数学 第二章 平面向量 2.3.2 平面向量的正交分解及坐标表示 2.3.3 平面向量的坐标运算2 新人教A版必修4 .ppt
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1、2.3.2平面向量的正交分解及坐标表示2.3.3平面向量的坐标运算【知识提炼知识提炼】1.1.平面向量正交分解的定义平面向量正交分解的定义把一个平面向量分解为两个把一个平面向量分解为两个_的向量的向量.2.2.平面向量的坐标表示平面向量的坐标表示(1)(1)基底:在平面直角坐标系中,分别取与基底:在平面直角坐标系中,分别取与x x轴、轴、y y轴方向相同的两个轴方向相同的两个_i,j作为作为_._.互相垂直单位向量基底(2)(2)坐标:对于平面内的一个向量坐标:对于平面内的一个向量a,有且仅有一对实数,有且仅有一对实数x x,y y,使得,使得a=_=_,则有序实数对,则有序实数对(x(x,y
2、)y)叫做向量叫做向量a的坐标的坐标.(3)(3)坐标表示:坐标表示:a=(x=(x,y).y).(4)(4)特殊向量的坐标:特殊向量的坐标:i=_=_,j=_=_,0=(0=(0,0).0).xi+yj(1,0)(0,1)3.3.平面向量的坐标运算平面向量的坐标运算设向量设向量a=(x=(x1 1,y y1 1),b=(x=(x2 2,y y2 2),RR,则有下表:,则有下表:文字描述文字描述符号表示符号表示加加法法两个向量和的坐两个向量和的坐标标分分别别等于等于这这两个向量相两个向量相应应坐坐标标的的_a+b=_=_减减法法两个向量差的坐两个向量差的坐标标分分别别等于等于这这两个向量相两
3、个向量相应应坐坐标标的的_a-b=_=_和差(x1+x2,y1+y2)(x1-x2,y1-y2)文字描述文字描述符号表示符号表示数数乘乘实实数与向量的数与向量的积积的坐的坐标标等于等于用用这这个个实实数乘原来向量的相数乘原来向量的相应应坐坐标标a=_=_重重要要结结论论一个向量的坐一个向量的坐标标等于表示此等于表示此向量的有向向量的有向线线段的段的_的的坐坐标标减去减去_的坐的坐标标已知已知A(xA(x1 1,y y1 1),B(xB(x2 2,y y2 2),则则 =_=_(x1,y1)终点起点(x2-x1,y2-y1)【即时小测即时小测】1.1.思考下列问题思考下列问题.(1)(1)与坐标
4、轴平行的向量的坐标有什么特点?与坐标轴平行的向量的坐标有什么特点?提示:提示:与与x x轴平行的向量的平行的向量的纵坐坐标为0 0,即,即a=(x=(x,0)0);与;与y y轴平行的向平行的向量的横坐量的横坐标为0 0,即,即b=(0=(0,y).y).(2)(2)若把向量若把向量 平移到平移到 ,则,则 和和 的坐标相同吗?的坐标相同吗?的坐标的坐标是是C C点的坐标吗?点的坐标吗?提示:提示:相同,相同,的坐的坐标不是不是C C点的坐点的坐标,只有点,只有点B B与原点与原点O O重合重合时 的的坐坐标才是才是C C点坐点坐标.2.2.如图所示,在矩形如图所示,在矩形ABCDABCD中,
5、中,ACAC与与BDBD交于点交于点O O,下列是正交分解的,下列是正交分解的是是()()【解析解析】选B.B.由于由于 ,则 是正交分解是正交分解3.3.在平面直角坐标系内,已知在平面直角坐标系内,已知i,j是两个互相垂直的单位向量,若是两个互相垂直的单位向量,若a=i-2 2j,则向量用坐标表示,则向量用坐标表示a=_.=_.【解析解析】由于由于i,j是两个互相垂直的是两个互相垂直的单位向量,位向量,所以所以a=(1=(1,-2).-2).答案:答案:(1(1,-2)-2)4.4.若若a=(2=(2,3)3),b=(-3=(-3,1)1),则,则a+b=_.=_.【解析解析】a+b=(2=
6、(2,3)+(-33)+(-3,1)=(-11)=(-1,4).4).答案:答案:(-1(-1,4)4)5.5.若点若点M(3M(3,5)5),点,点N(2N(2,1)1),用坐标表示向量,用坐标表示向量 =_=_【解析解析】=(2,1)-(3,5)=(-1,-4).答案:答案:(-1,-4)【知识探究知识探究】知识点知识点1 1 平面向量的正交分解及坐标表示平面向量的正交分解及坐标表示观察图形,回答下列问题:观察图形,回答下列问题:问题问题1 1:点的坐标与向量的坐标有什么区别?:点的坐标与向量的坐标有什么区别?问题问题2 2:相等向量的坐标相同吗?相等向量的起点、终点一定相同吗:相等向量的
7、坐标相同吗?相等向量的起点、终点一定相同吗?【总结提升总结提升】1.1.解读平面向量的坐标表示解读平面向量的坐标表示(1)(1)向量的坐标只与始点和终点的相对位置有关,而与它们的具体位向量的坐标只与始点和终点的相对位置有关,而与它们的具体位置无关置无关.(2)(2)向量确定后,向量的坐标就被确定了向量确定后,向量的坐标就被确定了.(3)(3)引入向量的坐标表示以后,向量就有两种表示方法:一种是几何引入向量的坐标表示以后,向量就有两种表示方法:一种是几何法,即用向量的长度和方向表示;另一种是坐标法,即用一对有序实法,即用向量的长度和方向表示;另一种是坐标法,即用一对有序实数表示数表示.有了向量的
8、坐标表示,就可以将几何问题转化为代数问题来有了向量的坐标表示,就可以将几何问题转化为代数问题来解决解决.2.2.辨析点的坐标与向量坐标辨析点的坐标与向量坐标(1)(1)平面向量的坐标只有当起点在原点时,向量的坐标才与向量终点平面向量的坐标只有当起点在原点时,向量的坐标才与向量终点的坐标相同的坐标相同.(2)(2)书写不同:向量书写不同:向量a=(x=(x,y)y)中间用等号连接,而点的坐标中间用等号连接,而点的坐标A(xA(x,y)y)中中间没有等号间没有等号.(3)(3)在平面直角坐标系中,符号在平面直角坐标系中,符号(x(x,y)y)可表示一个点,也可表示一个可表示一个点,也可表示一个向量
9、,叙述中应指明点向量,叙述中应指明点(x(x,y)y)或向量或向量(x(x,y).y).(4)(4)给定一个向量,它的坐标是唯一的,对应一对实数,由于向量可给定一个向量,它的坐标是唯一的,对应一对实数,由于向量可以平移,故以这对实数为坐标的向量有无穷多个以平移,故以这对实数为坐标的向量有无穷多个.注意:注意:相等向量的坐标是相同的,但是两个相等向量的起点、终点的相等向量的坐标是相同的,但是两个相等向量的起点、终点的坐标却可以不同坐标却可以不同.知识点知识点2 2 平面向量的坐标运算平面向量的坐标运算观察如图所示内容,回答下列问题:观察如图所示内容,回答下列问题:问题问题1 1:两个向量的和与差
10、、实数与向量的积的坐标如何运算?:两个向量的和与差、实数与向量的积的坐标如何运算?问题问题2 2:求向量:求向量 的坐标需要哪些向量?的坐标需要哪些向量?问题问题3 3:向量可以平移,平移前后它的坐标发生变化吗?:向量可以平移,平移前后它的坐标发生变化吗?【总结提升总结提升】1.1.两个向量和两个向量和(差差)的坐标的坐标由于向量由于向量a=(x=(x1 1,y y1 1),b=(x=(x2 2,y y2 2)等价于等价于a=x=x1 1i+y+y1 1j,b=x=x2 2i+y+y2 2j,则,则a+b=(x(x1 1i+y+y1 1j)+(x)+(x2 2i+y+y2 2j)=(x)=(x
11、1 1+x+x2 2)i+(y+(y1 1+y+y2 2)j,即,即a+b=(x=(x1 1+x+x2 2,y y1 1+y+y2 2),同理可,同理可得得a-b=(x=(x1 1-x-x2 2,y y1 1-y-y2 2).).这就是说,两个向量和这就是说,两个向量和(差差)的坐标分别等于这的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和两个向量相应坐标的和(差差).).2.2.实数与向量的积的坐标实数与向量的积的坐标由由a=(x=(x,y)y),可得,可得a=x xi+y+yj,则,则a=(x(xi+y+yj)=)=xxi+y+yj.从而从而a=(=(xx,yy).).这就是说实数与向量的积的坐标等于
12、用这个实数乘原这就是说实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标来向量的相应坐标.【题型探究题型探究】类型一类型一 平面向量的坐标表示平面向量的坐标表示【典例典例】1.1.已知基向量已知基向量i=(1=(1,0)0),j=(0=(0,1)1),m=4=4i-j,则,则m的坐标的坐标是是()A.(4A.(4,1)1)B.(-4B.(-4,1)1)C.(4C.(4,-1)-1)D.(-4D.(-4,-1)-1)2.2.如图,取与如图,取与x x轴、轴、y y轴同向的两个单位向量轴同向的两个单位向量i,j作为作为基底,分别用基底,分别用i,j表示表示 并求出它们的坐标并求出它们的坐标.【
13、解题探究解题探究】1.1.典例典例1 1中向量中向量i与向量与向量j有什么关系?有什么关系?提示:提示:向量向量i与向量与向量j垂直垂直.2.2.典例典例2 2中,点中,点A A,B B的坐标分别是多少,的坐标分别是多少,如何用如何用 表示表示.提示:提示:A(6A(6,2)2),B(2B(2,4)4),【解析解析】1.选C.因因为向量向量i与向量与向量j垂直,垂直,m=4i-j,所以,所以m=(4,-1).2.由由图形可知,形可知,=6i+2j,=2i+4j,=-4i+2j,它,它们的坐的坐标表示表示为:=(6,2),=(2,4),=(-4,2).【方法技巧方法技巧】求点和向量坐标的常用方法
14、求点和向量坐标的常用方法(1)(1)求一个点的坐标,可以转化为求该点相对于坐标原点的位置的坐求一个点的坐标,可以转化为求该点相对于坐标原点的位置的坐标标.(2)(2)求一个向量时,可以首先求出这个向量的起点坐标和终点坐标,求一个向量时,可以首先求出这个向量的起点坐标和终点坐标,再运用终点坐标减去起点坐标得到该向量的坐标再运用终点坐标减去起点坐标得到该向量的坐标.【变式训练变式训练】已知边长为已知边长为1 1的正方形的正方形ABCDABCD中,中,ABAB与与x x轴正半轴成轴正半轴成3030角,角,则则 =_ =_,=_.=_.【解析解析】由由题知知B,D分分别是是30,120角的角的终边与与
15、单位位圆的交点的交点.设B(x1,y1),D(x2,y2).由三角函数的定由三角函数的定义,得,得x1=cos30=y1=sin30=,所以,所以 x2=cos120=-,y2=sin120=所以所以 所以所以 答案:答案:【补偿训练补偿训练】在直角坐标系在直角坐标系xOyxOy中,向量中,向量a,b,c的方向如图所示,且的方向如图所示,且|a|=2|=2,|b|=3|=3,|c|=4|=4,分别计算出它们的坐标,分别计算出它们的坐标.【解解题指南指南】题目中目中给出了向量出了向量a,b,c的模以及与坐的模以及与坐标轴的的夹角,角,要求向量的坐要求向量的坐标,先将向量正交分解,把它,先将向量正
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