数学 第二章 圆锥曲线与方程 2.1.1 椭圆及其标准方程3 新人教A版选修1-1 .ppt

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1、第二章圆锥曲线与方程2.1椭圆2.1.1椭圆及其标准方程【阅读教材阅读教材】根据下面的知识结构图阅读教材，并识记椭圆的定义和标准方程，根据下面的知识结构图阅读教材，并识记椭圆的定义和标准方程，会求椭圆的标准方程会求椭圆的标准方程【知识链接知识链接】1.1.圆的定义及方程：平面内到定点的距离等于定长的点的轨迹叫做圆，圆的定义及方程：平面内到定点的距离等于定长的点的轨迹叫做圆，方程有标准式和一般式方程有标准式和一般式2.2.待定系数法求曲线方程：已知曲线类型时，先设出曲线方程，再利待定系数法求曲线方程：已知曲线类型时，先设出曲线方程，再利用条件确定方程的系数，从而得到曲线方程，如已知圆上三点，求圆

2、用条件确定方程的系数，从而得到曲线方程，如已知圆上三点，求圆的方程的方程主主题题一：一：椭圆椭圆的定的定义义【自主自主认认知知】1.1.将一条将一条细绳细绳的两端用的两端用图钉图钉分分别别固定在平面内的两个定点固定在平面内的两个定点F F1 1，F F2 2上，上，用笔尖将用笔尖将细绳细绳拉拉紧紧并运并运动动，在，在纸纸上能得到怎上能得到怎样样的的图图形？形？提示：提示：得到一个椭圆得到一个椭圆.2.2.如果如果调调整整细绳细绳两端点两端点F F1 1，F F2 2的相的相对对位置，位置，细绳细绳的的长长度不度不变变，猜想，猜想椭椭圆圆会会发发生怎生怎样样的的变变化？化？提示：提示：当细绳两端

3、点逐步靠近时，所画的椭圆越接近圆，当细绳两端当细绳两端点逐步靠近时，所画的椭圆越接近圆，当细绳两端点逐步远离时，所画的椭圆越扁平点逐步远离时，所画的椭圆越扁平.3.3.绳长绳长能小于两能小于两图钉图钉之之间间的距离的距离吗吗？提示：提示：不能不能.否则无法画图否则无法画图.根据以上探究根据以上探究过过程，程，试试着写出着写出椭圆椭圆的定的定义义：平面内与平面内与_叫做叫做椭圆椭圆，这这两个定点叫做两个定点叫做椭圆椭圆的的_，两点，两点间间的距离叫做的距离叫做椭圆椭圆的的_._.两个定点两个定点F F1 1，F F2 2的距离的和等于常数的距离的和等于常数(大于大于|F|F1 1F F2 2|)

4、|)的点的的点的轨轨迹迹焦点焦点焦距焦距【合作探究合作探究】1.1.当当动动点点P P与两定点与两定点F F1 1，F F2 2的距离和的距离和满满足足|PF|PF1 1|+|PF|+|PF2 2|=|F|=|F1 1F F2 2|时时，点，点P P的的轨轨迹是什么？迹是什么？提示：提示：如图，当如图，当|PF|PF1 1|+|PF|+|PF2 2|=|F|=|F1 1F F2 2|时，点时，点P P在线段在线段F F1 1F F2 2上，所以点上，所以点P P的的轨迹是线段轨迹是线段F F1 1F F2 2.2.2.判断一个点的判断一个点的轨轨迹是否是迹是否是椭圆椭圆，应该满应该满足什么条件

5、？足什么条件？提示：提示：需满足两个条件：一是该点到两个定点的距离的和是常数，二需满足两个条件：一是该点到两个定点的距离的和是常数，二是该常数要大于两定点间的距离是该常数要大于两定点间的距离.【过过关小关小练练】1.1.已知命已知命题题甲：甲：动动点点P P到两定点到两定点A A，B B的距离之和的距离之和|PA|+|PB|=2a|PA|+|PB|=2a，其中，其中a a为为大于大于0 0的常数；命的常数；命题题乙：乙：P P点点轨轨迹是迹是椭圆椭圆，则则命命题题甲是命甲是命题题乙的乙的()A.A.充分不必要条件充分不必要条件B.B.必要不充分条件必要不充分条件C.C.充要条件充要条件D.D.

