数学 第二章 平面向量 2.3.1 平面向量基本定理4 新人教A版必修4 .ppt

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1、2.3平面向量的基本定理及坐标表示2.3.1平面向量基本定理【知识提炼知识提炼】1.1.平面向量基本定理平面向量基本定理条件条件e1 1，e2 2是同一平面内的两个是同一平面内的两个_结论结论对对于于这这一平面内的任意向量一平面内的任意向量a，有且只有一，有且只有一对实对实数数1 1，2 2，使使_基底基底_的向量的向量e1 1，e2 2叫做表示叫做表示这这一平面内所有向量的一一平面内所有向量的一组组基底基底.不共线向量不共线向量a=1e1+2e2不共线不共线2.2.两向量的夹角两向量的夹角(1)(1)定义：作向量定义：作向量 =a，=b，则，则_叫做叫做向量向量a与与b的夹角的夹角.(2)(

2、2)特例：特例：=0=0，向量，向量a，b_._.=90=90，向量，向量a，b_._.=180=180，向量，向量a，b_._.AOB=(0180)同向同向垂直垂直反向反向【即时小测即时小测】1.1.思考下列问题思考下列问题.(1)(1)任意两个向量都可以作为基底吗？任意两个向量都可以作为基底吗？提示：提示：不能不能.若若e1 e2，则e1=e2，对于任一向量于任一向量a=a1e1+a2e2=(a1+a2)e2，所以，所以a与与e2共共线，即只能表示与其共，即只能表示与其共线的向量，所以作的向量，所以作为基底的向量不能共基底的向量不能共线.(2)(2)平面向量的基底是唯一的吗？平面向量的基底

3、是唯一的吗？提示：提示：不是不是.平面内任何不共平面内任何不共线的两个向量都可以作的两个向量都可以作为基底，当基底一基底，当基底一旦确定后，平面内任何一向量都可以用旦确定后，平面内任何一向量都可以用这一基底唯一表示一基底唯一表示.2.2.当向量当向量a与与b共线时，则这两个向量的夹角共线时，则这两个向量的夹角为为()A.0A.0B.90B.90C.180C.180D.0D.0或或180180【解析解析】选D.D.当向量当向量a与与b共共线，即两向量同向，即两向量同向时夹角角=0=0，反向，反向时夹角角=180=180.3.3.设设e1 1，e2 2是同一平面内两个不共线的向量，以下各组向量中不

4、能作是同一平面内两个不共线的向量，以下各组向量中不能作为基底的是为基底的是()A.A.e1 1与与e2 2 B.B.e1 1+e2 2与与2 2e1 1+2+2e2 2C.C.e1 1与与2 2e2 2 D.D.e1 1+e2 2与与e2 2【解析解析】选B.B.由于由于e1 1与与e2 2不共不共线，所以，所以e1 1与与2 2e2 2不共不共线，e1 1+e2 2与与e2 2不共不共线，故都可以作，故都可以作为基底，而基底，而2 2e1 1+2+2e2 2=2(=2(e1 1+e2 2)，所以，所以e1 1+e2 2与与2 2e1 1+2+2e2 2共共线，故不能作，故不能作为基底基底.4

5、.4.若若a，b不共线，且不共线，且la+m+mb=0(l，mRmR)，则，则l=_=_，m=_.m=_.【解析解析】因因为0=0=0a+0+0b且且a与与b不共不共线，又，又0=la+m+mb，所以根据平面向，所以根据平面向量基本定理，可知量基本定理，可知l=m=0.=m=0.答案：答案：0 00 0【知识探究知识探究】知识点知识点1 1 平面向量基本定理平面向量基本定理观察图形，回答下列问题：观察图形，回答下列问题：问题问题1 1：判断两个向量能否作为基底的关键是什么？：判断两个向量能否作为基底的关键是什么？问题问题2 2：平面向量基本定理与向量的线性运算有何关系？：平面向量基本定理与向量

