第二章 直线与平面的相对位置 两平面的相对位置.ppt

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1、 第第 2 2 章章 几何元素的相对位置几何元素的相对位置 3.1 平行问题平行问题 2.1 平行问题平行问题 2.2 相交问题相交问题 2.3 垂直问题垂直问题 2.4 综合问题举例综合问题举例1一、直线与平面平行一、直线与平面平行二、平面与平面平行二、平面与平面平行2.1 2.1 平平行问题行问题2.2 2.2 相交问题相交问题2.3 2.3 垂直问题垂直问题2.4 2.4 综合举例综合举例2.1 平平行问题行问题一、直线与平面平行一、直线与平面平行PCDBA若平面外的一条直线与平面内的一条直线平行，若平面外的一条直线与平面内的一条直线平行，则该直线与该平面平行。则该直线与该平面平行。2例

2、例2-1 试判断直线试判断直线AB是否平行于平面是否平行于平面 CDE。gfbabcdedc结论：直线结论：直线AB AB 不平行于定平面不平行于定平面一、直线与平面平行一、直线与平面平行XOfgae一、直线与平面平行一、直线与平面平行二、平面与平面平行二、平面与平面平行2.1 2.1 平平行问题行问题2.2 2.2 相交问题相交问题2.3 2.3 垂直问题垂直问题2.4 2.4 综合举例综合举例分析：如果在平面内能作一条直线平行于直线分析：如果在平面内能作一条直线平行于直线ABAB，则则ABAB平行于定平面。平行于定平面。3例例2-2 过点过点K作一水平线作一水平线AB平行于已知平面平行于已

3、知平面 CDE。b a f fabc e d edk kcXO一、直线与平面平行一、直线与平面平行2.1 2.1 平平行问题行问题2.2 2.2 相交问题相交问题2.3 2.3 垂直问题垂直问题2.4 2.4 综合举例综合举例一、直线与平面平行一、直线与平面平行二、平面与平面平行二、平面与平面平行分析：分析：AB应平行于平面应平行于平面 CDE内的水平线，因此，先在平面内的水平线，因此，先在平面内作一水平线，然后过点内作一水平线，然后过点K作该水平线的平行线作该水平线的平行线。4若平面内的两相交直线对应地平行于另一平面若平面内的两相交直线对应地平行于另一平面 内的两相交直线，则这两个平面平行。

4、内的两相交直线，则这两个平面平行。PSEFDACB二、平面与平面平行二、平面与平面平行2.1 平平行问题行问题2.1 2.1 平平行问题行问题2.2 2.2 相交问题相交问题2.3 2.3 垂直问题垂直问题2.4 2.4 综合举例综合举例一、直线与平面平行一、直线与平面平行二、平面与平面平行二、平面与平面平行5m n nr rss O例例2-3 2-3 试判断两平面是否平行试判断两平面是否平行f d c c结论：结论：Xa abb fee md两平面平行两平面平行二二、平面与平面平行、平面与平面平行2.1 2.1 平平行问题行问题2.2 2.2 相交问题相交问题2.3 2.3 垂直问题垂直问题

5、2.4 2.4 综合举例综合举例一、直线与平面平行一、直线与平面平行二、平面与平面平行二、平面与平面平行6例例2-4 已知定平面由平行两直线已知定平面由平行两直线AB和和CD给定。试过给定。试过 点点K作一平面平行于已知平面作一平面平行于已知平面。em n f e fsr s rd dc a acb bk kXOmn二二、平面与平面平行、平面与平面平行2.1 2.1 平平行问题行问题2.2 2.2 相交问题相交问题2.3 2.3 垂直问题垂直问题2.4 2.4 综合举例综合举例一、直线与平面平行一、直线与平面平行二、平面与平面平行二、平面与平面平行7例例2-5 2-5 试判断两平面是否平行试判

6、断两平面是否平行ef e fsr s d dc a acb brPHSHXO二二、平面与平面平行、平面与平面平行2.1 2.1 平平行问题行问题2.2 2.2 相交问题相交问题2.3 2.3 垂直问题垂直问题2.4 2.4 综合举例综合举例一、直线与平面平行一、直线与平面平行二、平面与平面平行二、平面与平面平行分析：两平面均为铅垂面，且水平迹线平行，分析：两平面均为铅垂面，且水平迹线平行，因此，两平面平行。因此，两平面平行。8一、交点与交线性质一、交点与交线性质二、积聚性法二、积聚性法三、辅助平面法三、辅助平面法2.1 2.1 平平行问题行问题2.2 2.2 相交问题相交问题2.3 2.3 垂