6、既不充分又不必要条件既不充分又不必要条件【解析解析】选选B.B.若若P P点轨迹是椭圆，则一定有点轨迹是椭圆，则一定有|PA|+|PB|=2a(a0|PA|+|PB|=2a(a0，为常，为常数数).).所以甲是乙的必要条件所以甲是乙的必要条件.反过来，若反过来，若|PA|+|PB|=2a(a0|PA|+|PB|=2a(a0，为常数，为常数)，当，当2a|AB|2a|AB|时，时，P P点轨迹是椭圆；当点轨迹是椭圆；当2a=|AB|2a=|AB|时，时，P P点轨迹是线段点轨迹是线段ABAB；当当2a|AB|2a|AB|时，时，P P点的轨迹不存在，所以甲不是乙的充分条件点的轨迹不存在，所以甲不

7、是乙的充分条件.综上，综上，甲是乙的必要不充分条件甲是乙的必要不充分条件.2.2.下列说法正确的是下列说法正确的是()A.A.已知已知F F1 1(-4,0),F(-4,0),F2 2(4,0),(4,0),到到F F1 1,F,F2 2两点的距离之和等于两点的距离之和等于8 8的点的轨迹是的点的轨迹是椭圆椭圆B.B.已知已知F F1 1(-4,0),F(-4,0),F2 2(4,0),(4,0),到到F F1 1,F,F2 2两点的距离之和为两点的距离之和为6 6的点的轨迹是椭的点的轨迹是椭圆圆C.C.到到F F1 1(-4,0),F(-4,0),F2 2(4,0)(4,0)两点的距离之和等

8、于点两点的距离之和等于点M(5,3)M(5,3)到到F F1 1,F,F2 2的距离之的距离之和的点的轨迹是椭圆和的点的轨迹是椭圆D.D.到到F F1 1(-4,0),F(-4,0),F2 2(4,0)(4,0)两点距离相等的点的轨迹是椭圆两点距离相等的点的轨迹是椭圆【解析解析】选选C.AC.A中常数中常数8=|F8=|F1 1F F2 2|,B|,B中常数中常数6|F6|F4|F1 1F F2 2|,|,符合椭圆定义符合椭圆定义,轨迹是椭圆轨迹是椭圆;D;D中点的轨迹应该是一条直线中点的轨迹应该是一条直线.主主题题二：二：椭圆椭圆的的标标准方程准方程【自主自主认认知知】1.1.根据根据椭圆椭

9、圆的几何特征，如何建立坐的几何特征，如何建立坐标标系才能使系才能使椭圆椭圆的方程比的方程比较简单较简单？提示：提示：在求椭圆的标准方程时，选择在求椭圆的标准方程时，选择x x轴经过两个定点轴经过两个定点F F1 1，F F2 2，并且使，并且使坐标原点为线段坐标原点为线段F F1 1F F2 2的中点，这样两个定点的坐标比较简单的中点，这样两个定点的坐标比较简单.2.2.在推在推导椭圆导椭圆的的标标准方程的准方程的过过程中，如何程中，如何处处理等式中的两个根式？理等式中的两个根式？提示：提示：将其中一个根式移到另一端，两边平方将其中一个根式移到另一端，两边平方.根据以上探究过程，试着写出椭圆的

10、标准方程：根据以上探究过程，试着写出椭圆的标准方程：1.1.焦点在焦点在x x轴上：轴上：_(ab0)._(ab0).2.2.焦点在焦点在y y轴上：轴上：_(ab0)._(ab0).【合作探究合作探究】1.1.在推在推导椭圆导椭圆方程方程时时，为为何要何要设设|F|F1 1F F2 2|=2c|=2c，常数，常数为为2a2a？为为何令何令a a2 2-c c2 2=b=b2 2？提示：提示：在求方程时，设椭圆的焦距为在求方程时，设椭圆的焦距为2c(c0)2c(c0)，椭圆上任意一点到两，椭圆上任意一点到两个焦点的距离的和为个焦点的距离的和为2a(a0)2a(a0)，这是为了使焦点及长轴两个端

