数学 第二章 数列 2.3 等差数列的前n项和 2.3.1 等差数列的前n项和 新人教A版必修5 .ppt

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1、2.3.1等差数列的前n项和1231.数列的前n项和对于数列an,一般地,我们称a1+a2+a3+an为数列an的前n项和,用Sn表示,即Sn=a1+a2+a3+an.练一练1已知数列an的通项公式an=n2+1,若其前n项和为Sn,则S3=.解析:an=n2+1,a1=2,a2=5,a3=10,S3=a1+a2+a3=17.答案:171232.等差数列an的前n项和设等差数列an的公差是d,则练一练2已知数列an为等差数列,首项a1=2,公差d=2,则其前n项和Sn=.Sn=2n+n(n-1)=n2+n.答案:n2+n123练一练3已知数列an为等差数列,a1=2,an=10,Sn=72,则

2、n=.答案:12123名师点拨1.当已知首项a1、末项an、项数n时,常用公式 当已知首项a1、公差d、项数n时,常用公式2.等差数列前n项和公式的推导方法“倒序相加法”,是解决数列求和问题的一种重要方法,主要适用于具有a1+an=a2+an-1=a3+an-2=特征的数列求和.1233.等差数列的前n项和与二次函数的关系(2)如果一个数列的前n项和公式是关于n的不含常数项的二次函数形式,即Sn=An2+Bn(A0),则我们可以判断它是等差数列.探究一探究二探究三探究四探究一等差数列前探究一等差数列前n项和的有关计算项和的有关计算a1,d,n称为等差数列的三个基本量,an和Sn都可以用这三个基

3、本量来表示,五个量a1,d,n,an,Sn中,可知三求二,即等差数列的通项公式及前n项和公式中“知三求二”的问题,一般是通过通项公式和前n项和公式联立方程(组)来求解.这种方法是解决数列运算的基本方法.在运算中要注意等差数列性质的应用.探究一探究二探究三探究四典型例题1已知等差数列an中,其前n项和为Sn,公差为d.(3)a1=1,an=-512,Sn=-1 022,求d.思路分析:利用等差数列通项公式与求和公式列方程求解.探究一探究二探究三探究四探究一探究二探究三探究四探究一探究二探究三探究四变式训练1(1)在等差数列an中,a4=9,a9=-6,若Sn=63,求n的值;(2)在等差数列an

4、中,已知a3=16,S20=20,若Sn=110,求n.解:(1)设等差数列an的首项为a1,公差为d,解得n=6或n=7.探究一探究二探究三探究四(2)设an的公差为d,则a1+2d=16,解得a1=20,d=-2,即n2-21n+110=0,解得n=10或n=11.探究一探究二探究三探究四探究二探究二an与与Sn关系的应用关系的应用已知数列an的前n项和Sn,求通项公式an的步骤:(1)当n=1时,a1=S1.(2)当n2时,根据Sn写出Sn-1,化简an=Sn-Sn-1.(3)如果a1也满足当n2时,an=Sn-Sn-1的通项公式,那么数列an的通项公式为an=Sn-Sn-1;如果a1不

5、满足当n2时,an=Sn-Sn-1的通项公式,那么数列an的通项公式要分段表示为探究一探究二探究三探究四典型例题2(1)已知数列an的前n项和Sn=3n-2,求an;(2)设正数数列an的前n项和Sn满足 ,求数列an的通项公式.思路分析:先求a1,再用n2时,an=Sn-Sn-1求解.解:(1)当n=1时,a1=S1=31-2=1;当n2时,Sn-1=3n-1-2,则an=Sn-Sn-1=(3n-2)-(3n-1-2)=3n-3n-1=33n-1-3n-1=23n-1.此时若n=1,则23n-1=231-1=2a1,探究一探究二探究三探究四(2)当n=1时,a1=S1=(a1+1)2,解得a

6、1=1.当n2时,an=Sn-Sn-1=(an+1)2-(an-1+1)2,整理得(an+an-1)(an-an-1-2)=0.an+an-10,an-an-1=2.an是以a1=1为首项,2为公差的等差数列.an=2n-1.温馨提示利用an与Sn的关系求an时,不要忘了验证n=1时的情形.探究一探究二探究三探究四变式训练2已知数列an的前n项和Sn=3n2+n,求通项公式an.解:当n=1时,a1=S1=4,当n2时,an=Sn-Sn-1=(3n2+n)-3(n-1)2+(n-1)=6n-2.由于a1=4符合此式,所以an=6n-2(nN*).探究一探究二探究三探究四探究三等差数列前探究三等

7、差数列前n项和的最值问题项和的最值问题求等差数列的前n项和Sn的最值有两种方法:(1)由二次函数的最值特征得解.探究一探究二探究三探究四探究一探究二探究三探究四典型例题3(1)在等差数列an中,a10,公差d0,a140,公差d0,当n=13时,Sn有最大值169.探究一探究二探究三探究四(方法三)S9=S17,a10+a11+a17=0.由等差数列的性质得a13+a14=0.a10,d0,a140.当n=13时,Sn有最大值169.(方法四)设Sn=An2+Bn,S9=S17,当n=13时,Sn取得最大值169.探究一探究二探究三探究四变式训练3等差数列an中,a10,S9=S12,则Sn取

8、最小值时,n=.解析:S9=S12,a10+a11+a12=0,3a11=0,a11=0.又a10,数列an为递增数列.因此数列的前10项均为负值,a11=0,从第12项起为正值.当n=10或n=11时,Sn取最小值.答案:10或11探究一探究二探究三探究四探究四易错辨析探究四易错辨析易错点把握不准an与Sn的关系致错典型例题4已知数列an的前n项和Sn=n2+2,求此数列的通项公式.错解:an=Sn-Sn-1=n2+2-(n-1)2-2=2n-1.错因分析:Sn=n2+2,a1=S1=12+2=3,而当n=1时,an=2n-1=21-1=13,则an=2n-1不是数列an的通项公式.错解中忽

9、视了an=Sn-Sn-1成立的条件是n2.正解:当n2时,an=Sn-Sn-1=n2+2-(n-1)2-2=2n-1;当n=1时,a1=S1=12+2=3,不适合上式,1 2 3 4 51.已知an为等差数列,其前n项和为Sn,若a3=6,S3=12,则公差d等于()答案:C1 2 3 4 52.一个首项为正数的等差数列中,前3项的和等于前11项的和,当这个数列的前n项和最大时,n等于()A.5B.6C.7D.8解析:由S3=S11及首项为正可知,d0.故数列的前n项和最大时n等于7.答案:C1 2 3 4 53.在等差数列an中,a1=1,a3+a5=14,其前n项和Sn=100,则n=.解析:设等差数列的公差为d,则a3+a5=2a1+6d=2+6d=14,d=2.令Sn=100,即n2=100.解得n=10或n=-10(舍去).答案:101 2 3 4 54.已知数列an的前n项和Sn=2n-3,则数列an的通项公式为.解析:当n=1时,a1=S1=21-3=-1;当n2时,Sn-1=2n-1-3,所以an=Sn-Sn-1=(2n-3)-(2n-1-3)=2n-1,此时n=1,an=2n-1=1a1,1 2 3 4 55.在等差数列an中,已知公差d=2,an=11,Sn=35,求a1和n.