7、直问题垂直问题2.4 2.4 综合举例综合举例2.2 相交问题相交问题PABKDBCALKEF一、交点与交线的性质一、交点与交线的性质直线与平面相交的交点是直线与平面的共有点。直线与平面相交的交点是直线与平面的共有点。两平面的两平面的交线交线是直线，即两个平面的共有线。是直线，即两个平面的共有线。求交点、交线的实质是求共有点、共有线的投影。求交点、交线的实质是求共有点、共有线的投影。9当直线为一般当直线为一般位置，平面的某位置，平面的某个投影有积聚性个投影有积聚性时，交点的投影时，交点的投影为直线与平面积为直线与平面积聚性投影的交点，聚性投影的交点，另一投影可在直另一投影可在直线的另一个投影线

8、的另一个投影上找到。上找到。VHPHPABCacbkNKMmn2.2 相交问题相交问题二、积聚性法二、积聚性法1.求交点求交点空间分析：空间分析：一、交点与交线性质一、交点与交线性质二、积聚性法二、积聚性法三、辅助平面法三、辅助平面法2.1 2.1 平平行问题行问题2.2 2.2 相交问题相交问题2.3 2.3 垂直问题垂直问题2.4 2.4 综合举例综合举例10例例2-6 求一般位置直线与投影面垂直面的交点，求一般位置直线与投影面垂直面的交点，并判断其判别可见性。并判断其判别可见性。b bacc m mn k n 特殊位置线面相交，根据平面特殊位置线面相交，根据平面的积聚性投影能直接判别直线

9、的积聚性投影能直接判别直线的可见性的可见性-观察法观察法 k在平面之前a 二、积聚性法（求交点）二、积聚性法（求交点）一、交点与交线性质一、交点与交线性质二、积聚性法二、积聚性法三、辅助平面法三、辅助平面法2.1 2.1 平平行问题行问题2.2 2.2 相交问题相交问题2.3 2.3 垂直问题垂直问题2.4 2.4 综合举例综合举例11XOa a(b)b c e d cefdf kk例例2-7 求铅垂线求铅垂线AB与一般位置平面与一般位置平面CDE的交点，的交点，并判别可见性。并判别可见性。二、积聚性法（求交点）二、积聚性法（求交点）2.1 2.1 平平行问题行问题2.2 2.2 相交问题相交

10、问题2.3 2.3 垂直问题垂直问题2.4 2.4 综合举例综合举例一、交点与交线性质一、交点与交线性质二、积聚性法二、积聚性法三、辅助平面法三、辅助平面法总总 目目 录录122.2.求交线求交线f k 求两平面交线实质是求两直线与平面的交点求两平面交线实质是求两直线与平面的交点,由于由于 平面的某个投影有积聚性，交线可直接求出。平面的某个投影有积聚性，交线可直接求出。nlmm l n bacc a b XOfkVHMmnlBCackfFKNL二、积聚性法（求交线）二、积聚性法（求交线）2.1 2.1 平平行问题行问题2.2 2.2 相交问题相交问题2.3 2.3 垂直问题垂直问题2.4 2.

11、4 综合举例综合举例一、交点与交线性质一、交点与交线性质二、积聚性法二、积聚性法三、辅助平面法三、辅助平面法13平面可见性的判别平面可见性的判别bbacnlmcmalnfkfkXO2.1 2.1 平平行问题行问题2.2 2.2 相交问题相交问题二、积聚性法（求交线）二、积聚性法（求交线）2.3 2.3 垂直问题垂直问题2.4 2.4 综合举例综合举例一、交点与交线性质一、交点与交线性质二、积聚性法二、积聚性法三、辅助平面法三、辅助平面法在平面之前 一特殊位置面和一一特殊位置面和一般位置面相交，根据般位置面相交，根据积聚性平面的投影能积聚性平面的投影能直接判别另一平面的直接判别另一平面的可见性可

12、见性-观察法观察法 14三、辅助平面法三、辅助平面法DECKBAK1PK2AXOa b bacd e edc 121 2 k k作题步骤：作题步骤：1.过过AB作铅垂平面作铅垂平面P。2.求求P平面与平面与CDE的交线的交线。3.求交线求交线与与AB的交点的交点K。2.1 2.1 平平行问题行问题2.2 2.2 相交问题相交问题求一般位置直线与一般位置平面的交点求一般位置直线与一般位置平面的交点2.3 2.3 垂直问题垂直问题2.4 2.4 综合举例综合举例一、交点与交线性质一、交点与交线性质二、积聚性法二、积聚性法三、辅助平面法三、辅助平面法PH15Xa b bace edc 12 1 k