11、点的坐，这是为了使焦点及长轴两个端点的坐标不出现分数形式，以便使推导出的椭圆的方程形式简单标不出现分数形式，以便使推导出的椭圆的方程形式简单.令令a a2 2-c-c2 2=b=b2 2是为了使方程的形式整齐而便于记忆是为了使方程的形式整齐而便于记忆.2.2.椭圆的标准方程中，参数椭圆的标准方程中，参数a,b(aa,b(ab0)b0)与与c c满足的关系能否用图表满足的关系能否用图表示？方程示？方程 与与 有何不同？有何不同？提示：提示：a a表示椭圆上的点到两焦点距离和的一半，表示椭圆上的点到两焦点距离和的一半，a,b,ca,b,c的关系如图的关系如图当当ab0ab0时，方程时，方程 表示焦

12、点在表示焦点在x x轴上的椭圆，方程轴上的椭圆，方程表示焦点在表示焦点在y y轴上的椭圆，即焦点在哪个轴上相应的那个项的分母就轴上的椭圆，即焦点在哪个轴上相应的那个项的分母就大大【过关小练过关小练】1.1.已知焦点坐标为已知焦点坐标为(0,-4),(0,4),(0,-4),(0,4),且且a=6a=6的椭圆方程是的椭圆方程是()()【解析解析】选选B.B.由条件知由条件知,椭圆的焦点在椭圆的焦点在y y轴上轴上,且且c=4,a=6,c=4,a=6,所以所以b b2 2=a=a2 2-c-c2 2=36-16=20,=36-16=20,所以其标准方程为所以其标准方程为2.2.两个焦点坐标分别是两

13、个焦点坐标分别是(0,5)(0,5)，(0(0，5)5)，椭圆上一点，椭圆上一点P P到两焦点的距到两焦点的距离之和为离之和为2626，求椭圆的标准方程，求椭圆的标准方程.【解析解析】因为焦点在因为焦点在y y轴上，轴上，所以设其标准方程为所以设其标准方程为因为因为2a2a26,2c26,2c1010，所以，所以a a1313，c c5 5所以所以b b2 2a a2 2c c2 2144144所以所求椭圆标准方程为所以所求椭圆标准方程为【归纳总结归纳总结】1.1.对椭圆定义的理解对椭圆定义的理解椭圆定义中应注意常数大于焦距这个必要条件椭圆定义中应注意常数大于焦距这个必要条件,即对椭圆上任一点

14、即对椭圆上任一点M M有有|MF|MF1 1|+|MF|+|MF2 2|=2a|F|=2a|F1 1F F2 2|;|;否则否则,若若2a=|F2a=|F1 1F F2 2|,|,则轨迹是线段则轨迹是线段F F1 1F F2 2;若若2a|F2a|AF|=2|PA|+|PF|=|PB|+|PF|=4|AF|=2，所以动点所以动点P P的轨迹是以的轨迹是以A A，F F为焦点的椭圆为焦点的椭圆.答案：答案：以以A A，F F为焦点的椭圆为焦点的椭圆【规规律律总结总结】椭圆椭圆定定义义的双向运用的双向运用(1)(1)判断：符合定判断：符合定义义中到两定点的距离之和中到两定点的距离之和为为常数常数(

15、大于两定点的距离大于两定点的距离)这这一条件的点的一条件的点的轨轨迹迹为椭圆为椭圆.(2)(2)求求值值：椭圆椭圆上的点一定上的点一定满满足定足定义义中的条件即到两定点的距离之和中的条件即到两定点的距离之和为为2a.2a.提醒：提醒：在判断点的在判断点的轨轨迹迹时时，易出，易出现现只注意到距离之和只注意到距离之和为为常数，而忽常数，而忽视视此常数要大于两定点距离的条件作出此常数要大于两定点距离的条件作出错误错误的判断的判断.【巩固巩固训练训练】1.(20151.(2015衡阳高二衡阳高二检测检测)设设定点定点F F1 1(0(0，-3)-3)，F F2 2(0(0，3),3),动动点点P P满

