2024年高考数学终极押题密卷2（全国甲卷理科）含答案.doc

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1、2024年高考数学终极押题密卷2（全国甲卷理科）一选择题（共12小题）1若集合A2，1，4，8，Bxy2|xA，yA，则B中元素的最大值为（）A4B5C7D102已知圆x2+y21与圆（x3）2+（y4）2r2（r0）外切，则r（）A1B2C3D43设，为两个不同的平面，m，n为两条不同的直线，且m，n，则“mn”是“”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件4已知为锐角，若，则cos（）ABCD5正方形ABCD的边长为2，E是AD的中点，F是DC的中点，则（）A4B3C4D36已知非零实数a，b满足a|b|+1，则下列不等关系不一定成立的是（）Aa2b2+1B2

2、a2b+1Ca24bDb+17将甲、乙、丙、丁4人分配到3个不同的工作岗位，每人只去一个岗位，每个岗位都要有人去，则甲、乙二人分别去了不同岗位的概率是（）ABCD8国家统计单位统计了2023年全国太阳能月度发电量当期值（单位：亿千瓦时），并与上一年同期相比较，得到同比增长率（注：同比增长率今年月发电量去年同期月发电量）去年同期月发电量100%），如统计图，下列说法不正确的是（）A2023年第一季度的发电量平均值约为204B2023年至少有一个月的发电量低于上一年同期发电量C2022年11月发电量也高于该年12月发电量D2023年下半年发电量的中位数为245.29在半径为r的O中，弦AB的长度为

3、a，则的值为（）ABCarD与CAB有关102019年1月3日嫦娥四号探测器成功实现人类历史上首次月球背面软着陆，我国航天事业取得又一重大成就实现月球背面软着陆需要解决的一个关键技术问题是地面与探测器的通讯联系为解决这个问题，发射了嫦娥四号中继星“鹊桥”，鹊桥沿着围绕地月拉格朗日L2点的轨道运行L2点是平衡点，位于地月连线的延长线上设地球质量为M1，月球质量为M2，地月距离为R，L2点到月球的距离为r，根据牛顿运动定律和万有引力定律，r满足方程：+（R+r）设由于的值很小，因此在近似计算中33，则r的近似值为（）ARBRCRDR11已知椭圆C的焦点为F1（1，0），F2（1，0），过F2的直线

4、与C交于A，B两点若|AF2|2|F2B|，|AB|BF1|，则C的方程为（）A1BCD12设函数f（x）的定义域为R，满足f（x+1）2f（x），且当x（0，1时，f（x）x（x1）若对任意x（，m，都有f（x），则m的取值范围是（）A（，B（，C（，D（，二填空题（共4小题）13已知等差数列an，若a1+a3+a59，则a2+a4 14若点P是曲线ylnxx2上任意一点，则点P到直线l：x+y40距离的最小值为 15已知函数f（x）cosx1（0）在区间0，2有且仅有2个零点，则的取值范围是 16已知双曲线C：1（a0，b0）的左、右焦点分别为F1，F2，过F1的直线与C的两条渐近线分别交

5、于A，B两点若，0，则C的离心率为 三解答题（共7小题）17已知在ABC中，A+B3C，2sin（AC）sinB（1）求sinA；（2）设AB5，求AB边上的高18如图，直四棱柱ABCDA1B1C1D1的底面是菱形，AA14，AB2，BAD60，E，M，N分别是BC，BB1，A1D的中点（1）证明：MN平面C1DE；（2）求二面角AMA1N的正弦值19某工厂工程师对生产某种产品的机器进行管理，选择其中一台机器进行参数调试该机器在调试前后，分别在其产品中随机抽取样本数据进行统计，制作了如下列联表：产品合格品淘汰品调试前2416调试后4812（1）根据列联表分析，是否有95%的把握认为参数调试改变

