数学 第四章 圆与方程 4.2 直线、圆的位置关系 4.2.1 直线与圆的位置关系 新人教A版必修2 .ppt

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1、 4.2.1 直线与圆的位置关系4.2 直线、圆的位置关系本节课主要学习直线与圆的位置关系。本课件在复习点到直线距离公式和圆的标准方程、一般方程的基础上，由轮船是否受到台风的影响以影片形式引入新课的，并利用几何画板动画演示，引人入胜。以学生探究为主，利用代数法和几何法分别对直线与圆的位置关系进行探究，探究直线被圆截得的弦长、运用坐标法研究平面几何问题和实际应用问题。通过例1掌握直线与圆位置关系判定的两种方法并加以对比，体会几何法的简便性，通过例2进一步体会利用直线与圆的几何性质解答问题的重要性，通过例3例4学会建立直角坐标系，利用坐标法解答实际问题和平面几何问题。运用方程思想、转化思想、数形结

2、合思想，把几何问题转化为代数问题解答，体会数形结合和几何法和代数法在直线与圆位置关系中的应用。2.圆的标准方程圆的标准方程xyOCM(x,y)3.3.圆的一般方程圆的一般方程，其中其中1.点到直线的距离公式点到直线的距离公式复习回顾：复习回顾：问题引入：问题引入：一一艘艘轮轮船船在在沿沿直直线线返返回回港港口口的的途途中中，接接到到气气象象台台的的台台风风预预报报：台台风风中中心心位位于于轮轮船船正正西西70km70km处处，受受影影响响的的范范围围是是半半径径长长为为30km30km的的圆圆形形区区域域。已已知知港港口口位位于于台台风风中中心心正正北北40km40km处处，如如果果这这艘艘轮

3、轮船船不不改改变变航航线线，那那么么它它是是否否会会受受到到台台风风的的影响？影响？为解决这个问题，我们以台风中心为原点O，东西方向为x轴，建立如图所示的直角坐标系，其中取 10km 为单位长度轮船航线所在直线l的方程为：问题归结为圆心为问题归结为圆心为O的圆与直线的圆与直线l有无公共点有无公共点这样，受台风影响的圆区域所对应的圆心为O的圆的方程为:70 xOy港口港口轮船轮船4030直线与圆的位置关系的判断直线与圆的位置关系的判断平面几何中，直线与圆有三种位置关系：平面几何中，直线与圆有三种位置关系：（1 1）直线与圆相交，有两个公共点；）直线与圆相交，有两个公共点；（2 2）直线与圆相切，

4、只有一个公共点；）直线与圆相切，只有一个公共点；（3 3）直线与圆相离，没有公共点）直线与圆相离，没有公共点（1 1）（2 2）（3 3）交点个数交点个数1.1.用交点个数判断用交点个数判断（代数法）（代数法）直线和圆相交直线和圆相交d rrdrdrd数形结合：数形结合：位置关系位置关系数量关系数量关系2.2.用圆心用圆心O O到直线到直线l l的距离的距离d d与圆的半径与圆的半径r r 的关系判断的关系判断（几何法）（几何法）例例1.1.如图，已知直线如图，已知直线l:3:3x+y-6=0-6=0和圆心为和圆心为C的圆的圆x2 2+y2 2-2-2y-4=0-4=0，判，判断直线断直线l

5、l与圆的位置关系；如果相交，求它们的交点坐标。与圆的位置关系；如果相交，求它们的交点坐标。典例展示典例展示xyOCABl解法一：由直线 l 与圆的方程，得：消去y，得：因为：=1 0所以，直线 l 与圆相交，有两个公共点解法二：圆 可化为其圆心C的坐标为(0,1)，半径长为 ，所以，直线 l 与圆相交，有两个公共点点C(0,1)到直线 l 的距离为：xyOCABl直线 l 与圆有两个交点,它们的坐标分别是：把 代入方程，得 ；把 代入方程，得 A(2,0),B(1,3)由 ，解得：(2)利用圆心到直线的距离利用圆心到直线的距离d与半径与半径r的大小关系判断：的大小关系判断：小结小结:直线与圆的

