数学总第一篇 知识 方法 固基 第三单元 函数 13 二次函数的应用 .ppt

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1、第1313讲二次函数的应用考点考点考点二次函数的实际应用二次函数的实际应用1.应用二次函数解决实际问题的方法(1)弄清问题的变化过程,寻找数量关系;(2)根据等量关系列出函数表达式;(3)根据自变量的实际意义确定自变量的取值范围;(4)利用函数性质解决问题;(5)检验并写出合适答案.考点2.二次函数应用问题的常见类型(1)最值型列出二次函数表达式,根据自变量的实际意义确定自变量的取值范围;配方或用公式法求顶点;如果顶点在自变量的取值范围内,那么二次函数在顶点处取得最大值(或最小值);如果自变量的取值范围是x1xx2,顶点在自变量的取值范围x1xx2内,则当 ,如果顶点不在此范围内,则需根据二次

2、函数增减性确定最值.考点(2)现实生活中的抛物线型弄清函数中自变量和函数的实际意义,建立平面直角坐标系,将题目中实际条件转化成坐标;利用待定系数法求出二次函数关系式;将题目中提出的实际问题转化为函数问题;利用函数性质求解,并检验其是否符合实际问题.(3)几何图形面积型找出引起面积变化的长度、坐标或时间等作为变量;找出题目中变量与面积的对应关系,求出二次函数关系式;确定自变量的取值范围;利用函数性质求解,并检验其是否符合实际问题.命题点1命题点2命题点3命题点4命题点1二次函数与增长率1.(2014安徽,12,5分)某厂今年一月份新产品的研发资金为a元,以后每月新产品的研发资金与上月相比增长率都

3、是x,则该厂今年三月份新产品的研发资金y(元)关于x的函数关系式为y=a(1+x)2.解析一月份新产品的研发资金为a元,二月份起,每月新产品的研发资金与上月相比增长率都是x,二月份研发资金为a(1+x).三月份的研发资金为y=a(1+x)(1+x)=a(1+x)2.命题点1命题点2命题点3命题点4命题点2几何图形面积与二次函数2.(2015安徽,22,12分)为了节省材料,某水产养殖户利用水库的岸堤(岸堤足够长)为一边,用总长为80 m的围网在水库中围成了如图所示的三块矩形区域,而且这三块矩形区域的面积相等.设BC的长度为x m,矩形区域ABCD的面积为y m2.(1)求y与x之间的函数关系式

4、,并注明自变量x的取值范围.(2)x为何值时,y有最大值?最大值是多少?命题点1命题点2命题点3命题点4命题点1命题点2命题点3命题点4命题点3利润与资源的最优化3.(2017安徽,22,12分)某超市销售一种商品,成本每千克40元,规定每千克售价不低于成本,且不高于80元.经市场调查,每天的销售量y(千克)与每千克售价x(元)满足一次函数关系,部分数据如下表.(1)求y与x之间的函数表达式.(2)设商品每天的总利润为W(元),求W与x之间的函数表达式(利润=收入-成本).(3)试说明总利润W随售价x的变化而变化的情况,并指出售价为多少元时获得最大利润,最大利润是多少?命题点1命题点2命题点3

5、命题点4解:(1)设y=kx+b.y=-2x+200(40 x80).(2)W=xy-40y=x(-2x+200)-40(-2x+200)=-2x2+280 x-8000=-2(x-70)2+1800.(3)由(2)可知,当40 x70时,W随x的增大而增大,当70 x80时,W随x的增大而减小,当x=70时利润最大,为1800元.命题点1命题点2命题点3命题点4命题点4现实生活的抛物线4.(2012安徽,23,14分)如图,排球运动员站在点O处练习发球,将球从O点正上方2 m的A处发出,把球看成点,其运行的高度y(m)与运行的水平距离x(m)满足关系式y=a(x-6)2+h.已知球网与O点的

6、水平距离为9 m,高度为2.43 m,球场的边界距O点的水平距离为18 m.(1)当h=2.6时,求y与x的关系式.(不要求写出自变量x的取值范围)(2)当h=2.6时,球能否越过球网?球会不会出界?请说明理由.(3)若球一定能越过球网,又不出边界,求h的取值范围.命题点1命题点2命题点3命题点4考法1考法2考法3考法考法1图形面积问题图形面积问题例1(2016安徽)如图,二次函数y=ax2+bx的图象经过点A(2,4)与B(6,0).(1)求a,b的值;(2)点C是该二次函数图象上A,B两点之间的一动点,横坐标为x(2x6).写出四边形OACB的面积S关于点C的横坐标x的函数表达式,并求S的

7、最大值.考法1考法2考法3解:(1)将A(2,4)与B(6,0)代入y=ax2+bx,(2)过点A作x轴的垂线,垂足为D(2,0),连接CD,过点C作CEAD于点E,CFx轴于点F.则S=SOAD+SACD+SBCD=4+(2x-4)+(-x2+6x)=-x2+8x,所以S关于x的函数表达式为S=-x2+8x(2x6).因为S=-(x-4)2+16,所以当x=4时,四边形ABCD的面积S取最大值,最大值为16.考法1考法2考法3方法总结求图形的面积,一般通过转化解决,本题连接CD和添加一些垂线把四边形OACB的面积转化为几个三角形面积的和,把得到的二次函数配方成顶点形式可求二次函数的最值.考法

