2024届高考数学专项练习隐零点与极值点偏移问题含答案.pdf

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1、1隐零点与极值点偏移问题隐零点与极值点偏移问题【考试提醒】隐零点问题是指对函数的零点设而不求，通过一种整体代换和过渡，再结合题目条件最终解决问题；极值点偏移是指函数在极值点左右的增减速度不一样，导致函数图象不具有对称性，隐零点与极值点偏移问题常常出现在高考数学的压轴题中，这类题往往对思维要求较高，过程较为烦琐，计算量较大，难度大【核心题型】题型一隐零点题型一隐零点零点问题求解三步曲(1)用函数零点存在定理判定导函数零点的存在性，列出零点方程 f(x0)=0，并结合 f(x)的单调性得到零点的取值范围(2)以零点为分界点，说明导函数 f(x)的正负，进而得到 f(x)的最值表达式(3)将零点方程

2、适当变形，整体代入最值式子进行化简证明，有时(1)中的零点范围还可以适当缩小1(2024吉林长春东北师大附中校联考模拟预测)已知 f x=ae2x-2xex(其中e=2.71828为自然对数的底数).(1)当a=0时，求曲线y=f x在点 1,f 1处的切线方程，(2)当a=12时，判断 f x是否存在极值，并说明理由；(3)xR,f x+1a0，求实数a的取值范围.2(23-24高三上河南焦作期末)(1)求函数 f(x)=ex-1-x的极值；(2)若a(0,1，证明：当x0时，(x-1)ex-a+1lnx+a2024届高考数学专项练习隐零点与极值点偏移问题23(2024浙江宁波高三统考期末)

3、已知函数 f x=xlnx-ax+1，其中aR R(1)当a=2时，求曲线 f x在x=1处的切线方程；(2)记 fx为 f x的导函数，若对x 1,3，都有 f x+5 x-1x+1 fx，求a的取值范围4(2024河北邢台高三统考期末)已知函数 f(x)=sinx+x2(1)求曲线y=f(x)在点2,f2处的切线方程；(2)证明：f(x)-5163题型二极值点偏移题型二极值点偏移极值点偏移问题的解法(1)(对称化构造法)构造辅助函数：对结论x1+x2()x20型，构造函数F(x)=f(x)-fx20 x，通过研究F(x)的单调性获得不等式(2)(比值代换法)通过代数变形将所证的双变量不等式

4、通过代换 t=x1x2化为单变量的函数不等式，利用函数单调性证明1(2023全国高三专题练习)已知函数 f x=exx-lnx+x-a.若 f(x)有两个零点x1,x2，证明：x1x21.2(2022全国模拟预测)设函数 f x=lnx-ax aR R.(1)若a=3，求函数 f x的最值；(2)若函数g x=xf x-x+a有两个不同的极值点，记作x1,x2，且x13.43(2024下安徽宿州高二安徽省泗县第一中学校考开学考试)已知函数 f x=x-2e-x(其中e=2.71828为自然对数的底数).(1)求函数 f x的单调区间；(2)若a,b为两个不相等的实数，且满足aeb-bea=2

5、eb-ea，求证：a+b6.4(2024辽宁模拟预测)已知函数 f x=ex-ax2(a0)(1)当a=e24时，判断 f x在区间 1,+内的单调性；(2)若 f x有三个零点x1,x2,x3，且x1x23.5【课后强化】【基础保分练】【基础保分练】一、单选题一、单选题1(2022四川成都一模)已知ab，且ea-a=eb-b=1.01，则下列说法正确的有()b-1；0a12；b+a0；a-b1.A.B.C.D.2(2023全国模拟预测)若关于x的方程ex=m lnx+x-1x有两个解，则实数m的取值范围为()A.e,+B.e2,+C.8,+D.4e,+3(2023四川南充一模)已知函数 f(

6、x)=lnx-2x+2-m(0m3)有两个不同的零点x1，x2(x1x2)，下列关于x1，x2的说法正确的有()个x2x12m+2em3x21A.1B.2C.3D.4二、多选题二、多选题4(2023湖南永州二模)已知alna=blnb=2.86，clnc=dlnd=-0.35，ab，cd，则有()A.a+b2eC.ad15(2023湖北襄阳模拟预测)已知关于x的方程xex-a=0有两个不等的实根x1,x2，且x1x2，则下列说法正确的有()A.-e-1a0B.x1+x2aD.x1+ex1 f(3)B.若 f(x)=m有两个不相等的实根x1，x2，则x1x2e2C.ln23y三、解答题三、解答题