6、产品质量？（2）如果将合格品频率作为产品的合格概率工程师从调试后生产的大量产品中，依次随机抽取6件产品进行检验，求抽出的6件产品中不超过1件淘汰品的概率p（参考数据：0.850.32768，0.860.262144）附：P（K2k0）0.0500.0100.001k03.8416.63510.82820已知椭圆的离心率为，过点M（1，0）的直线l交椭圆C于点A，B，且当lx轴时，（1）求椭圆C的方程；（2）记椭圆C的左焦点为F，若过F，A，B三点的圆的圆心恰好在y轴上，求直线AB的方程21设函数（1）当a1时，求曲线f（x）在点（e，f（e）处的切线方程；（2）证明：存在x0（0，+），使得当

7、1a2时，22在极坐标系中，O为极点，曲线M的方程为4tancos，曲线N的方程为sinm，其中m为常数（1）以O为坐标原点，极轴为x轴的正半轴，建立直角坐标系，求曲线M与N的直角坐标方程；（2）设m1，曲线M与N的两个交点为A，B，点C的极坐标为（t，0），若ABC的重心G的极角为，求t的值23已知a+b3（a0，b0）（1）若|b1|3a，求b的取值范围；（2）求的最大值2024年菁优高考数学终极押题密卷2（全国甲卷理科）参考答案与试题解析一选择题（共12小题）1若集合A2，1，4，8，Bxy2|xA，yA，则B中元素的最大值为（）A4B5C7D10【考点】元素与集合关系的判断；集合中元素

8、个数的最值菁优网版权所有【专题】计算题；集合思想；综合法；集合；数学运算【答案】C【分析】先求出x的最大值和y2最小值，可得结果【解答】解：故选：C【点评】本题主要考查集合中的元素的最值，考查逻辑推理的核心素养，属于基础题2已知圆x2+y21与圆（x3）2+（y4）2r2（r0）外切，则r（）A1B2C3D4【考点】圆与圆的位置关系及其判定菁优网版权所有【专题】转化思想；综合法；直线与圆；数学运算【答案】D【分析】由题意，利用圆和圆的位置关系，求得r的值【解答】解：圆x2+y21与圆（x3）2+（y4）2r2（r0）外切，两圆的圆心距等于它们的半径之和，1+r，则r4，故选：D【点评】本题主要

9、考查圆和圆的位置关系的确定方法，属于基础题3设，为两个不同的平面，m，n为两条不同的直线，且m，n，则“mn”是“”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件【考点】平面与平面垂直；充分条件与必要条件；直线与平面垂直菁优网版权所有【专题】转化思想；综合法；立体几何；逻辑推理【答案】D【分析】当mn时，与不一定垂直，当时，m与n不一定垂直，进而可得结论【解答】解：如图1，当mn时，与不一定垂直，如图2，当时，m与n不一定垂直，所以“mn”是“”的既不充分也不必要条件故选：D【点评】本题考查点、线、面的位置关系与充分必要条件的判定，考查空间想象能力与逻辑推理的核心素养，

10、属于基础题4已知为锐角，若，则cos（）ABCD【考点】二倍角的三角函数菁优网版权所有【专题】整体思想；综合法；三角函数的求值；数学运算【答案】D【分析】由诱导公式，结合二倍角公式求解【解答】解：已知为锐角，若，则，则，又cos0，则cos故选：D【点评】本题考查了诱导公式，重点考查了二倍角公式，属中档题5正方形ABCD的边长为2，E是AD的中点，F是DC的中点，则（）A4B3C4D3【考点】平面向量数量积的性质及其运算菁优网版权所有【专题】转化思想；向量法；平面向量及应用；数学运算【答案】D【分析】根据向量的线性运算及数量积运算求解即可【解答】解：设，则0，由题意得，又，所以3故选：D【点评