13、kd 2344 3 2.1 2.1 平平行问题行问题2.2 2.2 相交问题相交问题判断可见性：判断可见性：三、辅助平面法三、辅助平面法第第1 1步：在步：在V V面投影上任选一重影点，判断面投影上任选一重影点，判断V V面投影的可见性面投影的可见性第第2 2步：在步：在H H面投影上任选一重影点，判断面投影上任选一重影点，判断H H面投影的可见性面投影的可见性2.3 2.3 垂直问题垂直问题2.4 2.4 综合举例综合举例一、交点与交线性质一、交点与交线性质二、积聚性法二、积聚性法三、辅助平面法三、辅助平面法16利用求一般位置线面交点的方法找出交线上的两利用求一般位置线面交点的方法找出交线上

14、的两个点，将其连线即为两平面的交线。个点，将其连线即为两平面的交线。FBCALKED两一般位置平面相交求交线的方法两一般位置平面相交求交线的方法2.1 2.1 平平行问题行问题2.2 2.2 相交问题相交问题三、辅助平面法三、辅助平面法下一页下一页下一页下一页 作图求交线作图求交线作图求交线作图求交线2.3 2.3 垂直问题垂直问题2.4 2.4 综合举例综合举例一、交点与交线性质一、交点与交线性质二、积聚性法二、积聚性法三、辅助平面法三、辅助平面法17 1、用直线与平面求交点的方法求出两平面的两个共有点K、L。baccbadd eff e PVQV1k kl 2、连接两个共有点，画出交线KL

15、。XO作题步骤：作题步骤：1 2 233 4 4l2.1 2.1 平平行问题行问题2.2 2.2 相交问题相交问题三、辅助平面法三、辅助平面法上一页上一页上一页上一页 空间分析空间分析空间分析空间分析下一页下一页下一页下一页 判断可见性判断可见性判断可见性判断可见性2.3 2.3 垂直问题垂直问题2.4 2.4 综合举例综合举例一、交点与交线性质一、交点与交线性质二、积聚性法二、积聚性法三、辅助平面法三、辅助平面法18利用重影点判别可见性两平面相交，判别可见性baccbadd eff e 1XO1 2 23 4 3 42.1 2.1 平平行问题行问题2.2 2.2 相交问题相交问题三、辅助平面

16、法三、辅助平面法2.3 2.3 垂直问题垂直问题2.4 2.4 综合举例综合举例一、交点与交线性质一、交点与交线性质二、积聚性法二、积聚性法三、辅助平面法三、辅助平面法19例例2-8 试过试过K点作一直线平行于已知平面点作一直线平行于已知平面ABC，并与直线并与直线EF相交相交。ac ba cb f e efk kXO下一页下一页下一页下一页 空间分析空间分析空间分析空间分析PVmm 2.1 2.1 平平行问题行问题2.2 2.2 相交问题相交问题三、辅助平面法三、辅助平面法2.3 2.3 垂直问题垂直问题2.4 2.4 综合举例综合举例一、交点与交线性质一、交点与交线性质二、积聚性法二、积聚

17、性法三、辅助平面法三、辅助平面法20FP例2-8 空间分析：CABEKM 过已知点过已知点K K 作平面作平面P P平行平行于于 ABC ABC；直线；直线EF EF 与平面与平面P P交于交于H H；连接；连接KH KH，KH KH 即为所求。即为所求。返回原题目解题返回原题目解题返回原题目解题返回原题目解题2.1 2.1 平平行问题行问题2.2 2.2 相交问题相交问题三、辅助平面法三、辅助平面法2.3 2.3 垂直问题垂直问题2.4 2.4 综合举例综合举例一、交点与交线性质一、交点与交线性质二、积聚性法二、积聚性法三、辅助平面法三、辅助平面法21一、直线与平面垂直一、直线与平面垂直2.