7、7(22-23高三上河南洛阳开学考试)(1)证明不等式：ex-2lnx(第一问必须用隐零点解决，否则不给分)；(2)已知函数 f(x)=(x-2)ex+a(x-1)2有两个零点.求a的取值范围.(第二问必须用分段讨论解决，否则不给分)68(2024全国模拟预测)已知函数 f(x)=lnx+1x，g(x)=exx(1)若对任意的m,n(0,+)都有 f(m)tg(n)，求实数t的取值范围；(2)若x1,x2(0,+)且x1x2，ex2-x1=xx12xx21，证明：x31+x3229(2024全国模拟预测)已知函数 f(x)=2lnx-ax2.(1)若x0时，f(x)1恒成立，求实数a的取值范围

8、；(2)当实数a取第(1)问中的最小值时，若方程 f(x)=m有两个不相等的实数根x1，x2，请比较x21+x22，2x21x22，2这三个数的大小，并说明理由.710(23-24高三上云南昆明阶段练习)设a，b为函数 f x=xex-m(m0)的两个零点(1)求实数m的取值范围；(2)证明：ea+eb1【综合提升练】【综合提升练】一、单选题一、单选题1(22-23高二下福建厦门期末)已知函数 f x=lnxx,0e，若abc，且 f a=f b=f c，则blnaalnbc的取值范围为()A.(e,2e)B.(-2e,-e)C.(1,2e)D.(-2e,-1)2(2023江西南昌二模)已知函

9、数 f x=exsinx+ax，x 0,2若 f x有且只有两个零点，则实数a的取值范围是()A.-2e2,+B.-2e2,0C.-2e2,0D.-2e2,-13(22-23高三上辽宁锦州阶段练习)已知函数 f x=a x+cosx-ex在 0,上恰有两个极值点，则a的取值范围是()A.0,1B.-,eC.0,eD.e,+4(2020高三全国专题练习)已知函数 f(x)=ex-ax有两个零点x1，x2，则下列判断：ae；x1+x21；有极小值点x0，且x1+x2kx恒成立D.对任意两个正实数x1,x2，且x1x2，若 f x1=f x2，则x1+x246(2023福建漳州三模)已知函数 f x

10、=2x+lnx+1-a和函数g x=x-ae2x，具有相同的零点x0，则e2x0lnx20的值为()A.2B.-eC.-4D.e27(22-23高三上河北衡水期末)已知a=10099e0.99,b=ln10099ee-0.01,lna=c-lnc(c0.99)，则()A.ba1.01cB.bac1.01C.ab1.01cD.abc1.018(21-22高三上浙江宁波开学考试)已知函数 f x=lnxx，对于正实数a，若关于t的方程 f t=fat恰有三个不同的正实数根，则a的取值范围是()A.1,8B.e2,8C.8,+D.e2,+二、多选题二、多选题9(2023河北衡水一模)直线l：y=ax

11、与y=ex的图象交于A x1,y1、B x2,y2两点 x1x2，y=ex在AB两点的切线交于C，AB的中点为D，则()A.aeB.点C的横坐标大于1C.x1-x21，不等式 f ax f lnx2恒成立，则正实数a的最小值为2eC.若 f x=t有两个零点x1,x2，则x1+x20D.若 f x1=g x2=t t2，且x2x10，则lntx2-x1的最大值为1e11(2023河北模拟预测)若当实数a变化时，直线y=ax+ea恒与定曲线y=f x相切，且 f x1=f x2=b，则()A.f x有一个极大值点B.b 0,1C.xR RD.x1+x2恒成立，则实数的取值范围为14(2022广东

12、佛山一模)已知函数 f x=x2ex+2axe-x2+2，当a=2 时，函数 f x的零点个数为；若函数 f x有两个零点，则实数a的取值范围为四、解答题四、解答题15(2023江西模拟预测)已知函数 f(x)=x+mex(1)讨论 f(x)的单调性；(2)若x1x2，且 f x1=f x2=2，证明：0me，且x1+x20,bR R).(1)讨论函数 f x的单调性；(2)当a=12时，方程 f x=0有三个不相等的实数根，分别记为xii=1,2,3.求b的取值范围；证明 xi-xj2 e.18(2022四川南充一模)已知函数 f(x)=x-lnx-a有两个不同的零点x1,x2.(1)求实数

