数学 第二章 圆锥曲线与方程 2.1.1 椭圆及其标准方程4 新人教A版选修1-1 .ppt

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1、第二章圆锥曲线与方程 2.1椭圆2.1.1椭圆及其标准方程 【自主自主预习】1.1.椭圆的定义椭圆的定义(1)(1)定义定义:平面内与两个定点平面内与两个定点F F1 1,F,F2 2的的距离之和等于距离之和等于_(大于大于|F|F1 1F F2 2|)|)的点的轨迹的点的轨迹.(2)(2)焦点焦点:两个定点两个定点F F1 1,F,F2 2.常数常数(3)(3)焦距焦距:两焦点间的距离两焦点间的距离|F|F1 1F F2 2|.|.(4)(4)几何表示几何表示:|MF:|MF1 1|+|MF|+|MF2 2|=_(|=_(常数常数)且且2a_|F2a_|F1 1F F2 2|.|.2a2a

2、2.2.椭圆的标准方程椭圆的标准方程焦点在焦点在x x轴上轴上焦点在焦点在y y轴上轴上标准方程标准方程_图形图形焦点在焦点在x x轴上轴上焦点在焦点在y y轴上轴上焦点坐标焦点坐标_a,b,ca,b,c的的关系关系_(-c,0),(c,0)(-c,0),(c,0)(0,-c),(0,c)(0,-c),(0,c)a a2 2=b=b2 2+c+c2 2【即时小测即时小测】1.1.椭圆椭圆 =1=1的左、右焦点分别为的左、右焦点分别为F F1 1,F,F2 2,点点P P在椭在椭圆上圆上,若若|PF|PF1 1|=4,|=4,则则|PF|PF2 2|=_.|=_.【解析解析】由椭圆的定义知由椭圆

3、的定义知|PF|PF1 1|+|PF|+|PF2 2|=6,|=6,所以所以|PF|PF2 2|=6-|PF|=6-|PF1 1|=6-4=2.|=6-4=2.答案答案:2 22.2.椭圆椭圆25x25x2 2+16y+16y2 2=400=400的焦点坐标为的焦点坐标为_,_,焦距为焦距为_._.【解析解析】把方程化为标准形式为把方程化为标准形式为 =1,=1,可知焦点可知焦点在在y y轴上轴上,则则a a2 2=25,b=25,b2 2=16,=16,所以所以c c2 2=25-16=9,=25-16=9,则则c=3,c=3,所以焦点为所以焦点为(0,(0,3),3),焦距为焦距为2c=6

4、.2c=6.答案答案:(0,(0,3)3)6 6 【知识探究知识探究】探究点探究点1 1椭圆的定义椭圆的定义1.1.平面内动点平面内动点M M到两定点到两定点F F1 1,F,F2 2的距离之和等于常数的距离之和等于常数(2a)(2a)且且2a|F2a|F1 1F F2 2|,|,若若2a=|F2a=|F1 1F F2 2|,|,则则M M的轨迹是什么的轨迹是什么?若若2a2a|F|F1 1F F2 2|,|,则则M M的轨迹是什么的轨迹是什么?提示提示:当当2a=|F2a=|F1 1F F2 2|时时,点点M M的轨迹是线段的轨迹是线段F F1 1F F2 2;当当2a|F2abcabc一定

5、成立吗一定成立吗?提示提示:不一定不一定,只要只要aab,ab,acc即可即可,b,cb,c大小关系不定大小关系不定.2.2.根据椭圆方程根据椭圆方程,如何确定焦点位置如何确定焦点位置?提示提示:把方程化为标准形式把方程化为标准形式,x,x2 2,y,y2 2的分母哪个大的分母哪个大,焦点就焦点就在相应的轴上在相应的轴上.【归纳总结归纳总结】对椭圆标准方程的两点认识对椭圆标准方程的两点认识(1)(1)标准方程的几何特征标准方程的几何特征:椭圆的中心在坐标原点椭圆的中心在坐标原点,焦点焦点在在x x轴或轴或y y轴上轴上.(2)(2)标准方程的代数特征标准方程的代数特征:方程右边为方程右边为1,