8、1考法2考法3对应训练1.(2017山东潍坊)工人师傅用一块长为10 dm,宽为6 dm的矩形铁皮制作一个无盖的长方体容器,需要将四角各裁掉一个正方形.(厚度不计)(1)在图中画出裁剪示意图,用实线表示裁剪线,虚线表示折痕;并求长方体底面面积为12 dm2时,裁掉的正方形边长多大.(2)若要求制作的长方体的底面长不大于底面宽的五倍,并将容器进行防锈处理,侧面每平方分米的费用为0.5元,底面每平方分米的费用为2元,裁掉的正方形边长多大时,总费用最低?最低为多少?考法1考法2考法3解:(1)如图所示.设裁掉的正方形的边长为x cm,由题意得(10-2x)(6-2x)=12,即x2-8x+12=0,

9、解得x1=2,x2=6(舍去).所以裁掉的正方形的边长为2 dm.(2)因为长不大于宽的五倍,所以10-2x5(6-2x),所以0 x2.5.设总费用为w,由题意可知w=0.52x(16-4x)+2(10-2x)(6-2x)=4x2-48x+120=4(x-6)2-24.因为其图象对称轴为x=6,开口向上,所以当00)的相关费用,当40 x45时,农经公司的日获利的最大值为2 430元,求a的值.(日获利=日销售利润-日支出费用)考法1考法2考法3解:(1)假设p与x成一次函数,设p=kx+b,由表格知当x=30时,p=600,当x=50时,p=0,p=-30 x+1500,把x=35,p=4

10、50;x=40,p=300;x=45,p=150代入,均符合;假设p与x成二次函数、反比例函数时,仿照上述方法均不符合.p与x的关系式是p=-30 x+1500.(2)设每日的销售利润为y元,由题意得y=(x-30)p=(x-30)(-30 x+1500)=-30(x-40)2+3000.当销售价格定为40元/千克时,才能使每日销售利润最大.考法1考法2考法3(3)设农经公司日获利W元,则W=y-ap=-30(x-40)2+3000-a(-30 x+1500)=-30 x2+(2400+30a)x-1500a-45000当40 x45时,日获利最大值为2430元,分三种情况:考法1考法2考法3

11、2250-150a=2430.a=-1.2不合题意,舍去.a的值为2.方法总结本题考查了利润最大化问题,解题的关键根据题目给出的自变量的取值范围,列出对应函数关系式.一般把二次函数关系式配成顶点形式,结合自变量取值范围和抛物线的开口方向解决问题.但要注意:若抛物线顶点横坐标的值不在自变量取值范围内,我们就需要结合函数图象的增减性质求出最值.考法1考法2考法3对应训练2.(2017山东济宁)某商店经销一种学生用双肩包,已知这种双肩包的成本价为每个30元.市场调查发现,这种双肩包每天的销售量y(个)与销售单价x(元)有如下关系:y=-x+60(30 x60).设这种双肩包每天的销售利润为w元.(1

12、)求w与x之间的函数关系式.(2)这种双肩包销售单价定为多少元时,每天的销售利润最大?最大利润是多少元?(3)如果物价部门规定这种双肩包的销售单价不高于42元,该商店销售这种双肩包每天要获得200元的销售利润,销售单价应定为多少元?考法1考法2考法3解:(1)w=(x-30)y=(x-30)(-x+60)=-x2+90 x-1 800.w与x的函数关系式为w=-x2+90 x-1 800(30 x60).(2)w=-x2+90 x-1 800=-(x-45)2+225.-142,x2=50不符合题意,应舍去.销售单价应定为40元.考法1考法2考法3考法考法3现实生活中的抛物线现实生活中的抛物线

13、例3(2017浙江金华)甲、乙两人进行羽毛球比赛,羽毛球飞行的路线为抛物线的一部分,如图,甲在O点正上方1 m的P处发出一球,羽毛球飞行的高度y(m)与水平距离x(m)之间满足函数表达式y=a(x-4)2+h.已知点O与球网的水平距离为5 m,球网的高度为1.55 m.(1)当a=时,求h的值.通过计算判断此球能否过网.(2)若甲发球过网后,羽毛球飞行到离点O的水平距离为7 m,离地面的高度为 m的Q处时,乙扣球成功,求a的值.考法1考法2考法3考法1考法2考法3方法总结本题考查了现实生活的抛物线型问题,解这种问题往往先将题目中给出实际意义的量转换成点的坐标,再通过待定系数法求出函数解析式,再

14、通过待求量在函数中表示的意义,利用函数解析式求解.自变量x和函数y对应生活实际意义的理解是解这种问题的突破口.考法1考法2考法3对应训练3.(2017山东德州)随着新农村的建设和旧城的改造,我们的家园越来越美丽.小明家附近广场中央新修了个圆形喷水池,在水池中心竖直安装了一根高为2米的喷水管,它喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为1米处达到最高,水柱落地处离池中心3米.(1)请你建立适当的平面直角坐标系,并求出水柱抛物线的函数解析式.(2)求出水柱的最大高度是多少.考法1考法2考法3解:(1)如图,以水管与地面交点为原点,原点与水柱落地点所在直线为x轴,水管所在直线为y轴,建立平面直角坐标系.由题意可设抛物线的函数解析式为y=a(x-1)2+h(0 x3).抛物线过点(0,2)和(3,0),