6、的线性运算有何关系？【总结提升总结提升】1.1.对平面向量基本定理的两点说明对平面向量基本定理的两点说明(1)(1)作用和意义作用和意义平面向量基本定理告诉我们，平面内任何一个向量都可以沿着两个不平面向量基本定理告诉我们，平面内任何一个向量都可以沿着两个不共线的方向分解成两个向量的和，并且这种分解是唯一的共线的方向分解成两个向量的和，并且这种分解是唯一的.(2)(2)基底的性质：基底的性质：不共线性不共线性平面内两个不共线的向量才可以作为一组基底，基底不同，表示也不平面内两个不共线的向量才可以作为一组基底，基底不同，表示也不同同.由于零向量与任何向量共线，所以零向量不可以作为基底由于零向量与任

7、何向量共线，所以零向量不可以作为基底.不唯一性不唯一性对基底的选取不唯一，平面内任一向量对基底的选取不唯一，平面内任一向量a都可被这个平面的一组基底都可被这个平面的一组基底e1 1，e2 2线性表示，且在基底确定后，这样的表示是唯一的线性表示，且在基底确定后，这样的表示是唯一的.2.2.平面向量基本定理与向量共线定理的联系平面向量基本定理与向量共线定理的联系由平面向量共线定理可知，任意一个向量可以用一个与它共线的非零由平面向量共线定理可知，任意一个向量可以用一个与它共线的非零向量来线性表示，而且这种表示是唯一的，故平面向量基本定理是向向量来线性表示，而且这种表示是唯一的，故平面向量基本定理是向

8、量共线定理从一维到二维的推广量共线定理从一维到二维的推广.知识点知识点2 2 两向量的夹角两向量的夹角观察图形，回答下列问题：观察图形，回答下列问题：问题问题1 1：平面中任意两个向量都可以平移至公共起点，它们存在夹角：平面中任意两个向量都可以平移至公共起点，它们存在夹角吗？吗？问题问题2 2：若存在夹角，向量的夹角与直线的夹角一样吗？两向量的夹：若存在夹角，向量的夹角与直线的夹角一样吗？两向量的夹角与直线的夹角范围有何不同？角与直线的夹角范围有何不同？【总结提升总结提升】对向量的夹角的两点说明对向量的夹角的两点说明(1)(1)向量夹角的几何表示：向量夹角的几何表示：依据向量夹角的定义，两个非

9、零向量的夹角是将两个向量的起点移到依据向量夹角的定义，两个非零向量的夹角是将两个向量的起点移到同一点，这样它们所成的角才是向量的夹角同一点，这样它们所成的角才是向量的夹角.(2)(2)注意事项：注意事项：向量的夹角是针对非零向量定义的向量的夹角是针对非零向量定义的.向量的夹角与直线的夹角范围是不同的，它们分别是向量的夹角与直线的夹角范围是不同的，它们分别是00，和和【题型探究题型探究】类型一类型一 对平面向量基本定理的理解对平面向量基本定理的理解【典例典例】1.(20151.(2015黄石高一检测黄石高一检测)已知平行四边形已知平行四边形ABCDABCD，下列各组向，下列各组向量中，是该平面内

10、所有向量基底的是量中，是该平面内所有向量基底的是()()2.2.如果如果e1 1、e2 2是平面是平面内两个不共线的向量，那么下列说法中不正确内两个不共线的向量，那么下列说法中不正确的是的是()a=a=e1 1+e2 2(，RR)可以表示平面可以表示平面内的所有向量；内的所有向量；对于平面对于平面内任一向量内任一向量a，使，使a=e1 1+e2 2的实数对的实数对(，)有无穷多有无穷多个；个；若向量若向量1 1e1 1+1 1e2 2与与2 2e1 1+2 2e2 2共线，则共线，则若实数若实数，使得使得e1 1+e2 2=0，则，则=0.=0.A.A.B.B.C.C.D.D.3.3.设向量设

11、向量e1 1与与e2 2不共线，若不共线，若3x3xe1 1+(10-y)+(10-y)e2 2=(4y-7)=(4y-7)e1 1+2x+2xe2 2，则实数，则实数x x，y y的值分别为的值分别为()A.0A.0，0 B.10 B.1，1 1 C.3 C.3，0 0 D.3 D.3，4 4【解题探究解题探究】1.1.典例典例1 1中两个向量可以作为基底的条件是什么？中两个向量可以作为基底的条件是什么？提示：提示：两个向量可以作两个向量可以作为基底的条件是两向量不共基底的条件是两向量不共线.2.2.典例典例2 2中，平面向量基本定理应关注哪些要点？中，平面向量基本定理应关注哪些要点？提示：