6、位置关系的判定方法直线与圆的位置关系的判定方法(1)(1)利用直线与圆的交点的个数进行判断：利用直线与圆的交点的个数进行判断：0直线与圆直线与圆相交相交d r直线与圆直线与圆相离相离d=r直线与圆直线与圆相切相切d r直线与圆直线与圆相交相交弦长问题弦长问题方法一方法一（代数法代数法）：）：解方程组求交点，两点间的距离公式求弦长方法二方法二（几何法几何法）：）：圆心到直线的距离和勾股定理求弦长（常用）。弦长公式为弦长公式为EF.xyOM.即：根据点到直线的距离公式，得到圆心到直线l 的距离：因此：因为直线l过点 ，解：所以可设所求直线l 的方程为：例例2.2.已知过点已知过点M（-3-3，-3

7、-3）的直线）的直线l被圆被圆x2 2+y2 2+4+4y-21=0-21=0所截得的弦长为所截得的弦长为 ，求直线，求直线l的方程。的方程。即：两边平方，并整理得到：解得：所以，所求直线l有两条，它们的方程分别为：或即:注：利用斜率研究直线时，要注意直线斜率不存在的情形应通过检验，判断它是否符合题意。本题中如果只求出一个斜率k值，说明另一条斜率不存在。轮船航线所在直线l的方程为：圆与直线圆与直线l l 有无公共点？有无公共点？受台风影响的圆O的方程为:圆心O到直线l 的距离为所以轮船不会受台风的影响。引例解答：引例解答：直线与圆的方程的应用直线与圆的方程的应用例例3.3.如图是某圆拱形桥一孔

8、圆拱的示意图如图是某圆拱形桥一孔圆拱的示意图.这个圆的圆拱跨度这个圆的圆拱跨度AB=20=20m，拱高拱高OP=4=4m，建造时每间隔，建造时每间隔4 4m需要用一根支柱支撑，求支柱需要用一根支柱支撑，求支柱A2 2P2 2的高度的高度（精确到（精确到0.010.01m）ABA1A2A3A4OPP2解：建立直角坐标系，使圆心在y轴上.设圆心的坐标是(0，b)，圆的半径是r，那么圆的方程是：x2 2+(+(y-b)2 2=r2 2 因为点P，B在圆上，所以它们的坐标(0，4)，B(10，0)都满足圆的方程.于是得到方程组0 02 2+(4-+(4-b)2 2=r2 2,10102 2+(0-+(

9、0-b)2 2=r2 2,xyx2+(y+10.5)2=14.52,解得：b=-10.5，r2=14.5 所以圆的方程:将的P2横坐标x=-2代入方程，(-2)2+(y+10.5)2=14.52,所以：答：支柱A2P2的高度为3.86m.即：例例5.5.已知内接于圆的四边形的对角线互相垂直，已知内接于圆的四边形的对角线互相垂直，求证：圆心到一边的距离等于这条边所对边长的一半求证：圆心到一边的距离等于这条边所对边长的一半.以四边形ABCD互相垂直的对角线CA、DB所在直线分别为x轴、y轴，建立直角坐标系.证明：证明：设A(a,0),B(0,b),C(c,0),D(0,d).过四边形ABCD的外接

10、圆的圆心O分别作AC、BD、AD的垂线，垂足分别为M、N、E，则M、N、E分别是线段AC、BD、AD的中点.xyMNEOABCDO由线段的中点的坐标公式，得 所以用坐标法解题的一般步骤：用坐标法解题的一般步骤：第二步：通过代数运算，解决代数问题.第三步：把代数运算结果“翻译”成几何结论.第一步：建立适当的平面直角坐标系，用坐标和方程表示问题中的几何元素，将平面几何问题转化代数问题.一、基本知识一、基本知识1.判断直线与圆的位置关系有两种方法图形图形位置关系位置关系相交相交相切相切相离相离交点个数交点个数2 2个个1 1个个0 0个个d与与r关系关系dr2.弦长问题（1 1）代数法代数法：解方程组求交点，两点间的距离公式求弦长：解方程组求交点，两点间的距离公式求弦长（2 2）几何法几何法：圆心到直线的距离和勾股定理求弦长（常用）：圆心到直线的距离和勾股定理求弦长（常用）弦长公式为弦长公式为弦长公式为弦长公式为ABOdr(注：我们把注：我们把d称为弦心距称为弦心距.)二、数学思想二、数学思想数形结合思想、方程思想、待定系数法、代入法、代数法、几何法3.用坐标法解题的一般步骤：第二步：通过代数运算，解决代数问题.第三步：把代数运算结果“翻译”成几何结论.第一步：建立适当的平面直角坐标系，用坐标和方程表示问题中的几何元素，将平面几何问题转化代数问题.