6、1,左边是关于左边是关于 与与 的平方和的平方和,并且分母为不相等的正值并且分母为不相等的正值.特别提醒特别提醒:焦点所在坐标轴不同焦点所在坐标轴不同,其标准方程的形式也其标准方程的形式也不同不同.类型一类型一求椭圆的标准方程求椭圆的标准方程【典例典例】1.(20161.(2016武汉高二检测武汉高二检测)过点过点(-3,2)(-3,2)且与且与 =1=1有相同焦点的椭圆的方程是有相同焦点的椭圆的方程是()2.2.根据下列条件根据下列条件,求椭圆的标准方程求椭圆的标准方程.(1)(1)两个焦点坐标分别是两个焦点坐标分别是(0,5),(0,-5),(0,5),(0,-5),椭圆上一点椭圆上一点P

7、 P到到两焦点的距离和为两焦点的距离和为26.26.(2)(2)经过点经过点 两焦点间的距离为两焦点间的距离为2,2,焦点在焦点在x x轴上轴上.【解题探究解题探究】1.1.典例典例1 1中已知椭圆的焦点在哪个轴上中已知椭圆的焦点在哪个轴上?提示提示:椭圆的焦点在椭圆的焦点在x x轴上轴上,因为已知方程中因为已知方程中x x2 2项的分母项的分母较大较大.2.2.典例典例2(1)2(1)中焦点在中焦点在y y轴上的椭圆标准方程是怎样的轴上的椭圆标准方程是怎样的?典例典例2(2)2(2)中焦点在中焦点在x x轴上的椭圆标准方程是怎样的轴上的椭圆标准方程是怎样的?提示提示:(1)=1(ab0).(

8、1)=1(ab0).(2)=1(ab0).(2)=1(ab0).【解析解析】1.1.选选A.A.由方程由方程 =1=1可知可知,其焦点的坐标其焦点的坐标为为(,0),0),即即c=.c=.设所求椭圆方程为设所求椭圆方程为 =1(ab0),=1(ab0),因为过点因为过点(-(-3,2),3,2),代入方程得代入方程得 =1(ab0),=1(ab0),解得解得a a2 2=15(a=15(a2 2=3=3舍去舍去).).故方程为故方程为 =1.=1.2.(1)2.(1)因为椭圆的焦点在因为椭圆的焦点在y y轴上轴上,所以设它的标准方程为所以设它的标准方程为 =1(ab0).=1(ab0).因为因

9、为2a=26,2a=26,所以所以a=13,a=13,又又c=5.c=5.所以所以b b2 2=a=a2 2-c-c2 2=144.=144.所以所求椭圆方程为所以所求椭圆方程为 =1.=1.(2)(2)设椭圆的标准方程为设椭圆的标准方程为 =1(ab0),=1(ab0),因为焦点在因为焦点在x x轴上轴上,2c=2,2c=2,所以所以a a2 2=b=b2 2+1,+1,又椭圆经过点又椭圆经过点 所以所以 =1,=1,解得解得b b2 2=3,=3,所以所以a a2 2=4.=4.所以椭圆的标准方程为所以椭圆的标准方程为 =1.=1.【延伸探究延伸探究】将典例将典例2(1)2(1)改为两个焦

10、点坐标分别是改为两个焦点坐标分别是(5,0),(5,0),(-5,0),(-5,0),其他条件不变其他条件不变,求椭圆的标准方程求椭圆的标准方程.【解析解析】因为椭圆的焦点在因为椭圆的焦点在x x轴上轴上,所以设它的标准方所以设它的标准方程为程为 =1(ab0),=1(ab0),因为因为2a=26,2a=26,所以所以a=13,a=13,又又c=5.c=5.所以所以b b2 2=a=a2 2-c-c2 2=144.=144.所以所求椭圆方程为所以所求椭圆方程为 =1.=1.【方法技巧方法技巧】求椭圆标准方程的方法求椭圆标准方程的方法利用待定系数法求椭圆的标准方程利用待定系数法求椭圆的标准方程:

11、(1)(1)先确定焦点位置先确定焦点位置.(2).(2)设出方程设出方程.(3).(3)寻求寻求a,b,ca,b,c的等的等量关系量关系.(4).(4)求求a,ba,b的值的值,代入所设方程代入所设方程.特别提醒特别提醒:若椭圆的焦点位置不确定若椭圆的焦点位置不确定,需要分焦点在需要分焦点在x x轴轴上和在上和在y y轴上两种情况讨论轴上两种情况讨论,也可设椭圆方程为也可设椭圆方程为mxmx2 2+ny+ny2 2=1(mn,m0,n0).=1(mn,m0,n0).【变式训练变式训练】求适合下列条件的椭圆的标准方程求适合下列条件的椭圆的标准方程.(1)(1)焦点在焦点在x x轴上轴上,且且a=