16、满足条件足条件|PF|PF1 1|+|PF|+|PF2 2|=a+(a0)|=a+(a0)，则则点点P P的的轨轨迹是迹是()A.A.椭圆椭圆 B.B.线线段段C.C.不存在不存在 D.D.椭圆椭圆或或线线段段【解析解析】选选D.D.因为因为a0a0，所以，所以a+a+6 6，又，又F F1 1，F F2 2间的距离为间的距离为6 6，所以，所以当当a+6a+6时，点时，点P P的轨迹为椭圆，当的轨迹为椭圆，当a+=6a+=6时，点时，点P P的轨迹是线段的轨迹是线段.2.(20152.(2015德州高二检测德州高二检测)已知已知M M为椭圆为椭圆 上一点，上一点，F F1 1为椭圆的为椭圆的

17、一个焦点且一个焦点且|MF|MF1 1|2 2，N N为为MFMF1 1中点，中点，O O为坐标原点，为坐标原点，ONON长为长为()()A.2 B.4 A.2 B.4 C.6 C.6 D.8D.8【解析解析】选选B.B.设椭圆的另一个焦点为设椭圆的另一个焦点为F F2 2，由定义可知，由定义可知|MF|MF2 2|2a2a|MF|MF1 1|10102 28 8，【补偿训练补偿训练】1.1.到两定点到两定点(2(2，1)1)，(-2(-2，-2)-2)距离之和为距离之和为5 5的点的轨迹的点的轨迹是是()()A.A.线段线段 B.B.椭圆椭圆 C.C.直线直线 D.D.不存在不存在【解析解析

18、】选选A.A.两定点间的距离为两定点间的距离为 所以点的轨迹所以点的轨迹为线段为线段.2.2.已知椭圆已知椭圆 的两个焦点为的两个焦点为F F1 1,F,F2 2，且，且|F|F1 1F F2 2|8 8，弦，弦ABAB过点过点F F1 1，则，则ABFABF2 2的周长为的周长为()()A.10 B.20 A.10 B.20 C.D.C.D.【解析解析】选选D.D.由已知得由已知得a a2 2b b2 2c c2 2252516164141，所以所以a a 而而ABFABF2 2的周长为的周长为类类型二：型二：定定义义法求法求椭圆椭圆的的标标准方程准方程【典例典例2 2】已知已知圆圆A A：

19、(x+3)(x+3)2 2+y+y2 2=100=100，圆圆A A内一定点内一定点B(3B(3，0)0)，圆圆P P过过B B且且与与圆圆A A内切，求内切，求圆圆心心P P的的轨轨迹方程迹方程.【解题指南解题指南】根据两圆内切的特点，得出根据两圆内切的特点，得出|PA|+|PB|=10|PA|+|PB|=10，根据，根据A A，B B点点的坐标，可以判定点的坐标，可以判定点P P的轨迹方程是以的轨迹方程是以A A，B B为焦点的椭圆，这就把求为焦点的椭圆，这就把求点点P P的轨迹方程的问题转化成了求的轨迹方程的问题转化成了求a a2 2，b b2 2的问题的问题.【解析解析】设圆设圆P P

20、的半径为的半径为r r，又圆又圆P P过点过点B B，所以，所以|PB|=r|PB|=r，又因为圆又因为圆P P与圆与圆A A内切，圆内切，圆A A的半径为的半径为10.10.所以两圆的圆心距所以两圆的圆心距|PA|=10-r|PA|=10-r，即即|PA|+|PB|=10(|PA|+|PB|=10(大于大于|AB|).|AB|).所以点所以点P P的轨迹是以的轨迹是以A A，B B为焦点的椭圆为焦点的椭圆.所以所以2a=102a=10，2c=|AB|=62c=|AB|=6，所以所以a=5a=5，c=3.c=3.所以所以b b2 2=a=a2 2-c-c2 2=25-9=16.=25-9=16

21、.即点即点P P的轨迹方程为的轨迹方程为【延伸探究延伸探究】典例中条件改典例中条件改为为已知已知圆圆A A：(x+3)(x+3)2 2+y+y2 2=100=100，圆圆B B：(x-3)(x-3)2 2+y+y2 2=4=4，圆圆P P与与圆圆A A内切，与内切，与圆圆B B外切，求外切，求圆圆心心P P的的轨轨迹方程迹方程.【解析解析】设圆设圆P P的半径为的半径为r r，则则所以所以|PA|+|PB|=12|PA|+|PB|=126=|AB|,6=|AB|,故点故点P P的轨迹是以的轨迹是以A,BA,B为焦点的椭圆，且为焦点的椭圆，且所以所以a=6,ba=6,b2 2=27=27，所以点