11、】本题考查平面向量的线性运算及数量积运算，属基础题6已知非零实数a，b满足a|b|+1，则下列不等关系不一定成立的是（）Aa2b2+1B2a2b+1Ca24bDb+1【考点】等式与不等式的性质菁优网版权所有【专题】综合法；转化法；不等式的解法及应用；数学运算【答案】D【分析】利用不等式的基本性质即可判断出结论【解答】解：非零实数a，b满足a|b|+1a2b2+2|b|+1b2+1，A一定成立；a|b|+1b+12a2b+1，B一定成立；又b2+12|b|，故a24|b|4b，C一定成立；令a5，b3，即可推得D不一定成立故选：D【点评】本题考查了不等式的基本性质，考查了推理能力与计算能力，属于

12、基础题7将甲、乙、丙、丁4人分配到3个不同的工作岗位，每人只去一个岗位，每个岗位都要有人去，则甲、乙二人分别去了不同岗位的概率是（）ABCD【考点】古典概型及其概率计算公式菁优网版权所有【专题】对应思想；定义法；概率与统计；数学运算【答案】D【分析】根据题意可将4人分为1，1，2三组，可得所有分配情况，再计算甲、乙二人分别去了相同岗位的概率，利用古典概型和对立事件相关知识可解【解答】解：根据题意，将甲、乙、丙、丁4人分配到3个不同的工作岗位，每人只去一个岗位，每个岗位都要有人去，则将4人分为1，1，2三组，共有6方法，则所有分配方法为36，甲、乙二人分别去了相同岗位共有6种，则甲、乙二人分别去

13、了不同岗位的概率是故选：D【点评】本题考查古典概型相关知识，属于基础题8国家统计单位统计了2023年全国太阳能月度发电量当期值（单位：亿千瓦时），并与上一年同期相比较，得到同比增长率（注：同比增长率今年月发电量去年同期月发电量）去年同期月发电量100%），如统计图，下列说法不正确的是（）A2023年第一季度的发电量平均值约为204B2023年至少有一个月的发电量低于上一年同期发电量C2022年11月发电量也高于该年12月发电量D2023年下半年发电量的中位数为245.2【考点】统计图表获取信息菁优网版权所有【专题】整体思想；综合法；概率与统计；数学运算【答案】C【分析】选项A：由平均数公式求解

14、；选项B：由条形图及同比增长率的含义判断；选项C：由条形图及同比增长率的含义判断；选项D：利用中位数的定义判断【解答】解：选项A：由图中数据可知，2023年第一季度的发电量平均值约为，故A正确；选项B：由图中数据可知，2023年4月的同比增长率为负数，故该月发电量低于上一年同期发电量，故B正确；选项C：根据同比增长率公式可知，2022年11月发电量为，2022年12月发电量为，而187.9173.2，则2022年11月发电量低于该年12月发电量，故C错误；选项D：2023年下半年发电量按从小到大的顺序排列如下，210.5，234.6，244.3，246.1，258.9，269.2，所以中位数为

15、，故D正确故选：C【点评】本题主要考查了统计图的应用，属于基础题9在半径为r的O中，弦AB的长度为a，则的值为（）ABCarD与CAB有关【考点】平面向量数量积的性质及其运算菁优网版权所有【专题】转化思想；综合法；平面向量及应用；数学运算【答案】B【分析】根据垂径定理及向量数量积运算即可求解【解答】解：过O作ODAB，则故选：B【点评】本题考查平面向量数量积运算，属基础题102019年1月3日嫦娥四号探测器成功实现人类历史上首次月球背面软着陆，我国航天事业取得又一重大成就实现月球背面软着陆需要解决的一个关键技术问题是地面与探测器的通讯联系为解决这个问题，发射了嫦娥四号中继星“鹊桥”，鹊桥沿着围