12、4,c=2.a=4,c=2.(2)(2)经过点经过点A(0,2)A(0,2)和和 【解析解析】(1)a(1)a2 2=16,c=16,c2 2=4,=4,所以所以b b2 2=16-4=12,=16-4=12,且焦点在且焦点在x x轴上轴上,故椭圆的标准方程为故椭圆的标准方程为 =1.=1.(2)(2)设所求椭圆的标准方程为设所求椭圆的标准方程为MxMx2 2+Ny+Ny2 2=1(M0,N0,MN).=1(M0,N0,MN).因为椭圆经过因为椭圆经过A(0,2)A(0,2)和和 两点两点,所以所以 解得解得 所以所求椭圆方程为所以所求椭圆方程为x x2 2+=1.+=1.类型二类型二椭圆的定

13、义及应用椭圆的定义及应用【典例典例】(2016(2016潍坊高二检测潍坊高二检测)设设P P是椭圆是椭圆 =1=1上一点上一点,F,F1 1,F,F2 2是椭圆的焦点是椭圆的焦点,若若F F1 1PFPF2 2=60=60,求求F F1 1PFPF2 2的面积的面积.【解题探究解题探究】(1)(1)你能写出你能写出|PF|PF1 1|+|PF|+|PF2 2|与与|F|F1 1F F2 2|的大小的大小吗吗?提示提示:(1)(1)根据椭圆的定义即可写出根据椭圆的定义即可写出.(2)(2)在在F F1 1PFPF2 2中中,怎样得到怎样得到|F|F1 1F F2 2|,|PF|,|PF1 1|,

14、|PF|,|PF2 2|之间的关之间的关系式系式?提示提示:在在F F1 1PFPF2 2中中,利用余弦定理可以得到利用余弦定理可以得到|F|F1 1F F2 2|,|,|PF|PF1 1|,|PF|,|PF2 2|之间的关系式之间的关系式.【解析解析】由椭圆方程知由椭圆方程知,a,a2 2=25,b=25,b2 2=,=,所以所以c c2 2=,=,所以所以c=,2c=5.c=,2c=5.在在PFPF1 1F F2 2中中,|F|F1 1F F2 2|2 2=|PF=|PF1 1|2 2+|PF+|PF2 2|2 2-2|PF-2|PF1 1|PF|PF2 2|cos 60|cos 60,即

15、即25=|PF25=|PF1 1|2 2+|PF+|PF2 2|2 2-|PF-|PF1 1|PF|PF2 2|.|.由椭圆的定义得由椭圆的定义得10=|PF10=|PF1 1|+|PF|+|PF2 2|,|,即即100=|PF100=|PF1 1|2 2+|PF+|PF2 2|2 2+2|PF+2|PF1 1|PF|PF2 2|.|.-,-,得得3|PF3|PF1 1|PF|PF2 2|=75,|=75,所以所以|PF|PF1 1|PF|PF2 2|=25,|=25,所以所以 =|PF=|PF1 1|PF|PF2 2|sin 60sin 60=【延伸探究延伸探究】1.1.将典例中的将典例中的

16、“F F1 1PFPF2 2=60=60”改为改为“F F1 1PFPF2 2=30=30”,其余条件不变其余条件不变,求求F F1 1PFPF2 2的面积的面积.【解析解析】由椭圆方程知由椭圆方程知,a,a2 2=25,b=25,b2 2=,=,所以所以c c2 2=,=,所以所以c=,2c=5.c=,2c=5.在在PFPF1 1F F2 2中中,|F|F1 1F F2 2|2 2=|PF=|PF1 1|2 2+|PF+|PF2 2|2 2-2|PF-2|PF1 1|PF|PF2 2|cos30|cos30,即即25=|PF25=|PF1 1|2 2+|PF+|PF2 2|2 2|PF|PF

