数学总第一篇 知识 方法 固基 第三单元 函数 12 二次函数的图象与性质 .ppt

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1、第1212讲二次函数的图象与性质考点一考点二考点三考点四考点五考点一考点一二次函数概念及表达式二次函数概念及表达式定义:一般地,形如y=ax2+bx+c(a,b,c为常数,a0)的函数叫做二次函数.考点一考点二考点三考点四考点五考点二考点二二次函数图象及其性质二次函数图象及其性质(高频)1.图象性质考点一考点二考点三考点四考点五考点一考点二考点三考点四考点五2.图象与系数关系 考点一考点二考点三考点四考点五考点三考点三二次函数表达式的确定二次函数表达式的确定(高频)1.三种表达式的适用条件及求法确定二次函数表达式一般利用一般式求解.对不同的已知条件,应灵活设出二次函数表达式的形式进行求解.2.

2、表达式三种形式的适用条件(1)当已知抛物线上任意三点时,通常设为一般式y=ax2+bx+c;(2)当已知抛物线的顶点坐标(h,k)和抛物线上另一点时,通常设为顶点式y=a(x-h)2+k;(3)当已知抛物线与x轴交点坐标(x1,0)和(x2,0)时,通常设为交点式y=a(x-x1)(x-x2).考点一考点二考点三考点四考点五3.用待定系数法求二次函数表达式的步骤(1)设二次函数的表达式;(2)根据已知条件,得到关于待定系数的方程组;(3)解方程组,求出待定系数的值,从而写出函数的表达式.4.三种表达式之间的关系考点一考点二考点三考点四考点五考点四考点四二次函数的平移二次函数的平移由于抛物线的开

3、口方向与开口大小均由二次项系数a确定,所以两个二次函数如果a相等,那么其中一个图象可以由另一个图象平移得到.考点一考点二考点三考点四考点五考点五考点五二次函数与一元二次方程二次函数与一元二次方程 命题点1命题点2命题点1二次函数解析式1.(2013安徽,16,8分)已知二次函数图象的顶点坐标为(1,-1),且经过原点(0,0),求该函数的解析式.解设二次函数的解析式为y=a(x-1)2-1(a0),2分函数图象经过原点(0,0),a(0-1)2-1=0,解得a=1.该函数的解析式为y=(x-1)2-1.8分命题点3命题点1命题点2命题点2二次函数性质2.(2009安徽,23,14分)已知某种水

4、果的批发单价与批发量的函数关系如图1所示.命题点3命题点1命题点2(1)请说明图1中,两段函数图象的实际意义;(2)写出批发该种水果的资金金额(元)与批发量n(kg)之间的函数关系式;在图2的坐标系中画出该函数图象;指出金额在什么范围内,以同样的资金可以批发到较多数量的该种水果;(3)经调查,某经销商销售该种水果的日最高销售量与零售价之间的函数关系如图3所示,该经销商拟每日售出60 kg以上该种水果,且当日零售价不变,请你帮助该经销商设计进货和销售的方案,使得当日获得的利润最大.命题点3命题点1命题点2解(1)段函数图象表示批发量不少于20 kg且不多于60 kg的该种水果,可按5元/kg批发

5、;段函数图象表示批发量高于60 kg的该种水果,可按4元/kg批发.4分命题点3图象如图所示.由图可知,资金金额满足24060时,x60).则由题图3,知日零售价p满足x=320-40p.从而x=80时,y最大值=160.此时,p=6.即经销商应批发80 kg该种水果,日零售价定为6元/kg,当日可得最大利润160元.14分命题点1命题点2命题点3命题点3二次函数的图象3.(2015安徽,10,4分)如图,一次函数y1=x与二次函数y2=ax2+bx+c的图象相交于P,Q两点,则函数y=ax2+(b-1)x+c的图象可能为(A )命题点1命题点2命题点3解析由于一次函数y1=x与二次函数y2=

6、ax2+bx+c的图象有两个不同的交点,且都位于第一象限,所以方程ax2+bx+c=x,即ax2+(b-1)x+c=0有两个不相等的正实数根,所以函数y=ax2+(b-1)x+c与x轴有两个不同的交点,且都在x轴的正半轴上,故选A.考法1考法2考法3考法考法1二次函数的解析式二次函数的解析式的确定的确定例1(2016山西)将抛物线y=x2-4x-4向左平移3个单位,再向上平移5个单位,得到抛物线的表达式为()A.y=(x+1)2-13B.y=(x-5)2-3C.y=(x-5)2-13D.y=(x+1)2-3答案D解析先将抛物线y=x2-4x-4化成顶点式为y=(x-2)2-8,再根据抛物线平移

7、时,解析式变形特点,得抛物线的表达式为y=(x+3)-22-8+5,即y=(x+1)2-3.方法总结二次函数的解析式往往是通过待定系数法或通过抛物线的平移、对称变换进行考查;本题考查了抛物线平移的问题.首先,将抛物线解析式化成顶点式;其次,根据“左加右减、上加下减”的原则对解析式右侧的代数式进行变形,特别注意,左加右减是对自变量而言的;上加下减是对解析式整体而言的.考法1考法2考法3对应训练1.(2017山东滨州)将抛物线y=2x2向右平移3个单位长度,再向下平移5个单位长度,得到的抛物线的表达式为(A)A.y=2(x-3)2-5B.y=2(x+3)2+5C.y=2(x-3)2+5 D.y=2