16、绕地月拉格朗日L2点的轨道运行L2点是平衡点，位于地月连线的延长线上设地球质量为M1，月球质量为M2，地月距离为R，L2点到月球的距离为r，根据牛顿运动定律和万有引力定律，r满足方程：+（R+r）设由于的值很小，因此在近似计算中33，则r的近似值为（）ARBRCRDR【考点】根据实际问题选择函数类型菁优网版权所有【专题】计算题；转化思想；综合法；函数的性质及应用；数学抽象【答案】D【分析】由推导出33，由此能求出rR【解答】解：rR，r满足方程：+（R+r）+（1+）M1，把代入，得：（1+）M1，（1+）M1M1，33，rR故选：D【点评】本题考查点到月球的距离的求法，考查函数在我国航天事业

17、中的灵活运用，考查化归与转化思想、函数与方程思想，考查运算求解能力，是中档题11已知椭圆C的焦点为F1（1，0），F2（1，0），过F2的直线与C交于A，B两点若|AF2|2|F2B|，|AB|BF1|，则C的方程为（）A1BCD【考点】椭圆的性质菁优网版权所有【专题】计算题；转化思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；数学运算【答案】B【分析】法一：设|F2B|n，则|AF2|2n，|BF1|AB|3n，由椭圆的定义有2a|BF1|+|BF2|4n，在AF1F2和BF1F2中，由余弦定理结合cosAF2F1+cosBF2F10，两式消去cosAF2F1，cosBF2F1，然后转化求解即可法

18、二：设|F2B|n，则|AF2|2n，|BF1|AB|3n，由椭圆的定义，在AF1B中，由余弦定理转化求解椭圆方程即可【解答】解：法一：由已知可设|F2B|n，则|AF2|2n，|BF1|AB|3n，由椭圆的定义有2a|BF1|+|BF2|4n，|AF1|2a|AF2|2n在AF1F2和BF1F2中，由余弦定理得，又AF2F1，BF2F1互补，cosAF2F1+cosBF2F10，两式消去cosAF2F1，cosBF2F1，得3n2+611n2，解得，所求椭圆方程为，故选：B法二：如图，由已知可设|F2B|n，则|AF2|2n，|BF1|AB|3n，由椭圆的定义有2a|BF1|+|BF2|4n

19、，|AF1|2a|AF2|2n在AF1B中，由余弦定理推论得在AF1F2中，由余弦定理得，解得，所求椭圆方程为，故选：B【点评】本题考查椭圆的简单性质的应用，考查转化思想以及计算能力，是中档题12设函数f（x）的定义域为R，满足f（x+1）2f（x），且当x（0，1时，f（x）x（x1）若对任意x（，m，都有f（x），则m的取值范围是（）A（，B（，C（，D（，【考点】函数与方程的综合运用菁优网版权所有【专题】计算题；函数的性质及应用【答案】B【分析】因为f（x+1）2f（x），f（x）2f（x1），分段求解析式，结合图象可得【解答】解：因为f（x+1）2f（x），f（x）2f（x1），x（0

20、，1时，f（x）x（x1），0，x（1，2时，x1（0，1，f（x）2f（x1）2（x1）（x2），0；x（2，3时，x1（1，2，f（x）2f（x1）4（x2）（x3）1，0，当x（2，3时，由4（x2）（x3）解得x或x，若对任意x（，m，都有f（x），则m故选：B【点评】本题考查了函数与方程的综合运用，属中档题二填空题（共4小题）13已知等差数列an，若a1+a3+a59，则a2+a46【考点】等差数列的性质菁优网版权所有【专题】计算题；等差数列与等比数列【答案】见试题解答内容【分析】根据等差数列的性质，利用p+qm+n时，ap+aqam+an，求出a3的值，进而可得到a2+a4的值【解

21、答】解：等差数列an中，a1+a52a3，又由题意a1+a3+a59，3a39，a33，则a2+a42a36，故答案为：6【点评】本题考查等差数列的性质，其中利用p+qm+n时，ap+aqam+an，是解答本题的关键，属基础题14若点P是曲线ylnxx2上任意一点，则点P到直线l：x+y40距离的最小值为 【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；点到直线的距离公式菁优网版权所有【专题】计算题；转化思想；综合法；导数的综合应用；数学运算【答案】【分析】过点P作曲线ylnxx2的切线，当切线与直线l：x+y40平行时，点P到直线l：x+y40距离的最小根据导数的几何意义即可求解【解答】解：过点P作