13、a的取值范围；(2)求证：x1+x22.1119(2024河北沧州二模)若函数 f x,g x与h x在区间D上恒有 f xh xg x，则称函数h x为 f x和g x在区间D上的隔离函数.(1)若 f x=112x,g x=-2 6x,h x=2x2+3,D=1,2，判断h x是否为 f x和g x在区间D上的隔离函数，并说明理由；(2)若 f x=ex-1,h x=kx，且 f xh x在R R上恒成立，求k的值；(3)若 f x=ex,g x=lnx+1x+1,h x=kx+b k,bR R,D=0,+，证明：b=k-1是h x为 f x和g x在 0,+上的隔离函数的必要条件.【拓展

14、冲刺练】【拓展冲刺练】一、单选题一、单选题1(2023四川内江一模)已知函数 f(x)=(x-2)ex+a(x-1)2有两个零点，则a的最小整数值为()A.3B.2C.1D.02(2023四川成都三模)已知函数 f x=x-1x-mlnx有三个零点，则实数m的取值范围是()A.4,+B.3,+C.e,+D.2,+3(2023河北沧州模拟预测)已知直线y=kx+b与曲线y=ex+2和曲线y=ln e2x均相切，则实数k的解的个数为()A.0B.1C.2D.无数二、多选题二、多选题4(22-23高三上湖北阶段练习)已知ab,cd,eaa+1=ebb+1=1.01,1-cec=1-ded=0.99，

15、则()A.a+b0B.c+d0C.a+d0D.b+c0125(2022黑龙江哈尔滨模拟预测)已知函数 f x=lnx-ax，则下列说法正确的是()A.若 f x0恒成立，则a1B.当ae2D.当a=1时，若不等式me2x+lnm f x恒成立，则正数m的取值范围是1e,+6(22-23高三上黑龙江哈尔滨期中)已知函数 f x=2lnx-ax2则下列结论正确的有()A.当a=1时，x=1是y=f x的极值点B.当a1e时，f x0恒成立C.当ae三、填空题三、填空题7(2023重庆沙坪坝模拟预测)已知函数 f x=x-1ex-kx(x0)存在唯一零点，则k的取值范围为.8(2024河南洛阳模拟预

16、测)若函数 f(x)=a(1-sinx)-ex在区间 0,上有两个零点，则a的取值范围为.四、解答题四、解答题9(2023贵州毕节模拟预测)已知函数 f x=2x+alnx-3 x-a,a0.(1)当x1时，f x0，求a的取值范围.(2)若函数 f x有两个极值点x1,x2，证明：x1+x22e-12.1310(2023云南大理模拟预测)已知函数 f(x)=alnx+ax(1)讨论 f x的极值；(2)若 ex1x2=ex2x1(e是自然对数的底数)，且x10，x20，x1x2，证明：x1+x2211(23-24高三上河南阶段练习)已知函数 f x=x-2ex-axaR R(1)若a=2，讨

17、论 f x的单调性(2)已知关于x的方程 f x=x-3ex+2ax恰有2个不同的正实数根x1,x2(i)求a的取值范围；(ii)求证：x1+x241412(2024吉林二模)在平面直角坐标系xOy中，RtOAB的直角顶点A在x轴上，另一个顶点B在函数 f x=lnxx图象上(1)当顶点B在x轴上方时，求 RtOAB以x轴为旋转轴，边AB和边OB旋转一周形成的面所围成的几何体的体积的最大值；(2)已知函数g x=eax2-ex+ax2-1x，关于x的方程 f x=g x有两个不等实根x1，x2x12e.1隐零点与极值点偏移问题隐零点与极值点偏移问题【考试提醒】隐零点问题是指对函数的零点设而不求

18、，通过一种整体代换和过渡，再结合题目条件最终解决问题；极值点偏移是指函数在极值点左右的增减速度不一样，导致函数图象不具有对称性，隐零点与极值点偏移问题常常出现在高考数学的压轴题中，这类题往往对思维要求较高，过程较为烦琐，计算量较大，难度大【核心题型】题型一隐零点题型一隐零点零点问题求解三步曲(1)用函数零点存在定理判定导函数零点的存在性，列出零点方程 f(x0)=0，并结合 f(x)的单调性得到零点的取值范围(2)以零点为分界点，说明导函数 f(x)的正负，进而得到 f(x)的最值表达式(3)将零点方程适当变形，整体代入最值式子进行化简证明，有时(1)中的零点范围还可以适当缩小1(2024吉林