12、提示：(1)(1)只要是同一平面内两不共只要是同一平面内两不共线的向量都可以作的向量都可以作为一一组基底，基底，所以基底不唯一，所以基底不唯一，1 1，2 2唯一唯一.(2)零向量与任意向量都共零向量与任意向量都共线，因此零向量不能作，因此零向量不能作为基底基底.3.3.典例典例3 3中求中求x x，y y的依据是什么？的依据是什么？提示：提示：向量相等的条件向量相等的条件.【解析解析】1.选D.由于由于与与不共不共线，所以是一，所以是一组基底基底.2.选B.由平面向量基本定理可知，由平面向量基本定理可知，是正确的是正确的对于于，由平面向，由平面向量基本定理可知，一旦一个平面的基底确定，那么任

13、意一个向量在此量基本定理可知，一旦一个平面的基底确定，那么任意一个向量在此基底下的基底下的实数数对是唯一的是唯一的对于于，当，当12=0或或12=0时不一定成立，不一定成立，应为12-21=0.3.选D.因因为向量向量e1与与e2不共不共线，所以，所以解得解得【方法技巧方法技巧】1.1.对基底的理解对基底的理解(1)(1)两个向量能否作为一组基底，关键是看这两个向量是否共线若两个向量能否作为一组基底，关键是看这两个向量是否共线若共线，则不能作基底，反之，则可作基底共线，则不能作基底，反之，则可作基底(2)(2)一个平面的基底一旦确定，那么平面上任意一个向量都可以由这一个平面的基底一旦确定，那么

14、平面上任意一个向量都可以由这组基底唯一线性表示出来设向量组基底唯一线性表示出来设向量a与与b是平面内两个不共线的向量，是平面内两个不共线的向量，若若x x1 1a+y+y1 1b=x=x2 2a+y+y2 2b，则，则2.2.重要结论重要结论e1 1，e2 2是平面内一组基底是平面内一组基底当当1 1e1 1+2 2e2 2=0时时恒有恒有1 1=2 2=0=0若若a=1 1e1 1+2 2e2 2当当2 2=0=0时时，a与与e1 1共共线线当当1 1=0=0时时，a与与e2 2共共线线当当1 1=2 2=0=0时时，a=0【变式训练变式训练】1.1.设设e1 1，e2 2是不共线的两个向量

15、，给出下列四组向量：是不共线的两个向量，给出下列四组向量：e1 1与与e1 1+e2 2；e1 1-2-2e2 2与与e2 2-2-2e1 1；e1 1-2-2e2 2与与4 4e2 2-2-2e1 1；e1 1+e2 2与与e1 1-e2 2.其中能作为平面内所有向量的一组基底的是其中能作为平面内所有向量的一组基底的是_.(_.(写出所有满足写出所有满足条件的序号条件的序号)【解析解析】设e1+e2=e1，则无解，无解，所以所以e1+e2与与e1不共不共线，即，即e1与与e1+e2可作可作为一一组基底；基底；设e1-2e2=(e2-2e1)，则(1+2)e1-(2+)e2=0，则无无解，解，

16、所以所以e1-2e2与与e2-2e1不共不共线，即，即e1-2e2与与e2-2e1可作可作为一一组基底；基底；因因为e1-2e2=-(4e2-2e1)，所以，所以e1-2e2与与4e2-2e1共共线，即，即e1-2e2与与4e2-2e1不可作不可作为一一组基底；基底；设e1+e2=(e1-e2)，则(1-)e1+(1+)e2=0，所以所以无解，无解，所以所以e1+e2与与e1-e2不共不共线，即，即e1+e2与与e1-e2可作可作为一一组基底基底.答案：答案：2.2.若向量若向量a，b不共线，则不共线，则c=2=2a-b，d=3=3a-2-2b，试判断，试判断c，d能否作为基能否作为基底底.【