17、1 1|PF|PF2 2|.|.由椭圆的定义得由椭圆的定义得10=|PF10=|PF1 1|+|PF|+|PF2 2|,|,即即100=|PF100=|PF1 1|2 2+|PF+|PF2 2|2 2+2|PF+2|PF1 1|PF|PF2 2|.|.-,-,得得(2+)|PF(2+)|PF1 1|PF|PF2 2|=75,|=75,所以所以|PF|PF1 1|PF|PF2 2|=75(2-),|=75(2-),所以所以 =|PF=|PF1 1|PF|PF2 2|sin 30sin 30=(2-).=(2-).2.2.将典例中椭圆的方程改为将典例中椭圆的方程改为“=1=1”,其余条件其余条件不

18、变不变,求求F F1 1PFPF2 2的面积的面积.【解析解析】|PF|PF1 1|+|PF|+|PF2 2|=2a=20,|=2a=20,又又|F|F1 1F F2 2|=2c=12.|=2c=12.由余弦由余弦定理知定理知:(2c):(2c)2 2=|PF=|PF1 1|2 2+|PF+|PF2 2|2 2-2|PF-2|PF1 1|PF|PF2 2|cos cos 6060,即即144=(|PF144=(|PF1 1|+|PF|+|PF2 2|)|)2 2-3|PF-3|PF1 1|PF|PF2 2|.|.所以所以|PF|PF1 1|PF|PF2 2|=,|=,所以所以 =|PF=|PF

19、1 1|PF|PF2 2|sin 60sin 60=.=.【方法技巧方法技巧】椭圆定义的应用技巧椭圆定义的应用技巧(1)(1)椭圆的定义具有双向作用椭圆的定义具有双向作用,即若即若|MF|MF1 1|+|MF|+|MF2 2|=2a(2a|F|=2a(2a|F1 1F F2 2|),|),则点则点M M的轨迹是椭圆的轨迹是椭圆;反之反之,椭圆上任意一点椭圆上任意一点M M到两焦点的距离之和必为到两焦点的距离之和必为2a.2a.(2)(2)涉及曲线上的点到焦点的距离问题时涉及曲线上的点到焦点的距离问题时,应先考虑是应先考虑是否能够利用椭圆的定义求解否能够利用椭圆的定义求解.【拓展延伸拓展延伸】椭

20、圆中的焦点三角形椭圆中的焦点三角形椭圆上一点椭圆上一点P P与椭圆的两个焦点与椭圆的两个焦点F F1 1,F,F2 2构成的构成的PFPF1 1F F2 2,称称为焦点三角形为焦点三角形.解关于椭圆的焦点三角形的问题解关于椭圆的焦点三角形的问题,通常通常要利用椭圆的定义要利用椭圆的定义,结合正弦定理、余弦定理等知识求结合正弦定理、余弦定理等知识求解解.【补偿训练补偿训练】如图所示如图所示,已知椭圆的方程为已知椭圆的方程为 =1,=1,若点若点P P是椭圆上第二象限内的点是椭圆上第二象限内的点,且且PFPF1 1F F2 2=120=120,求求PFPF1 1F F2 2的面积的面积.【解题指南

21、解题指南】由椭圆定义和余弦定理可求得三角形边由椭圆定义和余弦定理可求得三角形边长长.【解析解析】由已知由已知a=2,b=,a=2,b=,所以所以c=1,c=1,|F|F1 1F F2 2|=2c=2,|=2c=2,在在PFPF1 1F F2 2中中,由余弦定理由余弦定理,得得|PF|PF2 2|2 2=|PF=|PF1 1|2 2+|F+|F1 1F F2 2|2 2-2|PF2|PF1 1|F|F1 1F F2 2|cos 120cos 120,即即|PF|PF2 2|2 2=|PF=|PF1 1|2 2+4+4+2|PF2|PF1 1|.|.由椭圆定义由椭圆定义,得得|PF|PF1 1|+

22、|PF|+|PF2 2|=4,|=4,即即|PF|PF2 2|=4-|PF|=4-|PF1 1|.|.将将代入代入解得解得|PF|PF1 1|=.|=.所以所以 即即PFPF1 1F F2 2的面积是的面积是 类型三类型三与椭圆有关的轨迹问题与椭圆有关的轨迹问题【典例典例】1.(20161.(2016合肥高二检测合肥高二检测)已知点已知点M M在椭圆在椭圆 =1=1上上,MP,MP垂直于椭圆焦点所在的直线垂直于椭圆焦点所在的直线,垂足为垂足为P,P,并且并且M M为线段为线段PPPP的中点的中点,则则P P点的轨迹方程为点的轨迹方程为_._.2.2.一动圆与已知圆一动圆与已知圆O O1 1:(