19、长春东北师大附中校联考模拟预测)已知 f x=ae2x-2xex(其中e=2.71828为自然对数的底数).(1)当a=0时，求曲线y=f x在点 1,f 1处的切线方程，(2)当a=12时，判断 f x是否存在极值，并说明理由；(3)xR,f x+1a0，求实数a的取值范围.【答案】(1)y=-4ex+2e；(2)有一个极大值，一个极小值，理由见解析；(3)1-2e2,0【解析】(1)当a=0时，f x=-2xex，可得 fx=-2 x+1ex，则 f1=-4e,f 1=-2e，所以曲线y=f x在点 1,f 1处的切线方程为 y+2e=-4e x-1，即 y=-4ex+2e.(2)当a=1

20、2时，f x=12e2x-2xex，定义域为R，可得 fx=e2x-2 x+1ex=exex-2x-2，令F x=ex-2x-2，则Fx=ex-2，当x-,ln2时，Fx0，所以F x在-,ln2递减，在 ln2,+上递增，所以F(x)min=F ln2=2-2ln2-2=-2ln20,F 2=e2-60，存在x1-1,ln2使得F x1=0，存在x2 ln2,2使得F x2=0，当x-,x1时，F x0,fx0,f x单调递增；当x x1,x2时，F x0,fx0,fx0,f x单调递增；所以a=12时，f x有一个极大值，一个极小值.(3)由 f x=ae2x-2xex，可得 fx=2ae

21、2x-2 x+1ex=2exaex-x-1，由xR,f x+1a0，因为 f 0+1a=a+1a=a2+1a0，可得a0，令g x=aex-x-1，则g x在R上递减，2当xa-x-1，则g a-1a-a-1-1=0，又因为g-1=ae-10，即 fx0；当x0 x0,+时，g x0，即 fx0，所以 f x在-,x0递增，在 x0,+递减，所以 f(x)max=f x0=ae2x0-2x0ex0，由g x0=aex0-x0-1=0，可得a=x0+1ex0，由 f(x)max+1a0，可得 x0+1ex0-2x0ex0+ex0 x0+10，即1-x01+x0+1x0+10，由x0+10，可得x

22、20-11，所以-2 x0-1，因为a=x0+1ex0，设h x=x+1ex(-2 x0，可知h x在-2,1上递增，h xh-2=1-2e-2=1-2e2且h x0时，(x-1)ex-a+1lnx+a【答案】(1)极小值为0，无极大值；(2)证明见解析【分析】(1)求导，得到单调性，从而得到极值情况；(2)在(1)基础上得到x-1lnx，构造函数h(x)=(x-1)ex-a-lnx+1-a(x0)，求导得到其单调性，结合隐零点得到函数的最小值h x00，证明出结论.【详解】(1)依题意，f(x)=ex-1-1，令 f(x)=0，解得x=1，所以当x(-,1)时，f(x)0，即 f(x)在(-

23、,1)上单调递减，在(1,+)上单调递增，而 f(1)=0，故 f(x)的极小值为0，无极大值(2)由(1)可知，当x0时，ex-1x，则x-1lnx令h(x)=(x-1)ex-a-lnx+1-a(x0)，则h(x)=xex-a-1x，易知h(x)在(0,+)上单调递增因为a(0,1，所以h12=12e12-a-20，h(1)=e1-a-10，故x012,1，使得hx0=0，即x0ex0-a=1x0当x 0,x0时，h(x)0，所以h(x)在x 0,x0上单调递减，在x x0,+上单调递增，故 h(x)min=h x0=x0-1ex0-a-lnx0+1-a由可得ex0-a=1x20,x0-a=

24、-2lnx0，代入，得h x0=x0-1x20-3lnx0-x0+1x0-1x20-3 x0-1-x0+1=1-x02x0-12x0+1x20，而x012,1，故h x00，故h(x)0，即原命题得证【点睛】3方法点睛：隐零点的处理思路：第一步：用零点存在性定理判定导函数零点的存在性，其中难点是通过合理赋值，敏锐捕捉零点存在的区间，有时还需结合函数单调性明确零点的个数；第二步：虚设零点并确定取范围，抓住零点方程实施代换，如指数与对数互换，超越函数与简单函数的替换，利用同构思想等解决，需要注意的是，代换可能不止一次3(2024浙江宁波高三统考期末)已知函数 f x=xlnx-ax+1，其中aR

25、R(1)当a=2时，求曲线 f x在x=1处的切线方程；(2)记 fx为 f x的导函数，若对x 1,3，都有 f x+5 x-1x+1 fx，求a的取值范围【答案】(1)y=-x；(2)52,+【解析】(1)由题知，fx=lnx+1-a，当a=2时，f1=-1，f 1=-1，所以曲线 f x在x=1处的切线方程为y=-x；(2)由题意，原不等式等价于xlnx-ax+1+5 x-1x+1lnx+1-a，即 x-1lnx+5x+1a x-1，当x=1时，对任意aR R，不等式恒成立，当x 1,3时，原不等式等价于lnx+5x+1a，设g x=lnx+5x+1，则gx=1x-5(x+1)2=x2-