22、曲线ylnxx2的切线，当切线与直线l：x+y40平行时，点P到直线l：x+y40距离的最小设切点为，切线斜率为，由题知，解得x01或（舍）P（1，1），此时点P到直线l：x+y40距离故答案为：【点评】本题主要考查利用导数研究曲线上某点的切线方程，点到直线的距离公式，考查运算求解能力，属于中档题15已知函数f（x）cosx1（0）在区间0，2有且仅有2个零点，则的取值范围是 1，2）【考点】余弦函数的图象菁优网版权所有【专题】计算题；转化思想；综合法；三角函数的求值；三角函数的图象与性质；逻辑推理；数学运算【答案】1，2）【分析】令f（x）0，得cosx1有2个根，从而结合余弦函数的图象的性

23、质即可得解【解答】解：如图所示：因为0x2，所以0x2，令f（x）cosx1（0），则方程在cosx1在0，2有2个根，即令tx，则方程cost1有2个根，其中t0，2，结合余弦函数ycost的图像性质可得224，故12故答案为：1，2）【点评】本题考查的知识点：余弦型函数的性质，主要考查学生的运算能力，属于中档题16已知双曲线C：1（a0，b0）的左、右焦点分别为F1，F2，过F1的直线与C的两条渐近线分别交于A，B两点若，0，则C的离心率为 2【考点】双曲线的性质菁优网版权所有【专题】方程思想；数形结合法；向量与圆锥曲线【答案】2【分析】由题意画出图形，结合已知可得OBF1Oc，设B（x1

24、，y1），A（x2，y2），由点B在渐近线y上，求得B点坐标，再由A为F1B的中点，得到A点坐标，把A代入渐近线y，即可求得C的离心率【解答】解：如图，A为F1B的中点，且O为F1F2的中点，AO为F1F2B的中位线，又，F1BF2B，则OBF1Oc设B（x1，y1），A（x2，y2），点B在渐近线y上，得又A为F1B的中点，A在渐近线y上，得c2a，则双曲线的离心率e故答案为：2【点评】本题考查双曲线的简单性质，考查数形结合的解题思想方法，考查计算能力，是中档题三解答题（共7小题）17已知在ABC中，A+B3C，2sin（AC）sinB（1）求sinA；（2）设AB5，求AB边上的高【考点】

25、正弦定理菁优网版权所有【专题】整体思想；综合法；解三角形；数学运算【答案】见试题解答内容【分析】（1）由三角形内角和可得C，由2sin（AC）sinB，可得2sin（AC）sin（A+C），再利用两角和与差的三角函数公式化简可得sinA3cosA，再结合平方关系即可求出sinA；（2）由sinBsin（A+C）求出sinB，再利用正弦定理求出AC，BC，由等面积法即可求出AB边上的高【解答】解：（1）A+B3C，A+B+C，4C，C，2sin（AC）sinB，2sin（AC）sin（A+C）sin（A+C），2sinAcosC2cosAsinCsinAcosC+cosAsinC，sinAcos

26、C3cosAsinC，sinA3cosA，即cosAsinA，又sin2A+cos2A1，解得sin2A，又A（0，），sinA0，sinA；（2）由（1）可知sinA，cosAsinA，sinBsin（A+C）sinAcosC+cosAsinC，5，AC5sinB52，BC553，设AB边上的高为h，则，解得h6，即AB边上的高为6【点评】本题主要考查了两角和与差的三角函数公式，考查了正弦定理和余弦定理的应用，属于中档题18如图，直四棱柱ABCDA1B1C1D1的底面是菱形，AA14，AB2，BAD60，E，M，N分别是BC，BB1，A1D的中点（1）证明：MN平面C1DE；（2）求二面角A