18、3 垂直问题垂直问题VPAKLDCBEHaadcbdcbeellXOa 定理定理1：若一直线垂直于一平面、则直线的水平投影必垂若一直线垂直于一平面、则直线的水平投影必垂直于属于该平面的水平线的水平投影；直线的正面投影必直于属于该平面的水平线的水平投影；直线的正面投影必垂直于属于该平面的正平线的正面投影。垂直于属于该平面的正平线的正面投影。2.1 2.1 平平行问题行问题2.2 2.2 相交问题相交问题2.3 2.3 垂直问题垂直问题一、直线与平面垂直一、直线与平面垂直二、两平面垂直二、两平面垂直2.4 2.4 综合举例综合举例22acacnkfdbdbfkn一、直线与平面垂直一、直线与平面垂直

19、例例2-9 过点过点K作直线与平面垂直。作直线与平面垂直。2.1 2.1 平平行问题行问题2.2 2.2 相交问题相交问题2.3 2.3 垂直问题垂直问题一、直线与平面垂直一、直线与平面垂直二、两平面垂直二、两平面垂直2.4 2.4 综合举例综合举例23efemnmncaadbcdbfXO例例2-10:试判断直线试判断直线MN是否垂直于是否垂直于AB、CD确定的平面。确定的平面。一、直线与平面垂直一、直线与平面垂直2.1 2.1 平平行问题行问题2.2 2.2 相交问题相交问题2.3 2.3 垂直问题垂直问题一、直线与平面垂直一、直线与平面垂直二、两平面垂直二、两平面垂直2.4 2.4 综合举

20、例综合举例24二、两平面垂直二、两平面垂直几何条件：几何条件：若一直线垂直于一定平面，则包含这条直线的所有若一直线垂直于一定平面，则包含这条直线的所有 平面都垂直于该平面。平面都垂直于该平面。PAB2.3 垂直问题垂直问题2.1 2.1 平平行问题行问题2.2 2.2 相交问题相交问题2.3 2.3 垂直问题垂直问题一、直线与平面垂直一、直线与平面垂直二、两平面垂直二、两平面垂直2.4 2.4 综合举例综合举例25两平面相互垂直，则由属于第一个平面的任意一点向第二个平面作的垂线必属于第一个平面。AB两平面垂直两平面垂直两平面不垂直两平面不垂直AB二、两平面垂直二、两平面垂直2.1 2.1 平平

21、行问题行问题2.2 2.2 相交问题相交问题2.4 2.4 综合举例综合举例2.3 2.3 垂直问题垂直问题一、直线与平面垂直一、直线与平面垂直二、两平面垂直二、两平面垂直26ghacachkkfdbdbfg例例2-12：试过定点试过定点K作已知平面的垂面。作已知平面的垂面。二、两平面垂直二、两平面垂直2.1 2.1 平平行问题行问题2.2 2.2 相交问题相交问题2.4 2.4 综合举例综合举例2.3 2.3 垂直问题垂直问题一、直线与平面垂直一、直线与平面垂直二、两平面垂直二、两平面垂直27 平行、相交、及垂直等问题侧重于探求每平行、相交、及垂直等问题侧重于探求每一个单个问题的投影特性、作

22、图原理与方法。一个单个问题的投影特性、作图原理与方法。而实际问题是综合性的，涉及多项内容，需要而实际问题是综合性的，涉及多项内容，需要多种作图方法才能解决。多种作图方法才能解决。求解综合问题主要包括：空间几何元素的求解综合问题主要包括：空间几何元素的定定位问题位问题（交点、交线）和空间几何元素的（交点、交线）和空间几何元素的度量度量问题问题（如距离、角度）。（如距离、角度）。综合问题解题的一般步骤：综合问题解题的一般步骤：1.分析题意分析题意 2.明确所求结果，找出解题方法明确所求结果，找出解题方法 3.拟定解题步骤拟定解题步骤 2-4 综合问题分析及解法综合问题分析及解法2.1 2.1 平平

23、行问题行问题2.2 2.2 相交问题相交问题2.4 2.4 综合举例综合举例一、定位问题一、定位问题二、度量问题二、度量问题2.3 2.3 垂直问题垂直问题28例例2-13 已知三条直线已知三条直线CD、EF和和GH，求作一求作一 直线直线AB与与CD平行，并且与平行，并且与EF、GH均相交。均相交。cghefdcefghdXO一、空间几何元素定位问题一、空间几何元素定位问题 下页下页 空间分析空间分析2.1 2.1 平平行问题行问题2.2 2.2 相交问题相交问题2.4 2.4 综合举例综合举例一、定位问题一、定位问题二、度量问题二、度量问题2.3 2.3 垂直问题垂直问题29分析分析所求得