8、(x+3)2-5解析:抛物线y=2x2的顶点坐标为(0,0),向右平移3个单位长度,再向下平移5个单位长度,平移后的顶点坐标为(3,-5),平移后的抛物线表达式为y=2(x-3)2-5.考法1考法2考法32.(2017浙江金华)对于二次函数y=-(x-1)2+2的图象与性质,下列说法正确的是(B)A.对称轴是直线x=1,最小值是2B.对称轴是直线x=1,最大值是2C.对称轴是直线x=-1,最小值是2D.对称轴是直线x=-1,最大值是23.(2017广西百色)经过A(4,0),B(-2,0),C(0,3)三点的抛物线解析式是y=-(x-4)(x+2).解析:设抛物线解析式为y=a(x-4)(x+

9、2),把C(0,3)代入上式得3=a(0-4)(0+2),考法1考法2考法3考法考法2二次函数的图象和性质二次函数的图象和性质例2(2017湖北荆门)在平面直角坐标系xOy中,二次函数y=ax2+bx+c(a0)的大致图象如图所示,则下列结论正确的是()A.a0,b0C.a+b+c0D.关于x的方程ax2+bx+c=-1有两个不相等的实数根答案:D考法1考法2考法3解析:(1)抛物线的开口向下,a0.抛物线与y轴的负半轴相交,c1.选项B说法错误.(3)抛物线经过点(1,0),当x=1,y=0,即a+b+c=0.选项C说法错误.(4)由图象可知,y的最大值是1,直线y=-1与抛物线有两个不同的

10、交点,即关于x的方程ax2+bx+c=-1有两个不相等的实数根.选项D说法正确.故选D.考法1考法2考法3方法总结本题考查了二次函数的图象和性质,抛物线在直角坐标系中的位置由a,b,c的符号确定.抛物线开口方向决定了a的符号,当开口向上时,a0,当开口向下时,a0,交于y负半轴c0,交于原点c=0;抛物线的对称轴和a的符号共同决定b的符号,抛物线的对称轴在y轴左侧,-0;当x=1时,二次函数的函数值为y=a+b+c;函数的图象在x轴上方时,y0,函数的图象在x轴下方时,y0,抛物线与x轴有2个不同的交点,当b2-4ac=0,抛物线与x轴只有1个交点,b2-4ac0,c0B.b0,c0C.b0,

11、c0D.b0考法1考法2考法35.(2017湖北鄂州)已知二次函数y=(x+m)2-n的图象如图所示,则一次函数y=mx+n与反比例函数y=的图象可能是(C)考法1考法2考法36.(2017山东日照)已知抛物线y=ax2+bx+c(a0)的对称轴为直线x=2,与x轴的一个交点坐标为(4,0),其部分图象如图所示,下列结论:抛物线过原点;4a+b+c=0;a-b+c0;抛物线的顶点坐标为(2,b);当x0,错误;当x=2时,y=ax2+bx+c=4a+2b+c=(4a+b+c)+b=b,抛物线的顶点坐标为(2,b),正确;观察函数图象可知当x2时,y随x增大而减小,错误.综上所述,正确的结论有.

12、考法1考法2考法3考法考法3二次函数与一元二次方程的关系二次函数与一元二次方程的关系例3(2016江苏宿迁)若二次函数y=ax2-2ax+c的图象经过点(-1,0),则方程ax2-2ax+c=0的解为()A.x1=-3,x2=-1B.x1=1,x2=3C.x1=-1,x2=3D.x1=-3,x2=1答案C解析方法一:可以求得,二次函数y=ax2-2ax+c的图象的对称轴为直线x=1,又经过点(-1,0),根据对称性,另一个交点为(3,0),所以方程的解为x1=-1,x2=3,故选C.方法二:二次函数y=ax2-2ax+c(a0)的图象经过点(-1,0),因此x1=-1是方程ax2-2ax+c=

13、0的一个根.由韦达定理得,x1+x2=2.所以另一个根为3,故选C.考法1考法2考法3方法总结1.一元二次方程ax2+bx+c=0(a0)的根就是二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交点的横坐标;2.本题中有两个待定系数a,c,求不出它们的具体数值,但可以求出二次函数的对称轴,利用对称性,可以求出另一个交点坐标(即方程的根);3.利用韦达定理,可以求出两根之和,因此知道了一个根,可以求出另外一个根.考法1考法2考法3对应训练 7.(2017甘肃兰州)下表是一组二次函数y=x2+3x-5的自变量x与函数值y的对应值.那么方程x2+3x-5=0的一个近似根是(C)A.1B.1.1 C.1.2

14、D.1.38.(2017湖北武汉)已知关于x的二次函数y=ax2+(a2-1)x-a的图象与x轴的一个交点的坐标为(m,0).若2m3,则a的取值范围是 a 或-3a-2.考法1考法2考法39.(2017江苏南京)已知函数y=-x2+(m-1)x+m(m为常数).(1)该函数的图象与x轴公共点的个数是()A.0B.1C.2D.1或2(2)求证:不论m为何值,该函数的图象的顶点都在函数y=(x+1)2的图象上.(3)当-2m3时,求该函数的图象顶点的纵坐标的取值范围.解:(1)D 考法1考法2考法3因此,不论m为何值,该函数的图象的顶点都在函数y=(x+1)2的图象上.当m=-1时,z有最小值0;当m-1时,z随m的增大而增大;因此,当-2m3时,该函数的图象顶点的纵坐标的取值范围是0z4.