27、MA1N的正弦值【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面平行菁优网版权所有【专题】数形结合；向量法；空间角【答案】见试题解答内容【分析】（1）过N作NHAD，证明NMBH，再证明BHDE，可得NMDE，再由线面平行的判定可得MN平面C1DE；（2）以D为坐标原点，以垂直于DC得直线为x轴，以DC所在直线为y轴，以DD1所在直线为z轴建立空间直角坐标系，分别求出平面A1MN与平面MAA1的一个法向量，由两法向量所成角的余弦值可得二面角AMA1N的正弦值【解答】（1）证明：如图，过N作NHAD，则NHAA1，且，又MBAA1，MB，四边形NMBH为平行四边形，则NMBH，由NHAA1，N为A1D中

28、点，得H为AD中点，而E为BC中点，BEDH，BEDH，则四边形BEDH为平行四边形，则BHDE，NMDE，NM平面C1DE，DE平面C1DE，MN平面C1DE；（2）解：以D为坐标原点，以垂直于DC的直线为x轴，以DC所在直线为y轴，以DD1所在直线为z轴建立空间直角坐标系，则N（，2），M（，1，2），A1（，1，4），设平面A1MN的一个法向量为，由，取x，得，又平面MAA1的一个法向量为，cos二面角AMA1N的正弦值为【点评】本题考查直线与平面平行的判定，考查空间想象能力与思维能力，训练了利用空间向量求解空间角，是中档题19某工厂工程师对生产某种产品的机器进行管理，选择其中一台机器进

29、行参数调试该机器在调试前后，分别在其产品中随机抽取样本数据进行统计，制作了如下列联表：产品合格品淘汰品调试前2416调试后4812（1）根据列联表分析，是否有95%的把握认为参数调试改变产品质量？（2）如果将合格品频率作为产品的合格概率工程师从调试后生产的大量产品中，依次随机抽取6件产品进行检验，求抽出的6件产品中不超过1件淘汰品的概率p（参考数据：0.850.32768，0.860.262144）附：P（K2k0）0.0500.0100.001k03.8416.63510.828【考点】独立性检验菁优网版权所有【专题】计算题；转化思想；综合法；概率与统计；数学运算【答案】（1）有95%的把握

30、认为参数调试改变产品质量有关（2）抽出的6件产品中不超过1件淘汰品的概率p0.65536【分析】（1）根据随机抽取样本数据可得22列联表，计算观测值结合临界值表可判断是否有95%的把握认为参数调试改变产品质量；（2）利用二项分布即可求解概率【解答】解：（1）根据随机抽取样本数据，可得下面的22列联表，产品合格品淘汰品总计调试前241640调试后481260总计7228100则K24.7623.841，所以有95%的把握认为参数调试改变产品质量有关（2）将合格品频率作为产品的合格概率，工程师从调试后可得产品的合格概率为0.8，抽出的6件产品中不超过1件淘汰品的概率p0.86+0.850.20.2

31、62144+0.327681.20.65536【点评】本题考查独立性检验的运用，考查古典概型，属于中档题20已知椭圆的离心率为，过点M（1，0）的直线l交椭圆C于点A，B，且当lx轴时，（1）求椭圆C的方程；（2）记椭圆C的左焦点为F，若过F，A，B三点的圆的圆心恰好在y轴上，求直线AB的方程【考点】直线与椭圆的综合；椭圆的标准方程；椭圆的性质菁优网版权所有【专题】综合题；对应思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；逻辑推理；数学运算【答案】（1）；（2）【分析】（1）由题意，根据离心率和弦长列式求出a和b的值，进而可得椭圆的方程；（2）设过F，A，B三点的圆的圆心为Q（0，n），A（x1，