17、解析解析】设存在存在实数数，使，使c=d，则2a-b=(3a-2b)，即即(2-3)a+(2-1)b=0.由于向量由于向量a，b不共不共线，所以，所以2-3=2-1=0，这样的的是不存在的，从是不存在的，从而而c，d不共不共线，故，故c，d能作能作为基底基底.类型二类型二 用基底表示向量用基底表示向量【典例典例】1.1.已知已知 =a，=b，C C为线段为线段AOAO上距上距A A较近的一个三等分点，较近的一个三等分点，D D为线段为线段CBCB上距上距C C较近的一个三等分点，则用较近的一个三等分点，则用a，b表示表示 =_.=_.2.2.如图，如图，ABCDABCD的对角线的对角线ACAC

18、和和BDBD交于点交于点M M，=a，=b，试用基底，试用基底a，b表示表示【解题探究解题探究】1.1.典例典例1 1中，中，与与 两个向量有何关系，两个向量有何关系，与与 与与 呢？呢？提示：提示：2.2.典例典例2 2中，中，与与 的关系是什么？在的关系是什么？在ADBADB中，中，与与 的关系的关系如何？如何？提示：提示：与与 互互为相反向量，相反向量，【解析解析】1.因因为答案：答案：2.=a+b，=b-a.因因为平行四平行四边形的形的对角角线互相平分，互相平分，所以所以=a+b.所以所以=-a-b.=b-a.所以所以=a-b.【延伸探究延伸探究】1.(1.(变换条件，改变问法变换条件

19、，改变问法)本例本例2 2中其他条件不变，添加中其他条件不变，添加“”，试表示试表示【解析解析】因因为，所以，所以所以所以2.(2.(变换条件，改变问法变换条件，改变问法)本例本例2 2中中“若若E E，F F分别是边分别是边CDCD与与BCBC的中点，的中点，其中，其中，RR，则，则+的值如何？的值如何？【解析解析】因因为所以所以又又a，b不共不共线，所以，所以，解得，解得所以所以【方法技巧方法技巧】平面向量基本定理的作用以及注意点平面向量基本定理的作用以及注意点(1)(1)根据平面向量基本定理，任何一组基底都可以表示任意向量根据平面向量基本定理，任何一组基底都可以表示任意向量.用基用基底表

20、示向量，实质上是利用三角形法则或平行四边形法则，进行向量底表示向量，实质上是利用三角形法则或平行四边形法则，进行向量的加减法运算的加减法运算.(2)(2)要注意适当选择向量所在的三角形或平行四边形，利用已知向量要注意适当选择向量所在的三角形或平行四边形，利用已知向量表示未知向量，或找到已知向量与未知向量的关系，用方程的观点求表示未知向量，或找到已知向量与未知向量的关系，用方程的观点求出未知向量出未知向量.【补偿训练补偿训练】如图，梯形如图，梯形ABCDABCD中，中，ABCDABCD，且，且AB=2CDAB=2CD，M M，N N分别是分别是DCDC和和ABAB的中点，若的中点，若 =a，=b

21、，试用，试用a，b表示表示【解析解析】如如图所示，所示，连接接CNCN，则四四边形形ANCDANCD是平行四是平行四边形形.则类型三类型三 向量夹角的简单求解向量夹角的简单求解【典例典例】1.(20151.(2015韶关高一检测韶关高一检测)已知向量已知向量a，b，c满足满足|a|=1|=1，|b|=2|=2，c=a+b，ca，则，则a，b的夹角等于的夹角等于_._.2.2.已知两个非零向量已知两个非零向量a与与b的夹角为的夹角为6060，试求下列向量的夹角：，试求下列向量的夹角：(1)(1)a与与-b；(2)2(2)2a与与3 3b.【解题探究解题探究】1.1.典例典例1 1中，以中，以a，

22、b，c作为三角形的三边，结合作为三角形的三边，结合c=a+b及及ca，判断三角形的形状如何？，判断三角形的形状如何？提示：提示：三角形三角形为直角三角形直角三角形.2.2.典例典例2 2中，中，-b的几何意义是什么？的几何意义是什么？a与与b的夹角与的夹角与2 2a与与3 3b的夹角之间的夹角之间的关系是什么？的关系是什么？提示：提示：-b是是b的相反向量，的相反向量，a与与b的的夹角与角与2 2a与与3 3b的的夹角是相同的角是相同的.【解析解析】1.作作=a，=b，则c=a+b=(如如图所示所示)，则a，b夹角角为180-C.因因为|a|=1，|b|=2,c a，所以，所以C=60，所以，