24、直线AB一定在平行于CD的平面上，并且与交叉直线EF、GH相交。ABCDHGEF 下页下页 作图过程作图过程2.1 2.1 平平行问题行问题2.2 2.2 相交问题相交问题2.4 2.4 综合举例综合举例一、定位问题一、定位问题二、度量问题二、度量问题一、空间几何元素定位问题一、空间几何元素定位问题2.3 2.3 垂直问题垂直问题30作图过程作图过程kkcghefdcefghdXOPV11 2 2aabb上页上页 空间分析空间分析2.1 2.1 平平行问题行问题2.2 2.2 相交问题相交问题2.4 2.4 综合举例综合举例一、空间几何元素定位问题一、空间几何元素定位问题2.3 2.3 垂直问

25、题垂直问题一、定位问题一、定位问题二、度量问题二、度量问题31例例2-14 试过试过 A 作直线与已知直线作直线与已知直线 EF 正交。正交。aefafeXO 下页下页 空间分析空间分析2.1 2.1 平平行问题行问题2.2 2.2 相交问题相交问题2.4 2.4 综合举例综合举例一、定位问题一、定位问题二、度量问题二、度量问题一、空间几何元素定位问题一、空间几何元素定位问题2.3 2.3 垂直问题垂直问题32空间分析：空间分析：EQFAK过已知点A作平面与已知直线EF交于点K，连接AK，AK即为所求。下页下页 作图过程作图过程2.1 2.1 平平行问题行问题2.2 2.2 相交问题相交问题2

26、.4 2.4 综合举例综合举例一、定位问题一、定位问题二、度量问题二、度量问题一、空间几何元素定位问题一、空间几何元素定位问题2.3 2.3 垂直问题垂直问题33作图过程：作图过程：1aefafe2 PVkk2.1 2.1 平平行问题行问题2.2 2.2 相交问题相交问题2.4 2.4 综合举例综合举例一、定位问题一、定位问题二、度量问题二、度量问题2.3 2.3 垂直问题垂直问题21 34例例2-15 求点求点C 到直线到直线AB的距离。的距离。cabcabXO 下页下页 空间分析空间分析2.1 2.1 平平行问题行问题2.2 2.2 相交问题相交问题2.4 2.4 综合举例综合举例一、定位

27、问题一、定位问题二、度量问题二、度量问题2.3 2.3 垂直问题垂直问题35空间分析：空间分析：PABCK过C点作直线AB的垂线CK一定在过C点并且与AB垂直的平面P内，过C点作一平面与直线AB垂直，求出该平面与AB的交点K，最后求出垂线CK的实长即为所求。下页下页 作图过程作图过程2.1 2.1 平平行问题行问题2.2 2.2 相交问题相交问题2.4 2.4 综合举例综合举例一、定位问题一、定位问题二、度量问题二、度量问题一、空间几何元素定位问题一、空间几何元素定位问题2.3 2.3 垂直问题垂直问题36作图过程：作图过程：cabcabXOeded1212kk距离距离上页上页 空间分析空间分

28、析2.1 2.1 平平行问题行问题2.2 2.2 相交问题相交问题2.3 2.3 垂直问题垂直问题2.4 2.4 综合举例综合举例一、定位问题一、定位问题二、度量问题二、度量问题37例例2-16 求交叉直线求交叉直线AB和和CD的公垂线。的公垂线。ccababXOdd二、空间几何元素度量问题二、空间几何元素度量问题 下页下页 空间分析空间分析2.1 2.1 平平行问题行问题2.2 2.2 相交问题相交问题2.3 2.3 垂直问题垂直问题2.4 2.4 综合举例综合举例一、定位问题一、定位问题二、度量问题二、度量问题38空间分析：空间分析：LKABDCGHEFP 过一条直线CD作平面P平行于另一

29、条直线AB，在过点A作平面P的垂线AH，求出垂足点E；在平面P上过点E作直线EFAB与直线CD交于点K；过点K作直线KL AH交AB于L点，KL即为所求的公垂线。下页下页 作图过程作图过程2.1 2.1 平平行问题行问题2.2 2.2 相交问题相交问题2.3 2.3 垂直问题垂直问题2.4 2.4 综合举例综合举例一、定位问题一、定位问题二、度量问题二、度量问题39作图过程ccababXOddgg1122hh3434eef kklfl上页上页 空间分析空间分析2.1 2.1 平平行问题行问题2.2 2.2 相交问题相交问题2.3 2.3 垂直问题垂直问题2.4 2.4 综合举例综合举例一、定位问题一、定位问题二、度量问题二、度量问题40本章结束2.1 2.1 平平行问题行问题2.2 2.2 相交问题相交问题2.3 2.3 垂直问题垂直问题2.4 2.4 综合举例综合举例41