32、y1），B（x2，y2），根据|QA|2|QF|2推出，同理得，则y1，y2是方程3y2+2ny10的两个根，此时，设出直线AB的方程，将直线AB的方程与椭圆方程联立，利用韦达定理再进行求解即可【解答】解：（1）因为椭圆C的离心率为，所以，解得a2b，当x1时，解得，所以，则a2，b1，故椭圆C的方程为；（2）不妨设过F，A，B三点的圆的圆心为Q（0，n），A（x1，y1），B（x2，y2），由（1）知，可得|QA|2|QF|2，即，因为点A在椭圆C上，所以，整理得，同理，由|QB|2|QF|2，可得，则y1，y2是方程3y2+2ny10的两个根，此时，不妨设直线AB的方程为xty+1，联立，

33、消去x并整理得（t2+4）y2+2ty30，由韦达定理得，解得t25，所以，故直线AB的方程为【点评】本题考查椭圆的方程以及直线与圆锥曲线的综合问题，考查了逻辑推理和运算能力，属于中档题21设函数（1）当a1时，求曲线f（x）在点（e，f（e）处的切线方程；（2）证明：存在x0（0，+），使得当1a2时，【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的最值；利用导数研究曲线上某点切线方程菁优网版权所有【专题】计算题；转化思想；综合法；导数的综合应用；数学运算【答案】（1）；（2）证明见解析【分析】（1）求导得斜率，再利用点斜式求直线并化简即可；（2）利用导数求得f（x）的最小值，从而把所证

34、式子转化为证：，构造函数（1x2），结合零点存在性定理并多次求导利用导数研究函数g（x）的单调性即可求解最值，即可证明【解答】解：（1）当a1时，所以f（x）（x+1）lnx，则，f（e）e+1，则曲线f（x）在点（e，f（e）处的切线方程为，即（2）因为f（x）（x+a）（lnxlna），1a2，由f（x）0，得xa，由f（x）0，得0xa，所以f（x）在（0，a）上单调递减，在（a，+）上单调递增，所以f（x）的最小值为，要证：，即证：，只需证：，设（1x2），则，设（1x2），则，当1x2时，h（x）0，所以h（x）在（1，2）上单调递减，而h（1）10，h（2）10，故必存在唯一x0（

35、1，2），使得h（x0）0，所以当x（1，x0）时，h（x）0，即g（x）0；当x（x0，2）时，h（x）0，即g（x）0，所以g（x）在（1，x0）上单调递增，在（x0，2）上单调递减，而g（1）0，所以g（x）0在（1，2）上恒成立，即成立，原命题得证【点评】本题主要考查利用导数研究函数的单调性与最值，利用导数研究曲线上某点的切线方程，考查运算求解能力，属于中档题22在极坐标系中，O为极点，曲线M的方程为4tancos，曲线N的方程为sinm，其中m为常数（1）以O为坐标原点，极轴为x轴的正半轴，建立直角坐标系，求曲线M与N的直角坐标方程；（2）设m1，曲线M与N的两个交点为A，B，点C的

36、极坐标为（t，0），若ABC的重心G的极角为，求t的值【考点】简单曲线的极坐标方程菁优网版权所有【专题】计算题；转化思想；综合法；坐标系和参数方程；逻辑推理；数学运算【答案】（1）x24y（x0），ym；（2）t2【分析】（1）直接利用转换关系，在极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换；（2）利用重心坐标求出结果【解答】解：（1）由4tancos，得4sincos2（cos0），则4sin2cos2（cos0），根据，所以x24y（x0），所以曲线M的直角坐标方程为x24y（x0）曲线N的方程为sinm，转换为直角坐标方程为ym（2）因为m1，所以曲线N的直角坐标方程为y1，代入x24y，得x2