23、所以a，b的的夹角角为120.答案：答案：1202.由向量由向量夹角的定角的定义，作出，作出a与与b的的夹角，角，(1)如如图1，向量，向量a与与-b的的夹角角为120.(2)如如图2，向量，向量2a与与3b的的夹角角为60.【延伸探究延伸探究】若题若题(1)(1)的已知条件中的的已知条件中的“|b|=2|=2”改为改为“|b|=|=”，其余条件都不变，则其余条件都不变，则a，b的夹角又如何求解呢？的夹角又如何求解呢？【解析解析】作作=a，=b，则c=a+b=(如如图所示所示)，则a，b夹角角为180-C.因因为|a|=1，|b|=c a，所以，所以C=45，所以，所以a，b的的夹角角为135

24、.【方法技巧方法技巧】两向量夹角的实质与求解方法两向量夹角的实质与求解方法(1)(1)两向量夹角的实质：从同一起点出发的两个非零向量构成的不大两向量夹角的实质：从同一起点出发的两个非零向量构成的不大于平角的角，结合平面几何知识加以解决于平角的角，结合平面几何知识加以解决.(2)(2)求解方法：利用平移的方法使两个向量起点重合，作出两个向量求解方法：利用平移的方法使两个向量起点重合，作出两个向量的夹角，按照的夹角，按照“一作二证三算一作二证三算”的步骤求出的步骤求出.【变式训练变式训练】如图，已知如图，已知ABCABC是等边三角形是等边三角形.(1)(1)求向量求向量 与向量与向量 的夹角的夹角

25、.(2)(2)若若E E为为BCBC的中点，求向量的中点，求向量 与与 的夹角的夹角【解析解析】(1)因因为ABC为等等边三角形，三角形，所以所以ABC=60.如如图，延，延长AB至点至点D，使，使AB=BD，则 ，所以，所以DBC为向量向量与与的的夹角角因因为DBC=120，所以向量，所以向量 与与 的的夹角角为120.(2)因因为E为BC的中点，所以的中点，所以AE BC，所以所以与与的的夹角角为90.【补偿训练补偿训练】设非零向量设非零向量a，b，c满足满足|a|=|=|b|=|=|c|，a+b=c，则，则a与与b的的夹角夹角=_.=_.【解析解析】作作=a，=b，则=a+b=c，如，如

26、图所示，所示，因因为|a|=|b|=|c|，所以所以OAB是等是等边三角形，三角形，所以所以a与与b的的夹角角=120.答案：答案：120易错案例易错案例 求向量的夹角求向量的夹角【典例典例】(2015(2015漳州高一检测漳州高一检测)在在RtABCRtABC中，中，ABC=90ABC=90，|=，|=1|=1，则，则 与与 的夹角的夹角=_.=_.【失误案例失误案例】【错解分析错解分析】分析解题过程，你知道错在哪里吗？分析解题过程，你知道错在哪里吗？提示：提示：错误的根本原因是的根本原因是误认为ACBACB是是 与与 的的夹角，其角，其实不然，不然，ACBACB是是 与与 的的夹角，角，与

27、与 的起点不同，的起点不同，则ACBACB不是不是夹角角【自我自我矫正正】如如图所示，延所示，延长AC到到D，使，使AC=CD，则，BCD是是与与的的夹角，角，由于由于BCD+ACB=180，ACB=60，则BCD=180-60=120，即，即=120.答案：答案：120【防范措施防范措施】确定平面向量夹角的两个关注点确定平面向量夹角的两个关注点(1)(1)明确向量夹角的概念，根据夹角的概念确定夹角，解题时注意向明确向量夹角的概念，根据夹角的概念确定夹角，解题时注意向量的方向，利用平移方法使两个向量的起点相同量的方向，利用平移方法使两个向量的起点相同.(2)(2)解题时注意结合平面图形知识求解向量夹角，确定夹角后注意结解题时注意结合平面图形知识求解向量夹角，确定夹角后注意结合图形进行检验，看是否符合合图形进行检验，看是否符合.