26、3x+1x(x+1)2，设h x=x2-3x+1，因为h 10,h 30,h320，所以存在唯一x032,3，使得h x0=0，即gx0=0，当x 1,x0时，gx0,g x单调递增，故g(x)max=max g 1,g 3=g 1=52，即a52综上所述，a的取值范围为52,+4(2024河北邢台高三统考期末)已知函数 f(x)=sinx+x2(1)求曲线y=f(x)在点2,f2处的切线方程；(2)证明：f(x)-516【答案】(1)4x-4y-2+4=0；(2)证明见解析【解析】(1)f(x)=cosx+2x，f2=，f2=24+1故曲线y=f(x)在点2,f2处的切线方程为y=x-24+

27、1，即4x-4y-2+4=0(2)由(1)得 f(x)=cosx+2x令函数u(x)=f(x)，则u(x)=-sinx+20，所以u(x)=f(x)是增函数因为 f(0)=1，f-12=cos12-10，所以存在x0-12,0，使得 f(x0)=cosx0+2x0=0，即x20=14cos2x04所以当x-,x0时，f(x)0，所以 f(x)在-,x0上单调递减，在 x0,+上单调递增f(x)f x0=sinx0+x20=sinx0+14cos2x0=-14sin2x0+sinx0+14因为x0-12,0，所以sinx0sin-12sin-6=-12，所以-14sin2x0+sinx0+14-

28、14-122-12+14=-516故 f(x)-516题型二极值点偏移题型二极值点偏移极值点偏移问题的解法(1)(对称化构造法)构造辅助函数：对结论x1+x2()x20型，构造函数F(x)=f(x)-fx20 x，通过研究F(x)的单调性获得不等式(2)(比值代换法)通过代数变形将所证的双变量不等式通过代换 t=x1x2化为单变量的函数不等式，利用函数单调性证明1(2023全国高三专题练习)已知函数 f x=exx-lnx+x-a.若 f(x)有两个零点x1,x2，证明：x1x21.【答案】证明见解析【分析】利用构造函数法，从而只需证明x1x21，则 f t=t+lnt-a，ft=1+1t0，

29、所以 f t=t+lnt-a在 1,+上单调递增，故 f t=0至多有1解；又因为 f x有两个零点x1,x2，所以，t=exx有两个解x1,x2，令y=exx，y=exx-1x2，易得y=exx在 0,1上递减，在 1,+上递增，所以0 x11x2.此时ex1=tx1;ex2=tx2，两式相除，可得：ex2-x1=x2x1x2-x1=lnx2-lnx1.于是，欲证x1x21只需证明：x1x2x2-x1lnx2-lnx1，下证x1x2x2-x1lnx2-lnx1：因为x1x2x2-x1lnx2-lnx1lnx2-lnx1x2-x1x1x2lnx2x11，则只需证2lns1，则hs=2s-1-1

30、s2=-1-1s20，故h s在 1,+上单调递减，故h sh 1=0，即2lnss-1s得证，综上所述：即证x1x21.【点睛】关键点睛：本题通过构造对数不等式证明极值点偏移问题.2(2022全国模拟预测)设函数 f x=lnx-ax aR R.5(1)若a=3，求函数 f x的最值；(2)若函数g x=xf x-x+a有两个不同的极值点，记作x1,x2，且x13.【答案】(1)无最小值，最大值为-ln3-1(2)证明见解析【分析】(1)对函数 f x=lnx-3x求导后得 fx=1-3xx,x0，分别求出 fx0和 fx32ax1+4ax23a32x1+4x2lnx2x1x2-x13x1+

31、2x2，令t=x2x1,t1，构建函数h t=lnt-3 t-11+2t，然后利用导数求解h t的最值，从而可求解证明.【详解】(1)由题意得 f x=lnx-3x，则 fx=1-3xx,x0.令 fx0，解得0 x13；令 fx13，f x在 0,13上单调递增，在13,+上单调递减，f(x)max=f13=ln13-313=-ln3-1，f x无最小值，最大值为-ln3-1.(2)g x=xf x-x+a=xlnx-ax2-x+a，则gx=lnx-2ax，又g x有两个不同的极值点x1,x2,lnx1=2ax1,lnx2=2ax2，欲证lnx1+2lnx23，即证2ax1+4ax23，0