37、，不妨设A（2，1），B（2，1），依题意可得C的直角坐标为（t，0），则G的坐标为，即因为重心G的极角为，所以，解得t2【点评】本题考查的知识点：极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，重心的坐标的应用，主要考查学生的运算能力，属于中档题23已知a+b3（a0，b0）（1）若|b1|3a，求b的取值范围；（2）求的最大值【考点】基本不等式及其应用；函数的最值及其几何意义菁优网版权所有【专题】计算题；整体思想；综合法；不等式的解法及应用；数学运算【答案】（1）（2）8【分析】（1）由a+b3得|b1|b，则bb1b，可得结果（2）利用基本不等式先求出+的最值，再求出（a+1）b的最值，可得结果【解

38、答】解：（1）因为a+b3（a0，b0），所以a3b且0b3，所以|b1|b，则bb1b，解得，又0b3，所以b的取值范围为（2），当且仅当a+1b，即a1，b2时，等号成立，即，当且仅当a1，b2时，等号成立，所以的最大值为4+48【点评】本题主要考查基本不等式的应用，属于中档题考点卡片1元素与集合关系的判断【知识点的认识】1、元素与集合的关系： 一般地，我们把研究对象称为元素，把一些元素组成的总体称为集合，简称集元素一般用小写字母a，b，c表示，集合一般用大写字母 A，B，C表示，两者之间的关系是属于与不属于关系，符号表示如：aA或aA2、集合中元素的特征：（1）确定性：作为一个集合中的元

39、素，必须是确定的即一个集合一旦确定，某一个元素属于还是不属于这集合是确定的要么是该集合中的元素，要么不是，二者必居其一，这个特性通常被用来判断涉及的总体是否能构成集合（2）互异性：集合中的元素必须是互异的对于一个给定的集合，他的任何两个元素都是不同的这个特性通常被用来判断集合的表示是否正确，或用来求集合中的未知元素（3）无序性：集合于其中元素的排列顺序无关这个特性通常被用来判断两个集合的关系【命题方向】题型一：验证元素是否是集合的元素典例1：已知集合Ax|xm2n2，mZ，nZ求证：（1）3A；（2）偶数4k2（kZ）不属于A分析：（1）根据集合中元素的特性，判断3是否满足即可；（2）用反证法

40、，假设属于A，再根据两偶数的积为4的倍数；两奇数的积仍为奇数得出矛盾，从而证明要证的结论解答：解：（1）32212，3A；（2）设4k2A，则存在m，nZ，使4k2m2n2（m+n）（mn）成立，1、当m，n同奇或同偶时，mn，m+n均为偶数，（mn）（m+n）为4的倍数，与4k2不是4的倍数矛盾2、当m，n一奇，一偶时，mn，m+n均为奇数，（mn）（m+n）为奇数，与4k2是偶数矛盾综上4k2A点评：本题考查元素与集合关系的判断分类讨论的思想题型二：知元素是集合的元素，根据集合的属性求出相关的参数典例2：已知集合Aa+2，2a2+a，若3A，求实数a的值分析：通过3是集合A的元素，直接利用

41、a+2与2a2+a3，求出a的值，验证集合A中元素不重复即可解答：解：因为3A，所以a+23或2a2+a3（2分）当a+23时，a1，（5分）此时A3，3，不合条件舍去，（7分）当2a2+a3时，a1（舍去）或，（10分）由，得，成立（12分）故（14分）点评：本题考查集合与元素之间的关系，考查集合中元素的特性，考查计算能力【解题方法点拨】 集合中元素的互异性常常容易忽略，求解问题时要特别注意分类讨论的思想方法常用于解决集合问题2集合中元素个数的最值【知识点的认识】 求集合中元素个数的最大（小）值问题的方法通常有：类分法、构造法、反证法、一般问题特殊化、特殊问题一般化等需要注意的是，有时一道题需要综合运用几种方法才能解决3充分条件与必要条件【知识点的认识】1、判断：当命题“若p则q”为真时，可表示为pq，称p为q的充分条件，q是p的必要条件事实上，与“p