1DEF,又EGEF=E,因此B1D平面EGF.结合(1)可知平面EGF平面ABD.-9-命题热点一命题热点二命题热点三利用向量求空间角【思考】如何用空间向量求空间角?例2(2017全国
4、,理19)如图,四棱锥P-ABCD中,侧面PAD为等边三角形且垂直于底面ABCD,AB=BC=AD,BAD=ABC=90,E是PD的中点.(1)证明:直线CE平面PAB;(2)点M在棱PC上,且直线BM与底面ABCD所成角为45,求二面角M-AB-D的余弦值.-10-命题热点一命题热点二命题热点三-11-命题热点一命题热点二命题热点三-12-命题热点一命题热点二命题热点三-13-命题热点一命题热点二命题热点三-14-命题热点一命题热点二命题热点三题后反思用向量求空间角的方法:设直线l1,l2的方向向量分别为a,b,平面,的法向量分别为n,m.-15-命题热点一命题热点二命题热点三对点训练2(2
5、017全国,理19)如图,四面体ABCD中,ABC是正三角形,ACD是直角三角形,ABD=CBD,AB=BD.(1)证明:平面ACD平面ABC;(2)过AC的平面交BD于点E,若平面AEC把四面体ABCD分成体积相等的两部分,求二面角D-AE-C的余弦值.-16-命题热点一命题热点二命题热点三(1)证明:由题设可得,ABDCBD,从而AD=DC.又ACD是直角三角形,所以ADC=90.取AC的中点O,连接DO,BO,则DOAC,DO=AO.又由于ABC是正三角形,故BOAC.所以DOB为二面角D-AC-B的平面角.在RtAOB中,BO2+AO2=AB2,又AB=BD,所以BO2+DO2=BO2
6、+AO2=AB2=BD2,故DOB=90.所以平面ACD平面ABC.-17-命题热点一命题热点二命题热点三-18-命题热点一命题热点二命题热点三-19-命题热点一命题热点二命题热点三对点训练3(2017江苏,22)如图,在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,AA1平面ABCD,且AB=AD=2,AA1=,BAD=120.(1)求异面直线A1B与AC1所成角的余弦值;(2)求二面角B-A1D-A的正弦值.-20-命题热点一命题热点二命题热点三-21-命题热点一命题热点二命题热点三-22-命题热点一命题热点二命题热点三-23-命题热点一命题热点二命题热点三用空间向量求空间中的距离【思考】如何用
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