22、所以点P P的轨迹方程是的轨迹方程是【规规律律总结总结】定定义义法求法求椭圆椭圆的的标标准方程准方程(1)(1)先根据先根据动动点具有的条件，点具有的条件，验证验证是否符合是否符合椭圆椭圆的定的定义义，即，即动动点到两定点到两定点距离之和是否是一常数，且点距离之和是否是一常数，且该该常数常数(定定值值)大于两定点大于两定点间间的距离的距离.(2)(2)若符合，若符合，则动则动点的点的轨轨迹迹为椭圆为椭圆，且两定点，且两定点间间的距离的距离为为焦距焦距2c2c，距离，距离之和是常数之和是常数2a.2a.从而可以确定从而可以确定椭圆椭圆的方程的方程.【巩固巩固训练训练】在在ABCABC中，中，B(

23、-3B(-3，0)0)，C(3C(3，0)0)，若周，若周长为长为1616，求，求顶顶点点A A的的轨轨迹方程迹方程.【解题指南解题指南】由由|AB|+|AC|=10|AB|+|AC|=10可知顶点可知顶点A A的轨迹是椭圆，但要注意检的轨迹是椭圆，但要注意检验验A A，B B，C C能否构成三角形能否构成三角形.【解析解析】由由|AB|+|AC|=10|BC|AB|+|AC|=10|BC|，可知点，可知点A A轨迹为椭圆，其中轨迹为椭圆，其中2a=102a=10，即即a=5a=5，又又B(-3B(-3，0)0)，C(3C(3，0)0)，则，则c=3c=3，所以，所以b=4.b=4.设设A A

24、点坐标为点坐标为(x(x，y)y)，则，则y0y0，所以，所以，即为即为A A的轨迹方程的轨迹方程.【补偿训练补偿训练】已知三角形已知三角形ABCABC的一的一边边BCBC长为长为6 6，周，周长为长为1616，求，求顶顶点点A A的的轨轨迹方程迹方程.【解析解析】建立如图坐标系，使建立如图坐标系，使x x轴经过点轴经过点B B，C C，原点，原点O O与与BCBC的中点重合，的中点重合，|BC|=6|BC|=6，|AB|+|AC|=16-6=10|AB|+|AC|=16-6=10，所以点所以点A A的轨迹是椭圆，的轨迹是椭圆，2a=16-6=102a=16-6=10，2c=62c=6，c=3

25、c=3，a=5a=5，b b2 2=a=a2 2-c-c2 2=5=52 2-3-32 2=16.=16.但当点但当点A A在直线在直线BCBC上，即上，即y=0y=0时，时，A A，B B，C C三点不能构成三角形，所以三点不能构成三角形，所以点点A A的轨迹方程是：的轨迹方程是：类型三：类型三：待定系数法求椭圆的标准方程待定系数法求椭圆的标准方程【典例典例3 3】(1)(2015(1)(2015邵阳高二检测邵阳高二检测)过点过点(-3(-3，2)2)且与且与有相同焦点的椭圆的方程是有相同焦点的椭圆的方程是()()(2)(2)求中心在原点，焦点在坐标轴上，且经过求中心在原点，焦点在坐标轴上，

26、且经过 和和两点的椭圆方程两点的椭圆方程【解题指南解题指南】(1)(1)由已知椭圆方程求得焦点坐标得由已知椭圆方程求得焦点坐标得c c，设出所求椭圆方，设出所求椭圆方程，把点程，把点(-3(-3，2)2)代入求系数代入求系数.(2)(2)根据条件设出椭圆的标准方程，利用根据条件设出椭圆的标准方程，利用A A，B B两点求方程中的系数两点求方程中的系数.【解析解析】(1)(1)选选A.A.由方程由方程 可知，其焦点的坐标为可知，其焦点的坐标为设所求椭圆方程为设所求椭圆方程为因为过点因为过点(-3(-3，2)2)，代入方程为，代入方程为解得解得a a2 2=15(a=15(a2 2=3=3舍去舍去