32、x132x1+4x2.由lnx1=2ax1,lnx2=2ax2，得lnx2x1=2a x2-x1，则a=lnx2x12 x2-x1.由可知原问题等价于求证lnx2x1x2-x13x1+2x2，即证lnx2x13 x2-x1x1+2x2=3x2x1-11+2x2x1.令t=x2x1，则t1，上式等价于求证lnt3 t-11+2t.令h t=lnt-3 t-11+2t，则ht=1t-3 1+2t-6 t-1(1+2t)2=t-14t-1t(1+2t)2，t1,ht0恒成立，h t在 1,+上单调递增，当t1时，h th 1=0，即lnt3 t-11+2t，原不等式成立，即lnx1+2lnx23.【

33、点睛】方法点睛：对于极值点偏移问题，首先找到两极值点的相应关系,然后构造商数或加数关系t=x2x1，t=x2+x1；通过要证明的不等式，将两极值点变形后构造相应的函数，利用导数求解出构造函数的最值，从而证明不等式或等式成立.63(2024下安徽宿州高二安徽省泗县第一中学校考开学考试)已知函数 f x=x-2e-x(其中e=2.71828为自然对数的底数).(1)求函数 f x的单调区间；(2)若a,b为两个不相等的实数，且满足aeb-bea=2 eb-ea，求证：a+b6.【答案】(1)增区间为-,3，减区间为 3,+(2)证明见解析【分析】(1)求导，然后根据导函数的正负来判断 f x得单调

34、性；(2)将aeb-bea=2 eb-ea变形为a-2ea=b-2eb得到 f a=f b，然后构造函数g x=f x-f 6-x，根据g x得单调性和g x0得到 f a6.【详解】(1)fx=e-x+x-2-1e-x=3-xe-x，令 fx0，解得x3，令 fx3，所以 f x的增区间为-,3，减区间为 3,+.(2)证明：将aeb-bea=2 eb-ea两边同时除以eaeb得aea-beb=2ea-2eb，即a-2ea=b-2eb，所以 f a=f b，由(1)知 f x在-,3上单调递增，在 3,+上单调递减，又 f 2=0，f 3=1e3，当x 2,+时，f x0，设ab，则2a3b

35、，令g x=f x-f 6-x=x-2ex-4-xe6-x2x3，则gx=3-xex-3-xe6-x=3-xe6-x-exe6，由2xx，所以e6-xex，3-x0，所以gx0，g x在 2,3上单调递增，又g 3=f 3-f 3=0，所以g x0，当2x3时，f x-f 6-x0，即 f a-f 6-a0，即 f a f 6-a，又 f a=f b，所以 f b3，b3，f x在 3,+上单调递减，所以b6-a，即a+b6.【点睛】方法点睛：处理极值点偏移问题中的类似于x1+x2a f x1=f x2的问题的基本步骤如下：求导确定 f x的单调性，得到x1,x2的范围；构造函数F x=f x

36、-f a-x，求导可得F x恒正或恒负；得到 f x1与 f a-x1的大小关系后，将 f x1置换为 f x2；根据x2与a-x1的范围，结合 f x的单调性，可得x2与a-x1的大小关系，由此证得结论.4(2024辽宁模拟预测)已知函数 f x=ex-ax2(a0)(1)当a=e24时，判断 f x在区间 1,+内的单调性；(2)若 f x有三个零点x1,x2,x3，且x1x23.7【答案】(1)f x在 1,2上单调递减，在 2,+上单调递增(2)(i)ae24,+；(ii)证明见解析【分析】(1)多次求导后，借助导数的单调性及正负即可判断原函数的单调区间；(2)(i)原条件可转化a=e

37、xx2有三个不等实根，从而构造函数h x=exx2，研究该函数即可得；(ii)借助的h x单调性，得到x1-1，从而将证明x1+x2+x33，转化为证明x2+x34，再设t=x3x2，从而将三个变量的问题转化为单变量问题，即可构造函数 x=lnx-2 x-1x+1x1，证明其在 1,+上大于0即可.【详解】(1)当a=e24时，f x=ex-e24x2，fx=ex-e22x，令g x=fx=ex-e22x，gx=ex-e22，令gx=ex-e22=0，可得x=lne22=2-ln2，则当x 1,2-ln2时，gx0，即g x在 1,2-ln2上单调递减，在 2-ln2,+上单调递增，又g 1=