23、x+3):(x+3)2 2+y+y2 2=1=1外切外切,与圆与圆O O2 2:(x-3):(x-3)2 2+y+y2 2=81=81内切内切,试求动圆圆心的轨迹方程试求动圆圆心的轨迹方程.【解题探究解题探究】1.1.典例典例1 1中动点中动点P P与哪个动点有关与哪个动点有关?本题可本题可采用什么方法求动点采用什么方法求动点P P的轨迹方程的轨迹方程?提示提示:动点动点P P与点与点M M有关有关.因为点因为点M M在已知椭圆上运动在已知椭圆上运动,所所以本题可采用代入法求动点以本题可采用代入法求动点P P的轨迹方程的轨迹方程.2.2.典例典例2 2中两圆内切时能得到什么条件中两圆内切时能得

24、到什么条件?提示提示:两圆内切时两圆内切时,两圆的圆心距等于两圆的半径之差两圆的圆心距等于两圆的半径之差.【解析解析】1.1.设点设点P P的坐标为的坐标为(x,y),Mx,y),M点的坐标为点的坐标为(x(x0 0,y,y0 0),),因为点因为点M M在椭圆在椭圆 =1=1上上,所以所以 =1.=1.因为因为M M是线段是线段PPPP的中点的中点,所以所以 把把 代入代入 =1,=1,得得 =1,=1,即即x x2 2+y+y2 2=36.=36.所以点所以点P P的轨迹方程为的轨迹方程为x x2 2+y+y2 2=36.=36.答案答案:x x2 2+y+y2 2=36=362.2.两定

25、圆的圆心和半径分别为两定圆的圆心和半径分别为O O1 1(-3,0),r(-3,0),r1 1=1;O=1;O2 2(3,0),(3,0),r r2 2=9.=9.设动圆圆心为设动圆圆心为M(x,yM(x,y),),半径为半径为R,R,则由题设条件可则由题设条件可得得|MO|MO1 1|=1+R,|MO|=1+R,|MO2 2|=9-R,|=9-R,所以所以|MO|MO1 1|+|MO|+|MO2 2|=10.|=10.而而|O|O1 1O O2 2|=610,|=6|AB|,|PA|+|PB|AB|,所以圆心所以圆心P P的轨迹是以的轨迹是以A,BA,B为焦点的椭圆为焦点的椭圆.所以所以2a

26、=10,2c=|AB|=6.2a=10,2c=|AB|=6.所以所以a=5,c=3.a=5,c=3.所以所以b b2 2=a=a2 2-c-c2 2=25-9=16.=25-9=16.所以圆心所以圆心P P的轨迹方程为的轨迹方程为 =1.=1.【补偿训练补偿训练】已知两定点已知两定点F F1 1(-1,0),F(-1,0),F2 2(1,0),(1,0),且且|F|F1 1F F2 2|是是|PF|PF1 1|与与|PF|PF2 2|的等差中项的等差中项,求动点求动点P P的轨迹方程的轨迹方程.【解析解析】因为因为|F|F1 1F F2 2|是是|PF|PF1 1|和和|PF|PF2 2|的等

27、差中项的等差中项,所以所以|PF|PF1 1|+|PF|+|PF2 2|=2|F|=2|F1 1F F2 2|=2|=22=4|F2=4|F1 1F F2 2|.|.所以所以P P的轨迹应是以的轨迹应是以F F1 1,F,F2 2为焦点的椭圆为焦点的椭圆.这里这里c=1,a=2.c=1,a=2.所以所以b b2 2=3.=3.所以轨迹方程为所以轨迹方程为 =1.=1.自我纠错自我纠错椭圆方程的应用椭圆方程的应用【典例典例】若方程若方程 =1=1表示椭圆表示椭圆,则则m m满足的条满足的条件是件是_.【失误案例失误案例】分析解题过程分析解题过程,找出错误之处找出错误之处,并写出正确答案并写出正确答案.提示提示:错误的根本原因是忽视了在椭圆方程中错误的根本原因是忽视了在椭圆方程中abab这一这一条件条件,当当a=ba=b时时,方程表示圆方程表示圆.正确解答过程如下正确解答过程如下:【解析解析】由方程由方程 =1=1表示椭圆表示椭圆,知知 解得解得m m 且且m1.m1.答案答案: