数学八 数学思想方法与数学文化 第2讲 分类讨论思想、转化与化归思想 文 .ppt
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1、第第2讲分类讨论思想、转化与化归思想讲分类讨论思想、转化与化归思想数学思想解读1.分类讨论的思想是当问题的对象不能进行统一研究时,就需要对研究的对象按某个标准进行分类,然后对每一类分别研究,给出每一类的结论,最终综合各类结果得到整个问题的解答.实质上分类讨论就是“化整为零,各个击破,再集零为整”的数学思想.2.转化与化归思想方法用在研究、解决数学问题时,思维受阻或寻求简单方法或从一种状况转化到另一种情形,也就是转化到另一种情境使问题得到解决,这种转化是解决问题的有效策略,同时也是获取成功的思维方式.探究提高1.指数函数、对数函数的单调性取决于底数a,因此,当底数a的大小不确定时,应分0a1两种
2、情况讨论.2.利用等比数列的前n项和公式时,若公比q的大小不确定,应分q1和q1两种情况进行讨论,这是由等比数列的前n项和公式决定的.解析(1)当n1时,a1S12a12,解得a12.因为Sn2an2,当n2时,Sn12an12,两式相减得,an2an2an1,即an2an1,则数列an为首项为2,公比为2的等比数列,则S5S4a52532.探究提高1.圆锥曲线形状不确定时,常按椭圆、双曲线来分类讨论,求圆锥曲线的方程时,常按焦点的位置不同来分类讨论.2.相关计算中,涉及图形问题时,也常按图形的位置不同、大小差异等来分类讨论.应用3由变量或参数引起的分类讨论【例3】已知f(x)xaex(aR,
3、e为自然对数的底).(1)讨论函数f(x)的单调性;(2)若f(x)e2x对xR恒成立,求实数a的取值范围.解(1)f(x)1aex,当a0时,f(x)0,函数f(x)是(,)上的单调递增函数;当a0时,由f(x)0得xln a,所以函数f(x)在(,ln a)上的单调递增,在(ln a,)上的单调递减.探究提高1.(1)参数的变化取值导致不同的结果,需对参数进行讨论,如含参数的方程、不等式、函数等.本题中参数a与自变量x的取值影响导数的符号应进行讨论.(2)解析几何中直线点斜式、斜截式方程要考虑斜率k存在或不存在,涉及直线与圆锥曲线位置关系要进行讨论.2.分类讨论要标准明确、统一,层次分明,
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