38、f1=e-e220，g 2=f2=e2-e2=0，故当x 1,2时，fx0，故 f x在 1,2上单调递减，在 2,+上单调递增；(2)(i)f x有三个零点，即ex-ax2=0有三个根，由x=0不是该方程的根，故a=exx2有三个根x1,x2,x3，且x1x20，当x 0,2时，hx0，即h x在-,0、2,+上单调递增，在 0,2上单调递减，h 2=e222=e24，当x-时，h x0，x0-时，h x+，当x0+时，h x+，x+时，h x+，故ae24,+时，a=exx2有三个根；(ii)由h x在-,0上单调递增，h-1=e-1-22=14e-1，由(i)可得ex1x21=ex2x2

39、2=ex3x23=a，且-1x10 x224，设t=x3x21，则x3=x2t，则有ex2x22=ex2tx2t2，即有t2=ex2t-1，故2lnt=x2t-1，x2=2lntt-1，则x3=2tlntt-1，即x2+x3=2lntt-1+2tlntt-1=2 t+1lntt-1，即只需证2 t+1lntt-14t+1lntt-12lnt-2 t-1t+10，令 x=lnx-2 x-1x+1x1，8则x=1x-2 x+1-2 x-1x+12=x+12-4xx x+12=x-12x x+120恒成立，故 x在 1,+上单调递增，则 x 1=ln1-0=0，即得证.【点睛】方法点睛：极值点偏移问

40、题的一般题设形式：1.若函数 f(x)存在两个零点x1,x2且x1x2，求证：x1+x22x0(x0为函数 f(x)的极值点)；2.若函数 f(x)中存在x1,x2且x1x2满足 f(x1)=f(x2)，求证：x1+x22x0(x0为函数 f(x)的极值点)；3.若函数 f(x)存在两个零点x1,x2且x1x2，令x0=x1+x22，求证：fx00；4.若函数 f(x)中存在x1,x2且x1x2满足 f(x1)=f(x2)，令x0=x1+x22，求证：fx00.【课后强化】【基础保分练】【基础保分练】一、单选题一、单选题1(2022四川成都一模)已知ab，且ea-a=eb-b=1.01，则下列

41、说法正确的有()b-1；0a12；b+a0；a-b1.A.B.C.D.【答案】B【分析】令 f x=ex-x，利用导数讨论其单调性后可判断正负，利用极值点偏移可判断的正误.【详解】令 f x=ex-x，则 fx=ex-1，当x0时，fx0时，fx0；故 f xb，故b0，而 f-12=12+1e12+11.7=37341.021.01=f b，故-12b2.56-12=1.6-0.51.01=f a，故0a12，故正确，此时a-b0，必有h xh 0=0即 f x f-xx0，所以 f a f-a，即 f b f-a，由 f x的单调性可得b-a即a+b0两种情况，利用导数判断函数的单调性，再

42、结合函数的最值，并结合零点存在性定理，求实数m的取值范围.【详解】依题意，有xex-m lnx+x-1=0，令 f x=xex-m lnx+x-1，则 fx=x+1ex-mx.当m0时，fx0在 0,+上恒成立，f x在 0,+上单调递增，故 f x至多只有1个零点；当m0时，令ex-mx=0，设x0为该方程的解，故当x 0,x0时，fx0，f x单调递增，则函数 f x的最大值为 f x0=x0ex0-m lnx0+x0-10；而ex0-mx0=0，故x0ex0=m，故lnx0+x0=lnm，故 f x0=m 2-lnme2，可知x01，故 f 1=e-m+m=e0，所以 f x在 0,x0

43、上仅有1个零点，当x+时，f x+，故 f x在 x0,+上也有1个零点，故实数m的取值范围为 e2,+.故选：B.【点睛】本题考查利用导数研究函数的性质和零点问题，涉及构造函数，分类讨论，以及隐零点问题，本题的一个关键是根据x0ex0=m，变形求 f x00，再结合函数零点存在性定理说明存在两个零点.3(2023四川南充一模)已知函数 f(x)=lnx-2x+2-m(0m3)有两个不同的零点x1，x2(x1x2)，下列关于x1，x2的说法正确的有()个x2x12m+2em3x21A.1B.2C.3D.4【答案】D【分析】函数 f x=lnx-2x+2-m 0m3有两个不同零点x1,x2x1x

44、2，转化为 lnx-2x+2=m有两个交点，构造函数g x=lnx-2x+2，判断单调性，利用数形结合，判断，再根据判断，再根据零点,构造函数，判断选项,根据零点判断.【详解】由函数 f x=lnx-2x+2-m 0m3有两个不同零点x1,x2x1x2，转化为 lnx-2x+2=m 0m3有两个交点x1,x2x10，所以g x在0,+单调递增，而g 1=0，可得h x图象如图所示10故h x在 0,1单调递减，在 1,+单调递增，所以0 x11lnx2x1，所以x2x10，因此 x12m+2，故正确；对于，因为0m3，所以0m31，故1em31，所以g33-m=ln33-m-2 3-m3+2=