27、).).故方程为故方程为(2)(2)方法一：方法一：当焦点在当焦点在x x轴上时，设椭圆的标准方程为轴上时，设椭圆的标准方程为依题意，有依题意，有 解得解得所以所求椭圆的方程为所以所求椭圆的方程为当焦点在当焦点在y y轴上时，设椭圆的标准方程为轴上时，设椭圆的标准方程为依题意，有依题意，有 解得解得因为因为a ab b，不合题意，不合题意，所以所求椭圆的方程为所以所求椭圆的方程为方法二：设所求椭圆方程为方法二：设所求椭圆方程为AxAx2 2ByBy2 21(A1(A0 0，B B0 0且且AB)AB)，依题意，得依题意，得 解得解得所以所求椭圆方程为所以所求椭圆方程为【规律总结规律总结】待定系

28、数法求椭圆标准方程的方法待定系数法求椭圆标准方程的方法(1)(1)正确判断焦点的位置正确判断焦点的位置(2)(2)设出标准方程后，运用待定系数法求解设出标准方程后，运用待定系数法求解焦点在焦点在x x轴上的椭圆的标准方程为轴上的椭圆的标准方程为 焦点在焦点在y y轴轴上的椭圆的标准方程为上的椭圆的标准方程为不能确定焦点位置时可设为不能确定焦点位置时可设为 或设为或设为AxAx2 2+By+By2 2=1=1(A(A0 0，B B0 0，且，且AB).AB).【巩固巩固训练训练】求适合下列条件的求适合下列条件的椭圆椭圆的的标标准方程：准方程：(1)(1)焦点在焦点在x x轴轴上，且上，且经过经过

29、点点(2(2，0)0)和点和点(0(0，1).1).(2)(2)焦点在焦点在y y轴轴上，与上，与y y轴轴的一个交点的一个交点为为P(0P(0，-10)-10)，P P到它到它较较近的一个焦近的一个焦点的距离等于点的距离等于2.2.【解析解析】(1)(1)因为椭圆的焦点在因为椭圆的焦点在x x轴上，轴上，所以可设它的标准方程为所以可设它的标准方程为因为椭圆经过点因为椭圆经过点(2,0)(2,0)和和(0,1),(0,1),所以所以 所以所以故所求椭圆的标准方程为故所求椭圆的标准方程为(2)(2)因为椭圆的焦点在因为椭圆的焦点在y y轴上，所以可设它的标准方程为轴上，所以可设它的标准方程为因为

30、因为P(0P(0，10)10)在椭圆上，所以在椭圆上，所以a a10.10.又因为又因为P P到它较近的一个焦点的距离等于到它较近的一个焦点的距离等于2 2，所以所以c c(10)10)2 2，故故c c8 8，所以，所以b b2 2a a2 2c c2 236.36.所以所求椭圆的标准方程是所以所求椭圆的标准方程是【补偿训练补偿训练】已知已知椭圆椭圆的中心在原点，两焦点的中心在原点，两焦点F F1 1，F F2 2在在x x轴轴上，且上，且过过点点A A(-4(-4，3).3).若若F F1 1AFAF2 2A A，求，求椭圆椭圆的的标标准方程准方程.【解析解析】设所求椭圆的标准方程为设所求

31、椭圆的标准方程为设焦点设焦点F F1 1(c,0)c,0)，F F2 2(c,0)(c,0)因为因为F F1 1AFAF2 2A A，所以所以而而所以所以(4 4c)c)(4 4c)c)3 32 20 0，所以所以c c2 22525，即，即c c5.5.所以所以F F1 1(5,0)5,0)，F F2 2(5,0)(5,0)所以所以2a2a|AF|AF1 1|AF|AF2 2|所以所以所以所以所以所求椭圆的标准方程为所以所求椭圆的标准方程为类型四：类型四：椭圆定义的应用椭圆定义的应用【典例典例4 4】(2015(2015济宁高二检测济宁高二检测)如图所示，已知椭圆的方程为如图所示，已知椭圆的

32、方程为 若点若点P P在第二象限，且在第二象限，且PFPF1 1F F2 2120120，求，求PFPF1 1F F2 2的的面积面积【解题指南解题指南】求求PFPF1 1F F2 2的面积需要用的面积需要用 =|PF=|PF1 1|F|F1 1F F2 2|sin 120sin 120;椭圆可以提供椭圆可以提供|PF|PF1 1|和和|PF|PF2 2|的等量关系；求解本题可由的等量关系；求解本题可由椭圆的定义和余弦定理分别建立关于椭圆的定义和余弦定理分别建立关于|PF|PF1 1|和和|PF|PF2 2|的方程，解方程的方程，解方程组求得组求得|PF|PF1 1|，再用面积公式求解，再用面

33、积公式求解.【解析解析】由已知得由已知得a a2 2，所以所以|F|F1 1F F2 2|2c2c2.2.在在PFPF1 1F F2 2中，由余弦定理，得中，由余弦定理，得|PF|PF2 2|2 2|PF|PF1 1|2 2|F|F1 1F F2 2|2 22|PF2|PF1 1|F|F1 1F F2 2|cos 120cos 120，即即|PF|PF2 2|2 2|PF|PF1 1|2 24 42|PF2|PF1 1|.|.由椭圆定义，得由椭圆定义，得|PF|PF1 1|PF|PF2 2|4 4，即即|PF|PF2 2|4 4|PF|PF1 1|.|.将将代入代入解得解得|PF|PF1 1|

34、所以所以即即PFPF1 1F F2 2的面积是的面积是【延伸探究延伸探究】在例题题设条件不变的情况下，求点在例题题设条件不变的情况下，求点P P的坐标的坐标.【解析解析】设设P(x,yP(x,y),),由例题可知由例题可知又又 所以所以代入椭圆方程代入椭圆方程 得得又因为点又因为点P P在第二象限在第二象限,所以点所以点P P的坐标为的坐标为【规规律律总结总结】1.1.椭圆椭圆定定义义的的应应用用(1)(1)实现实现两个焦点半径之两个焦点半径之间间的相互的相互转转化化.(2)(2)将两个焦点半径之和看成一个整体，求解定将两个焦点半径之和看成一个整体，求解定值问题值问题.2.2.椭圆椭圆定定义义

35、解解题题的的团团体思想体思想对对于于椭圆椭圆上一点上一点P P与与椭圆椭圆的两焦点的两焦点F F1 1，F F2 2构成的构成的F F1 1PFPF2 2，求三角形的，求三角形的面面积时积时注意整体思想的注意整体思想的应应用，如已知用，如已知F F1 1PFPF2 2，可利用，可利用S=S=absinCabsinC把把|PF|PF1 1|PF|PF2 2|看成一个整体，运用公式看成一个整体，运用公式|PF|PF1 1|2 2+|PF+|PF2 2|2 2=(|PF=(|PF1 1|+|PF|+|PF2 2|)|)2 2-2|PF-2|PF1 1|PF|PF2 2|及余弦定理求出及余弦定理求出|

36、PF|PF1 1|PF|PF2 2|，而无需，而无需单单独求出独求出|PF|PF1 1|和和|PF|PF2 2|，这样这样可以减少运算量可以减少运算量.【拓展延伸拓展延伸】椭圆椭圆中的焦点三角形中的焦点三角形椭圆椭圆上一点上一点P P与与椭圆椭圆的两个焦点的两个焦点F F1 1，F F2 2构成的构成的PFPF1 1F F2 2，称，称为为焦点三角焦点三角形形.解关于解关于椭圆椭圆的焦点三角形的的焦点三角形的问题问题，通常要利用，通常要利用椭圆椭圆的定的定义义，结结合合正弦定理、余弦定理等知正弦定理、余弦定理等知识识求解求解.【补偿训练补偿训练】已知已知椭圆椭圆 F F1 1，F F2 2是它的焦点，是它的焦点，过过F F1 1的直的直线线ABAB与与椭圆椭圆交于交于A A，B B两点，求两点，求ABFABF2 2的周的周长长.【解析解析】因为因为|AF|AF1 1|+|AF|+|AF2 2|=2a|=2a，|BF|BF1 1|+|BF|+|BF2 2|=2a|=2a，ABFABF2 2的周长的周长=|AB|+|AF=|AB|+|AF2 2|+|BF|+|BF2 2|=|AF|=|AF1 1|+|BF|+|BF1 1|+|AF|+|AF2 2|+|BF|+|BF2 2|=2a+2a=4a|=2a+2a=4a，所以所以ABFABF2 2的周长为的周长为4a.4a.