45、ln33-m+2m3，则g33-m-m=-ln 3-m-m3+ln3，构造函数Q x=-ln 3-m-m3+ln3，则Qx=13-m-13=m3 3-m0，而Q 0=0，所以g33-mm=g x2，所以x233-m，因为g em3=m3-2em3+2，所以m-g em3=2m3-1em3+1，令m3=t 0tg em3所以em3x24x1x2-4，所以lnx1x2-4x1x2+40，令x1x2=n，W n=2lnn-4n+4，显然W n单调递增，且W 1=0，所以x1x21，故正确.故选：D二、多选题二、多选题114(2023湖南永州二模)已知alna=blnb=2.86，clnc=dlnd=

46、-0.35，ab，cd，则有()A.a+b2eC.ad1【答案】BCD【分析】令 f x=xlnxx1，g x=xlnx，求导可求得 f x,g x的单调性，利用极值点偏移的求解方法可求得AB正误；由 f1x=-1g x，可确定 f1d f a,f1c1，g x=xlnx，fx=lnx-1ln2x，当x 1,e时，fx0；f x在 1,e上单调递减，在 e,+上单调递增，且 f xmin=f e=e；若 f a=f b=2.86，则1aeb，令F x=f x-f 2e-x，1xe则Fx=lnx-1ln2x+ln 2e-x-1ln22e-x=lnxln22e-x+ln2xln 2e-x-ln2x

47、-ln22e-xln2xln22e-x=lnxln 2e-xln 2e-x+lnx-ln2x-ln22e-xln2xln22e-x=lnxln 2e-xln-x2+2ex-ln2x-ln22e-xln2xln22e-x，当x 1,e时，-x2+2exe2，lnxln 2e-xln-x2+2ex-ln2x-ln22e-x2lnxln 2e-x-ln2x-ln22e-x=-lnx-ln 2e-x2，FxF e=0，即 f x f 2e-x，又1a f 2e-a，f a=f b，f b f 2e-a，be，2e-ae，f x在 e,+上单调递增，b2e-a，即a+b2e，A错误；gx=lnx+1，当

48、x 0,1e时，gx0；g x在 0,1e上单调递减，在1e,+上单调递增，且g xmin=g1e=-1e；由clnc=dlnd=-0.35得：0c1ed1；设G x=g x-g2e-x，0 x1e，则Gx=lnx+1+ln2e-x+1=ln2ex-x2+2；当0 x1e时，-x2+2ex 0,1e2，GxG1e=0，即g xg2e-x，又0cg2e-c，又g c=g d，g dg2e-c，d1e，2e-c1e，g x在1e,+上单调递增，12d2e-c，即c+d2e，B正确；1aeb，0c1ed1，f1x=1xln1x=-1xlnx=-1g x，f1d=-1g d=10.352.8572.8

49、6=f a，又11de，1aa，则ad1，C正确；f1c=-1g c2.857e，be，f x在 e,+上单调递增，1c1，D正确.故选：BCD.【点睛】方法点睛：本题考查了导数中的极值点偏移问题，处理极值点偏移问题中的类似于 x1+x2a f x1=f x2的问题的基本步骤如下：求导确定 f x的单调性，得到x1,x2的范围；构造函数F x=f x-f a-x，求导后可得F x恒正或恒负；得到 f x1与 f a-x1的大小关系后，将 f x1置换为 f x2；根据x2与a-x1所处的范围，结合 f x的单调性，可得到x2与a-x1的大小关系，由此证得结论.5(2023湖北襄阳模拟预测)已知

50、关于x的方程xex-a=0有两个不等的实根x1,x2，且x1x2，则下列说法正确的有()A.-e-1a0B.x1+x2aD.x1+ex10【答案】ABD【分析】由已知y=a与y=xex有两个不同的交点，利用导数研究函数 f(x)=xex性质，结合图象确定a的范围，判断A，要证明x1+x2-2只需证明x2-2-x1，结合函数 f(x)单调性只需证明 f x1 f-2-x1，故构建函数F(x)=f x-f-2-x，利用导数证明结论，判断B，利用比差法比较x2,a，判断C，利用x1的范围，结合指数函数性质证明x1+ex10，判断D.【详解】方程xex-a=0，可化为xex=a，因为方程xex-a=0